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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Rolf1985 |
a(t),b,c,d sind konstanten und bekannt, t ist gesucht. Wie stelle ich es richtig nach t um?
a(t)=b * [ (e^(c*t)) * [c/d*sin(d*t) - cos(d*t)] +1]
soweit konnte ich alles auflösen nur bleibe ich an (c²t/d*sin(dt)- ct*cos(d*t)) hängen. Ich weis noch das cos x gleich +/- Wurzel(1-sin²x) ist, nur hilft das hier irgendwie nicht weiter, das vor dem ersten sin ebenfalls noch ein t steht.
Mit Excel konnte ich das passende t durch ausprobieren und den Vergleich des Ergebnisses mit dem gegebenen a(t) ermitteln. Aber es müsste auch eine mathematisch besseren Lösungsweg geben.
Hintergrund: Es geht um den Punkt, an dem ein schwingungsfähiges System praktisch stabil ist.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=1366903#1366903
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Fr 15.02.2008 | | Autor: | abakus |
> a(t),b,c,d sind konstanten und bekannt, t ist gesucht. Wie
> stelle ich es richtig nach t um?
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> a(t)=b * [ (e^(c*t)) * [c/d*sin(d*t) - cos(d*t)] +1]
>
> soweit konnte ich alles auflösen nur bleibe ich an
> (c²t/d*sin(dt)- ct*cos(d*t)) hängen. Ich weis noch das cos
> x gleich +/- Wurzel(1-sin²x) ist, nur hilft das hier
> irgendwie nicht weiter, das vor dem ersten sin ebenfalls
> noch ein t steht.
>
>
> Mit Excel konnte ich das passende t durch ausprobieren und
> den Vergleich des Ergebnisses mit dem gegebenen a(t)
> ermitteln. Aber es müsste auch eine mathematisch besseren
> Lösungsweg geben.
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
ich müsste mich sehr irren, wenn es für diesen Gleichungstyp eine elementare Auflösungsmöglichkeit gäbe. Schließlich kommt außer Sinus und Kosinus auch noch eine e-Funktion vor. Ansonsten lässt sich die Gleichung numerisch außer mit Excel sicher mit jeder gängigen Mathe-Software und jedem grafikfähigen Taschenrechner in ausreichender Genauigkeit lösen.
Viele Grüße
Abakus
>
> Hintergrund: Es geht um den Punkt, an dem ein
> schwingungsfähiges System praktisch stabil ist.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=1366903#1366903
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 16.02.2008 | | Autor: | Rolf1985 |
Dank für den schönen Empfang :).
Also nein, die e-Funktion verschwindet nach der Umstellung in der Konstanten g und nur t ist eine Variable:
g=c²t/d*sin(dt)- ct*cos(dt))
sin und cos enhalten den selben Term "dt", nur die Mulitplikatoren sind verschieden und enthalten leider ebenfalls das t.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Sa 16.02.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ich habe mir noch mal deine Gleichung aus dem ersten Posting genommen. Wenn da nichts mehr schwingt, heißt das doch:
[c/d*sin(d*t) - cos(d*t)] = 0 ... oder?
Das bedeutet
c/d*sin(d*t)=cos(d*t)
[mm] \bruch{c^2*\sin^2(d*t)}{d^2}=1-\sin^2(d*t)
[/mm]
[mm] \bruch{(c^2+d^2)*\sin^2(d*t)}{d^2}=1
[/mm]
[mm] \sin^2(d*t)=\bruch{d^2}{c^2+d^2}
[/mm]
[mm] \sin(d*t)=\pm\wurzel{\bruch{d^2}{c^2+d^2}}
[/mm]
[mm] d*t=\arcsin{(\pm\wurzel{\bruch{d^2}{c^2+d^2}})}
[/mm]
[mm] t=\bruch{\arcsin{(\pm\wurzel{\bruch{d^2}{c^2+d^2}})}}{d}
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:43 So 17.02.2008 | | Autor: | Rolf1985 |
Man darf die Gleichung nicht einfach Null setzten (siehe Anhang). Ich habe mich an diesem Formeleditior probiert und die gerundeten Konstanten eingesetzt, damit dürfte es übersichtlicher sein.
[mm] 20000 = 20010 *( e^{(-9*t)}*(-1,1* \sin(8*t)- \cos(8*t))+1)[/mm]
soweit komme ich:
[mm] ln(\bruch{20000} {20010} -1)* \bruch {1}{-9} = -1,1*t* \sin(8*t)- t* \cos(8*t)[/mm]
wie kann man den Rest nach t umstellen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 So 17.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Nimm doch bitte den Formeleditor für die Gleichungen, das macht sie leichter lesbar!
> a(t),b,c,d sind konstanten und bekannt, t ist gesucht. Wie
> stelle ich es richtig nach t um?
