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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Trigonometrie / Parameter
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Trigonometrie / Parameter: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:48 Mi 05.10.2005
Autor: Mathe0

Hallo,

nochmal eine Aufgabe bei der ich Rat bräuchte.

Aufgabenstellen: Gegeben ist für t [mm] \in \IR [/mm] die Funktion [mm] f_t [/mm] durch

[mm] f_t(x) [/mm] = [mm] \bruch{2}{3\pi} [/mm] * x + t*sin(x) mit x [mm] \in [/mm] [-3;7].

Das Schaubild von [mm] f_t [/mm] ist [mm] K_t. [/mm]

d)1. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, auf der alle Wendepunkte von [mm] K_t [/mm] liegen.

2. Für welche [mm] t\in \IR [/mm] hat [mm] K_t [/mm] Wendepunkte mit waagrechter Tangente?

3. Für welche t [mm] \in \IR [/mm] hat [mm] K_t [/mm] weder Hoch- noch Tiefpunkte?

1. Ok, zweite Ableitung gleich null gesetzt. Kommt raus -t sind (x) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] x-Wert von WP ist unabhängig von t. Erster WP bei Null und dann jeder weitere [mm] k*\pi. [/mm]

Danach die zwei weiteren WP ermittelt durch einsetzen in [mm] f_t(x) [/mm]
[mm] WP2(\pi/2/3). [/mm] Und daraus die Gleichung der Geraden auf der alle Wendepunkte von [mm] f_t [/mm] liegen berechnet  [mm] \Rightarrow [/mm] g(x)=  [mm] \bruch{2}{3\pi}x [/mm]

Soweit richtig?

Zweiter Punkt: WP mit waagrechter Tangente. Waagrechte Tangente bedeutet doch Steigung in diesem Punkt gleich null? Das wäre dann doch eigentlich ein HP oder TP? Geht das überhaupt?
Ich denke das ich die erste Ableitung = 0 setzen muss aber dann weiß ich nicht mehr weiter.

t * sin (x) +  [mm] \bruch{2x}{3\pi}=0 [/mm]

Weiß jemand Rat?

3. So, beim letzten Punkt weiß ich glaube ich auch wieder wie ich anfangen muß.

Erster Ableitung = 0 setzen

t * sin (x) +  [mm] \bruch{2x}{3\pi}=0 [/mm]

Der Clou bei der ganzen Sachen müsste doch jetzt sein, dass der Term nicht null werden darf?
Also hab ich ihn nach sin(x) umgestellt.

[mm] \Rightarrow [/mm] sin (x) =  [mm] \bruch{-2x}{3\pi*t} [/mm]

Nun müsste doch gelten: sin(x) < -1 und sin(x) > 1

Stell ich jetzt nach t um weiß ich nicht mehr weiter, da ich ja zwei Variablen drinhabe.

[mm] \bruch{-2x}{3\pi*t}<-1 [/mm]

Wo liegt mein Fehler, ist der Ansatz wenigstens richtig?

Mfg und Danke
Mathe0

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt

        
Bezug
Trigonometrie / Parameter: Die Ideen sind gut, aber ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Mi 05.10.2005
Autor: Loddar

Hallo Mathe0!


> g(x)=  [mm]\bruch{2}{3\pi}x[/mm]
>  
> Soweit richtig?

[daumenhoch] Sehr gut ...





> Zweiter Punkt: WP mit waagrechter Tangente. Waagrechte
> Tangente bedeutet doch Steigung in diesem Punkt gleich
> null?

[ok] Genau ...


> Das wäre dann doch eigentlich ein HP oder TP? Geht
> das überhaupt?

Ja, es gibt auch sogenannte "Sattelpunkte". Das sind Wendepunkte mit einer horizontalen Tangente.

Denk doch mal z.B. an die Funktion $y \ = \ [mm] x^3$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$.


> Ich denke das ich die erste Ableitung = 0 setzen muss aber
> dann weiß ich nicht mehr weiter.

Sehr gute Idee, aber ...

