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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 19.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bestimme [mm] \alpha [/mm] und p>0 so dass gilt
-3 sin (x) + 6 cos (x) = p * [mm] sin(x+\alpha) [/mm] |
Ich habe keine Ahnung wie man das Bsp lösen kann. Also der Lösungsweg ist mir ganz fern^^
->Additionstheorem
-3 sin x + 6 cos x = p * sin x*cos [mm] \alpha [/mm] + p* cos x * sin [mm] \alpha
[/mm]
-3 sin x - sin x * p * cos [mm] \alpha [/mm] + 6 cos x - p*cos x * sin [mm] \alpha [/mm] =0
Eine idee war, das ganze abzuleiten aber da komme ich dann auch auf nichts ;(
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Hallo sissile,
> Bestimme [mm]\alpha[/mm] und p>0 so dass gilt
> -3 sin (x) + 6 cos (x) = p * [mm]sin(x+\alpha)[/mm]
> Ich habe keine Ahnung wie man das Bsp lösen kann. Also
> der Lösungsweg ist mir ganz fern^^
>
> ->Additionstheorem
> -3 sin x + 6 cos x = p * sin x*cos [mm]\alpha[/mm] + p* cos x * sin
> [mm]\alpha[/mm]
[mm]\blue{-3 sin x} + \green{6 cos x} = \blue{p * sin x*cos \alpha} + \green{p* cos x * sin \alpha}[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich liefert die folgenden Gleichungen:
[mm]-3=p*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
[mm]6=p*\sin\left(\alpha\right)[/mm]
Daraus lassen sich [mm]p, \ \alpha[/mm] bestimmen.
> -3 sin x - sin x * p * cos [mm]\alpha[/mm] + 6 cos x - p*cos x *
> sin [mm]\alpha[/mm] =0
>
> Eine idee war, das ganze abzuleiten aber da komme ich dann
> auch auf nichts ;(
Ableiten brauchst Du hier nichts.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Do 19.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Ein Koeffizientenvergleich liefert die folgenden Gleichungen:
> $ [mm] -3=p\cdot{}\cos\left(\alpha\right) [/mm] $
> $ [mm] 6=p\cdot{}\sin\left(\alpha\right) [/mm] $
Ich verstehe nicht, warum man den hier machen kann. Könntest du mir das kurz erklären? DANKE!!
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Hallo sissile,
> > Ein Koeffizientenvergleich liefert die folgenden
> Gleichungen:
>
> > [mm]-3=p\cdot{}\cos\left(\alpha\right)[/mm]
> > [mm]6=p\cdot{}\sin\left(\alpha\right)[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, warum man den hier machen kann.
> Könntest du mir das kurz erklären? DANKE!!
Weil es sich hier um trigonometrische Polynome handelt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Do 19.01.2012 | | Autor: | sissile |
Sry, dass ich jetzt nochmal so schnell nachhacken muss.
Aber was hat die Erklärung:
Weil es sich hier um trigonometrische Polynome handelt.
mit den Koeffizientenvergleich zu tun?
Den kann man ja auch machen bei anderen Sachen.
Ich kenne den Koeffizientenvergleich nur von der Schule.
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Hallo sissile,
> Sry, dass ich jetzt nochmal so schnell nachhacken muss.
> Aber was hat die Erklärung:
> Weil es sich hier um trigonometrische Polynome handelt.
> mit den Koeffizientenvergleich zu tun?
>
Zwei trigonometische Polynome sind gleich, wenn
ihre Koeffizienten hier vor [mm]\sin\left(x\right)[/mm] und [mm]\cos\left(x\right)[/mm] gleich sind.
> Den kann man ja auch machen bei anderen Sachen.
>
> Ich kenne den Koeffizientenvergleich nur von der Schule.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Fr 20.01.2012 | | Autor: | sissile |
okay also
-3/6 = [mm] \frac{p*cos\alpha}{p*sin \alpha}
[/mm]
-1/2 = [mm] \frac{cos \alpha}{sin \alpha}
[/mm]
-1/2 = cot [mm] {\alpha}
[/mm]
Wie komme ich auf p?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:16 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi sissile,
erstmal [mm] \alpha [/mm] , dann p indem du wieder in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt, würde ich sagen.