>
> a(t)=b * [ (e^(c*t)) * [c/d*sin(d*t) - cos(d*t)] +1]
>
> soweit konnte ich alles auflösen nur bleibe ich an
> (c²t/d*sin(dt)- ct*cos(d*t)) hängen. Ich weis noch das cos
> x gleich +/- Wurzel(1-sin²x) ist, nur hilft das hier
> irgendwie nicht weiter, das vor dem ersten sin ebenfalls
> noch ein t steht.
Deine Umformung sieht mir falsch aus, wenn du den Logarithmus nimmst, musst du ihn richtig anwenden:
$a(t) = b [mm] \left(e^{ct} (\bruch{c}{d} \sin(dt) - \cos(dt)) +1 \right) \gdw \ln\left(\bruch{a(t)}{b} - 1 \right) [/mm] = ct + [mm] \ln\left(\bruch{c}{d} \sin(dt) - \cos(dt)\right) [/mm] $.
Du kannst aber die beiden Winkelfunktionen zu einer zusammenfassen: definiere $ A= [mm] \wurzel{1+\bruch{c^2}{d^2}} [/mm] $ und [mm] $\varphi$ [/mm] über [mm] $A\cos\varphi=\bruch{c}{d}$ [/mm] und [mm] $A\sin\varphi [/mm] = 1$, dann ist
[mm] $\bruch{a(t)}{b} [/mm] - 1 = [mm] e^{ct} [/mm] A [mm] (\cos\varphi \sin(dt) [/mm] - [mm] \sin\varphi\cos(dt)) [/mm] = [mm] Ae^{ct} \sin(dt-\varphi) [/mm] $
Der Wert von [mm] $\varphi$ [/mm] ist unerheblich, denn du schätzt [mm] $|\sin(dt-\varphi)|\le [/mm] 1$ ab und bekommst
[mm] $\bruch{a(t)}{b} [/mm] - 1 [mm] \le e^{ct} \gdw \ln\left(\bruch{a(t)-b}{Ab} \right) \le [/mm] ct $
Da, wie ich deinem Folgeposting entnehme, $c<0$ ist, folgt
$ t [mm] \ge \bruch{1}{c} \ln\left(\bruch{a(t)-b}{Ab} \right) [/mm] $
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Rolf1985 |
Danke Rainer, mit diesem Lösungsweg komme ich auf das Ergebnis, welches ich über Excel numerisch ermittelt habe. Der Logarithmus war leider falsch von mir verwendet.
Nun habe ich an zwei Stellen Fragen zum Verständis:
Du fässt die Winkelfunktionen über die Additionstheoreme zu einer Sinusfunktion zusammen, diesen Schritt kann ich nachvollziehen. Nur den Einstieg mit $ A= [mm] \wurzel{1+\bruch{c^2}{d^2}} [/mm] $ und die Erklärung das [mm] $|\sin(dt-\varphi)|\le [/mm] 1$ ist für mich nicht greifbar. Kannst du mir bitte ein, zwei Begriffe nennen, mit denen ich in der Bibliothek dazu die passenden Literaturstellen finden müsste.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 18.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke Rainer, mit diesem Lösungsweg komme ich auf das
> Ergebnis, welches ich über Excel numerisch ermittelt habe.
> Der Logarithmus war leider falsch von mir verwendet.
>
> Nun habe ich an zwei Stellen Fragen zum Verständis:
>
> Du fässt die Winkelfunktionen über die Additionstheoreme zu
> einer Sinusfunktion zusammen, diesen Schritt kann ich
> nachvollziehen. Nur den Einstieg mit [mm]A= \wurzel{1+\bruch{c^2}{d^2}}[/mm]
> und die Erklärung das [mm]|\sin(dt-\varphi)|\le 1[/mm] ist für mich
> nicht greifbar. Kannst du mir bitte ein, zwei Begriffe
> nennen, mit denen ich in der Bibliothek dazu die passenden
> Literaturstellen finden müsste.
Ersteres folgt unmittelbar aus den Gleichungen [mm] $A\cos\varphi=\bruch{c}{d}$ [/mm] und [mm] $A\sin\varphi [/mm] = 1$ durch Quadrieren und Addieren:
[mm] $\left(A\cos\varphi\right)^2 [/mm] + [mm] \left(A\sin\varphi\right)^2 [/mm] = 1 + [mm] \left(\bruch{c}{d}\right)^2 [/mm] $
Die linke Seite ist wegen [mm] $\sin^2+\cos^2=1 [/mm] $ gleich [mm] $A^2$.
[/mm]
Zu [mm] $|\sin(dt-\varphi)|\le [/mm] 1$: Der Sinus liegt immer zwischen -1 und +1.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 19.02.2008 | | Autor: | Rolf1985 |
Da ich keine PN schreiben darf, auf diesem Weg: Danke.
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