  

> t * sin (x) +  [mm]\bruch{2x}{3\pi}=0[/mm]

... das ist ja gar nicht die erste Ableitung! ;-)





> 3. So, beim letzten Punkt weiß ich glaube ich auch wieder
> wie ich anfangen muß.
>
> Erster Ableitung = 0 setzen

[ok] Richtig, aber ...

  

> t * sin (x) +  [mm]\bruch{2x}{3\pi}=0[/mm]

... schon wieder etwas anderes als [mm] $f_t'(x)$ [/mm] genommen!


> Der Clou bei der ganzen Sachen müsste doch jetzt sein, dass
> der Term nicht null werden darf?

Richtige Idee!


Nun bitte nochmal mit den richtigen Ableitungen!

Die grundsätzlichen Ideen hast Du doch bereits verstanden [ok] !!


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Trigonometrie / Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 Mi 05.10.2005
Autor: Mathe0

Hallo Loddar,

sorry das mit der ersten Ableitung habe ich falsch hingeschrieben, bin halt schon den ganzen Tag dran.

Allerdings habe ich unten durchaus mit der richtigen Ableitung weitergerechnet.

Es steht ja da: [mm] \bruch-{2x}{3*\pi*t}<-1 [/mm]
das Problem ist hier für mich die zweite Variable x.

Wäre nett wenn du mir weiterhelfen könntest ich komme wirklich nicht mehr weiter.

Mfg und Danke.

Bezug
                        
Bezug
Trigonometrie / Parameter: Ableitung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:27 Mi 05.10.2005
Autor: Loddar

Hallo Mathe0!


Aber in der ersten Ableitung kommt doch gar kein weiteres $x_$ mehr vor:

[mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3\pi} [/mm] + [mm] t*\cos(x)$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Trigonometrie / Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Mi 05.10.2005
Autor: Mathe0

Hallo Loddar,

da hab ich wirklich gepennt.

Also ich habe jetzt die Aufgabe gelöst. Vielleicht kann mir jemand sagen ob ich richtig liege.

f´_t(x) = t * cos (x) + [mm] 2/3\pi [/mm]

[mm] \Rightarrow -\bruch{2}{3*\pi*t}=cos [/mm] (x)

[mm] \Rightarrow [/mm]  (1)   [mm] -\bruch{2}{3*\pi*t} [/mm] < -1

und (2) [mm] -\bruch{2}{3*\pi*t}>1 [/mm]

Die Fallunterscheidungen:

1. t>0      [mm] \Rightarrow 2/3\pi [/mm] > t
   t<0        [mm] \Rightarrow 2/3\pi [/mm] < t  wiederspricht sicht

2. t>0       [mm] \Rightarrow -2/3\pi>t [/mm] wiederspricht sicht
    t<0       [mm] \Rightarrow -2/3\pi

Lösung
[mm] \Rightarrow t\in [-2/3\pi;2/3\pi] [/mm]

Mfg und Danke
Mathe0

Bezug
                                        
Bezug
Trigonometrie / Parameter: Fast perfekt!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:37 Mi 05.10.2005
Autor: Loddar

Hallo Mathe0!


> Die Fallunterscheidungen:
>  
> 1. t>0      [mm]\Rightarrow 2/3\pi[/mm] > t
>     t<0        [mm]\Rightarrow 2/3\pi[/mm] < t  wiederspricht sicht
>  
> 2. t>0       [mm]\Rightarrow -2/3\pi>t[/mm] wiederspricht sicht
>      t<0       [mm]\Rightarrow -2/3\pi

Bis hierher ganz große Klasse! [applaus]



> Lösung  [mm]\Rightarrow t\in [-2/3\pi;2/3\pi][/mm]

[notok] Hier musst Du aufpassen und nach außen geöffnete Klammern schreiben, da die Intervallgrenzen an sich nicht mehr zur Lösung gehören:

$t \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \red{\left]} [/mm] \ [mm] -\bruch{2}{3\pi}; +\bruch{2}{3\pi} [/mm] \ [mm] \red{\right[}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
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