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Hallo,
folgende Funktion soll auf waagerechte und senkrechte Tangenten überprüft werden:
[mm] r=\wurzel{cos(2\phi)}
[/mm]
Zuerst bringe ich die Funktion in Parameterform:
[mm] x=\wurzel{cos(2\phi)}*cos(\phi)
[/mm]
[mm] y=\wurzel{cos(2\phi)}*sin(\phi)
[/mm]
Nun kann ich die Funktion ableiten:
[mm] y'=\bruch{-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}+cos(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}}{-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}-sin(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}}
[/mm]
Um nun zu ermitteln wo die waagerechten Tangenten liegen setze ich die Ableitung gleich null. Dies ist genau dann wenn der Zähler gleich null ist...
Also:
[mm] -\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}+cos(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}=0
[/mm]
Nach Eliminieren des Nenners und Anwenden des Additionstheorems komme ich auf:
[mm] cos(3\phi)=0
[/mm]
[mm] \phi=\bruch{arccos(0)}{3}=\bruch{\pi}{6}
[/mm]
Nun gibt es aber 4 waagerechte Tangenten zu der Kurve... Wie komme ich auf die anderen drei Tangenten? Marcel hatte mir das schonmal erklärt...Zum Verfahren hat er mir einen Link auf den Wikipediaartikel zu den Arkusfunktionen gesendet... Leider habe ich es daraus nicht entnehmen können... Kann mir bitte einer den rechnerischen Weg für die drei anderen Tangenten aufzeigen?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo sonic5000,
> Hallo,
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> folgende Funktion soll auf waagerechte und senkrechte
> Tangenten überprüft werden:
>
> [mm]r=\wurzel{cos(2\phi)}[/mm]
>
> Zuerst bringe ich die Funktion in Parameterform:
>
> [mm]x=\wurzel{cos(2\phi)}*cos(\phi)[/mm]
>
> [mm]y=\wurzel{cos(2\phi)}*sin(\phi)[/mm]
>
> Nun kann ich die Funktion ableiten:
>
> [mm]y'=\bruch{-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}+cos(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}}{-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}-sin(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}}[/mm]
>
> Um nun zu ermitteln wo die waagerechten Tangenten liegen
> setze ich die Ableitung gleich null. Dies ist genau dann
> wenn der Zähler gleich null ist...
> Also:
>
> [mm]-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}+cos(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}=0[/mm]
>
> Nach Eliminieren des Nenners und Anwenden des
> Additionstheorems komme ich auf:
>
> [mm]cos(3\phi)=0[/mm]
>
> [mm]\phi=\bruch{arccos(0)}{3}=\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
> Nun gibt es aber 4 waagerechte Tangenten zu der Kurve...
> Wie komme ich auf die anderen drei Tangenten? Marcel hatte
> mir das schonmal erklärt...Zum Verfahren hat er mir einen
> Link auf den Wikipediaartikel zu den Arkusfunktionen
> gesendet... Leider habe ich es daraus nicht entnehmen
> können... Kann mir bitte einer den rechnerischen Weg für
> die drei anderen Tangenten aufzeigen?
>
Berücksichtige die Periodizität der Lösungen:
Aus [mm]cos(3\phi)=0[/mm]
folgt doch zunächst
[mm]3\phi=\bruch{\pi}{2}+k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
Zu beachten ist hier, daß [mm]cos(2\phi)>0[/mm] sein muss.
> LG und besten Dank im Voraus...
>
Gruss
MathePower
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Hallo,
gesucht ist die Definitionsmenge folgender Kurvengleichung in Polarkoordinaten:
[mm] r=\wurzel{cos(2\phi}
[/mm]
Mein Ansatz:
[mm] D=[0,\bruch{\pi}{4}]\wedge[\bruch{3\pi}{4},\pi]
[/mm]
Ist das richtig? Wie bringe ich jetzt noch die Periodizitat ein?
Lg und besten Dank im Voraus...
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Hallo,
> Hallo,
>
> gesucht ist die Definitionsmenge folgender Kurvengleichung
> in Polarkoordinaten:
>
> [mm]r=\wurzel{cos(2\phi}[/mm]
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]D=[0,\bruch{\pi}{4}]\wedge[\bruch{3\pi}{4},\pi][/mm]
>
> Ist das richtig?
Das ist für die Primitivperiode von 0 bis [mm] \pi [/mm] richtig.
> Wie bringe ich jetzt noch die Periodizitat
> ein?
Na ja, auf dem üblichen Weg. Sei [mm] k\in\IZ, [/mm] und dann [mm] k*\pi geeignet [/mm] dazuaddiert...
Gruß, Diophant
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Das würde bedeuten:
[mm] D=[0+\pi*k,\bruch{\pi}{4}+\pi*k]\wedge[\bruch{3\pi}{4}+\pi*k,\pi+\pi*k]
[/mm]
Ist die Notation so in Ordnung?
LG
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Hallo sonic5000,
> Das würde bedeuten:
>
> [mm]D=[0+\pi*k,\bruch{\pi}{4}+\pi*k]\wedge[\bruch{3\pi}{4}+\pi*k,\pi+\pi*k][/mm]
>
> Ist die Notation so in Ordnung?
>
Ja.
> LG
Gruss
MathePower
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