LG walde
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:21 Fr 20.01.2012 | | Autor: | sissile |
-1/2 = cot $ [mm] {\alpha} [/mm] $
arccot (-1/2) = [mm] \alpha
[/mm]
Das kann ich ja nicht ausrechnen! TR ist mir keiner erlaubt in der Prüfung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Walde |
Falls kein Fehler drinsteckt,meine Vorschläge: lass es entweder so stehen und p ist dann [mm] p=\bruch{6}{\sin(arccot(-0,5))} [/mm] oder du gibst einen Nährungswert für [mm] \alpha [/mm] an, indem du ein rechtwinkliges Dreieck zeichnest, bei dem die Katheten das Verhältnis 1/2 haben (und es gilt cot(-x)=-cot(x)) oder du kannst das durch die ursprünglichen 2 Gleichungen ausrechen, dann hast du es nicht so häßlich wie bei mir oben stehen. Ich komme auf [mm] p=\wurzel{45}. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Fr 20.01.2012 | | Autor: | sissile |
Ich verstehe nicht ganz wie ich auf den nähwert komme
Hab jetzt mir ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge 1 und 2 und der Hypothenuse [mm] \wurzel{5} [/mm] aufgezeichnet.
Ich kann es mir ja aussuchen
ob ich den arctan(-2) = [mm] \alpha
[/mm]
oder arccot (-1/2) = [mm] \alpha
[/mm]
> oder du kannst das durch die ursprünglichen 2 Gleichungen ausrechen
$ [mm] p=\bruch{6}{\sin(arccot(-0,5))} [/mm] $
$ [mm] p=\bruch{-3}{\cos(arccot(-0,5))} [/mm] $
[mm] \bruch{6}{\sin(arccot(-0,5))}=\bruch{-3}{\cos(arccot(-0,5))} [/mm]
Da komme ich aber auch nicht weiter ;(, es ist zum verzweifeln
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi,
also ich hab auch lieber den Tangens:
Es ist [mm] \tan(-\alpha)=-\tan(\alpha) [/mm] (Punktsymmetrie zum Ursprung) und [mm] \tan(\alpha+180)=\tan(\alpha) [/mm] (Periodizität).
Man sucht [mm] \alpha [/mm] (in Grad) mit [mm] \tan(\alpha)=-2\gdw-\tan(\alpha)=2\gdw\tan(-\alpha)=2\gdw\tan(180-\alpha)=2.
[/mm]
Jetzt das rechtw. Dreieck mit Gegenkathete 2 und Ankathete 1 und den entsprechenden Winkel [mm] \beta [/mm] messen, dann ist [mm] \alpha\approx 180-\beta.
[/mm]
Wobei man ja durch die Periodizität mehrere Lösungen kriegen würde. Hierdurch kriegt man die kleinste positive [mm] \approx [/mm] 116,6, durch [mm] \arctan(-2) [/mm] und TR kommt man auf [mm] \approx [/mm] -63,4.
Und für p gehe ich von [mm] -3=p*\cos(\alpha) [/mm] und [mm] 6=p*\sin(\alpha) [/mm] aus.
dann ist [mm] 9=p^2*\cos^2(\alpha) [/mm] und [mm] 36=p^2*\sin^2(\alpha). [/mm] Addieren und ausklammern bringt
[mm] 45=p^2*(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))=p^2, [/mm]
also [mm] p=\wurzel{45}, [/mm] da p>0 vorrausgesetzt war. Mit dem TR aus [mm] p=\bruch{6}{\sin(\arctan(-2))} [/mm] bekäme man [mm] -\wurzel{45}. [/mm] Dann ist die Mehode von Hand sogar besser.
EDIT : Tippfehler bzgl sin u cos ausgebessert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Fr 20.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Hi,
>
> also ich hab auch lieber den Tangens:
>
> Es ist [mm]\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)[/mm] (Punktsymmetrie zum
> Ursprung) und [mm]\tan(\alpha+180)=\tan(\alpha)[/mm]
> (Periodizität).
>
> Man sucht [mm]\alpha[/mm] (in Grad) mit
> [mm]\tan(\alpha)=-2\gdw-\tan(\alpha)=2\gdw\tan(-\alpha)=2\gdw\tan(180-\alpha)=2.[/mm]
>
> Jetzt das rechtw. Dreieck mit Gegenkathete 2 und Ankathete
> 1 und den entsprechenden Winkel [mm]\beta[/mm] messen, dann ist
> [mm]\alpha\approx 180-\beta.[/mm]
>
> Wobei man ja durch die Periodizität mehrere Lösungen
> kriegen würde. Hierdurch kriegt man die kleinste positive
> [mm]\approx[/mm] 116,6, durch [mm]\arctan(-2)[/mm] und TR kommt man auf
> [mm]\approx[/mm] -63,4
Warte ich mag noch mitkommen ;)
Nachdem ich das Dreieck gezeichnet habe ist der eine Winkel 62,5 und der andere 27,5.
tan [mm] \alpha [/mm] = Gegenkathete/Ankathete
tan 62,5 = 2/1
wie kommst du auf die 116,6 ?
> $ [mm] 45=p^2\cdot{}(\cos^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))=p^2, [/mm] $
[mm] \cos^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) [/mm] =1 ? Wie kommst du darauf?
> Und für p gehe ich von [mm]-3=p*\cos(\alpha)[/mm] und
> [mm]6=p*\sin(\alpha)[/mm] aus.
>
> dann ist [mm]9=p^2*\cos^2(\alpha)[/mm] und [mm]36=p^2*\sin^2(\alpha).[/mm]
> Addieren und ausklammern bringt
>
> [mm]45=p^2*(\cos^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))=p^2,[/mm]
>
> also [mm]p=\wurzel{45},[/mm] da p>0 vorrausgesetzt war. Mit dem TR
> aus [mm]p=\bruch{6}{\sin(\arctan(-2))}[/mm] bekäme man
> [mm]-\wurzel{45}.[/mm] Dann ist die Mehode von Hand sogar besser.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Walde |
> > Hi,
> >
> > also ich hab auch lieber den Tangens:
> >
> > Es ist [mm]\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)[/mm] (Punktsymmetrie zum
> > Ursprung) und [mm]\tan(\alpha+180)=\tan(\alpha)[/mm]
> > (Periodizität).
> >
> > Man sucht [mm]\alpha[/mm] (in Grad) mit
> >
> [mm]\tan(\alpha)=-2\gdw-\tan(\alpha)=2\gdw\tan(-\alpha)=2\gdw\tan(180-\alpha)=2.[/mm]
> >
> > Jetzt das rechtw. Dreieck mit Gegenkathete 2 und Ankathete
> > 1 und den entsprechenden Winkel [mm]\beta[/mm] messen, dann ist
> > [mm]\alpha\approx 180-\beta.[/mm]
> >
> > Wobei man ja durch die Periodizität mehrere Lösungen
> > kriegen würde. Hierdurch kriegt man die kleinste positive
> > [mm]\approx[/mm] 116,6, durch [mm]\arctan(-2)[/mm] und TR kommt man auf
> > [mm]\approx[/mm] -63,4
> Warte ich mag noch mitkommen ;)
Na klar :)
> Nachdem ich das Dreieck gezeichnet habe ist der eine
> Winkel 62,5 und der andere 27,5.
> tan [mm]\alpha[/mm] = Gegenkathete/Ankathete
> tan 62,5 = 2/1
> wie kommst du auf die 116,6 ?
Kuck mal weiter oben, da hatte man [mm] \tan(180-\alpha)=2. [/mm] Du hast jetzt [mm] \tan [/mm] 62,5 = 2/1, also [mm] 180-\alpha=62,5. [/mm] Der Rest sind Ungenauigkeiten beim Zeichnen und/oder Ablesen.
>
> > [mm]45=p^2\cdot{}(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))=p^2,[/mm]
> [mm]\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)[/mm] =1 ? Wie kommst du darauf?
Das ist der Satz des Pythagoras am Einheitskreis. Auch ![[]](/images/popup.gif) trigonometrischer Pythagoras genannt. Den darfst du bestimmt verwenden, der ist sehr bekannt und leicht einzusehen (behaupte ich).
> > Und für p gehe ich von [mm]-3=p*\cos(\alpha)[/mm] und
> > [mm]6=p*\sin(\alpha)[/mm] aus.
> >
> > dann ist [mm]9=p^2*\cos^2(\alpha)[/mm] und [mm]36=p^2*\sin^2(\alpha).[/mm]
> > Addieren und ausklammern bringt
> >
> > [mm]45=p^2*(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))=p^2,[/mm]
> >
> > also [mm]p=\wurzel{45},[/mm] da p>0 vorrausgesetzt war. Mit dem TR
> > aus [mm]p=\bruch{6}{\sin(\arctan(-2))}[/mm] bekäme man
> > [mm]-\wurzel{45}.[/mm] Dann ist die Mehode von Hand sogar besser.
>
EDIT: Tippfehler bzgl sin u cos
Lg walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Fr 20.01.2012 | | Autor: | weduwe |
eine andere möglichkeit wäre mit [mm]tan\alpha=-2[/mm]
[mm]6 = p\cdot sin\alpha\to 6=p\cdot\frac{tan\alpha}{\sqrt{1+tan^2\alpha}}\to p=-3\sqrt{5}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Fr 20.01.2012 | | Autor: | sissile |
p muss aber >0 gewählt werden ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Fr 20.01.2012 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] 45=p^2\cdot{}(\cos^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))=p^2, [/mm] $
> $ [mm] \cos^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) [/mm] $ =1 ? Wie kommst du darauf?
Hast du dich nicht verschrieben? Das statt einen cos sin hingehört Walde?
Wäre logisch und die Formel würde ich dann auch kennen =)
Und.. EINE GANZ GROßES DANKE!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hast natürlich recht. War'n Tippfehler. Ich verbessere das.
Gern geschehen. Aber bedank dich auch bei Mathepower, ohne den Ansatz wäre man nicht weit gekommen.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 22.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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