Trigonometrische Gleichungen? < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Do 12.03.2015 | | Autor: | Maja199 |
| Aufgabe | | "Gib alle Lösungen der Gleichung an." bzw "Gib alle Lösungen der Gleichung in [0; 2Pi] an." |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=553957
http://www.onlinemathe.de/forum/Trigonometrische-Gleichungen-loesen-49
Hallo,
ich war die letzten vier Mathestunden in der Schule nicht da und wir haben die trigonometrischen Gleichungen durchgenommen.
Jetzt hab ich ein Arbeitsblatt mit verschiedenen Aufgaben.
Die erste Aufgabe lautet "Gib alle Lösungen der Gleichung an:
5sin(x)=3,
die zweite 2/3-4/5 cos(x)= 0"
Dann gibt es weiter unten weitere Aufgaben wie
"sin(3x-2)=0,6 ;
sin(x)=2cos(x);
sin²(x)-3sin(x)+1=0;
3sin(x)-4cos(x)=5;
sin(x)-4tan(x)=0
Bei der Aufgabe 1, also 5sin(x)=3, hätte ich jetzt einfach durch 5 gerechnet, womit dann dort sin(x)= 5/3 stehen würde. Bei der zweiten wäre ich ähnlich vorgegangen, indem ich eben durch (2/3-4/5) geteilt hätte. Aber ich weiß weder, ob das richtig ist, noch ob man dann irgendwie weiterrechnen muss.
Bei Aufgabe "sin(3x-2)=0,6 hätte ich eben +2 und dann durch 3 gerechnet.
Aber bei den anderen Aufgaben bin ich vollkommen überfragt.
Ich weiß, dass man bei einigen, die null ergeben die ABC-Formel verwenden kann und dass sin²(x)=1-cos²(x) ist; cos²(x)=1-sin²(x) ist und sin²(x)+cos²(x)=1 ist.
Aber weiter komm ich wirklich nicht. Ich bin vollkommen überfragt.
Dann gibt es noch irgendwas mit "sub: cos(x)=v" wobei ich nicht weiß, was mir das bringen soll. Ich bitte demnach dringend um Hilfe.
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Ich bin nicht faul, aber ich hab keine Möglichkeit, es von einem Klassenkameraden erklärt zu bekommen, weswegen ich keine andere Möglichkeit sehe, als das Internet um Hilfe zu bitten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 12.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mach dir zuerst mal am Einheitskreis klar, dass gilt
[mm] \sin(\alpha)=\sin(180-\alpha) [/mm] und [mm] \cos(\alpha)=\cos(360-\alpha), [/mm] im Bogenmaß (und diese Formeln brauchst du hier) also
[mm] \sin(\alpha)=\sin(\pi-\alpha) [/mm] und [mm] \cos(\alpha)=\cos(2\pi-\alpha)
[/mm]
Mit diesen Formeln bekommst du aus der Taschenrechnerlösung von [mm] \sin(x)=\Box [/mm] die zweite Lösung im Intervall [mm] [0;2\pi]
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
> "Gib alle Lösungen der Gleichung an." bzw "Gib alle
> Lösungen der Gleichung in [0; 2Pi] an."
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=553957
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Trigonometrische-Gleichungen-loesen-49
>
>
> Hallo,
> ich war die letzten vier Mathestunden in der Schule nicht
> da und wir haben die trigonometrischen Gleichungen
> durchgenommen.
> Jetzt hab ich ein Arbeitsblatt mit verschiedenen
> Aufgaben.
> Die erste Aufgabe lautet "Gib alle Lösungen der Gleichung
> an:
> 5sin(x)=3,
> die zweite 2/3-4/5 cos(x)= 0"
>
> Dann gibt es weiter unten weitere Aufgaben wie
> "sin(3x-2)=0,6 ;
> sin(x)=2cos(x);
> sin²(x)-3sin(x)+1=0;
> 3sin(x)-4cos(x)=5;
> sin(x)-4tan(x)=0
>
> Bei der Aufgabe 1, also 5sin(x)=3, hätte ich jetzt einfach
> durch 5 gerechnet, womit dann dort sin(x)= 5/3 stehen
> würde. Bei der zweiten wäre ich ähnlich vorgegangen,
> indem ich eben durch (2/3-4/5) geteilt hätte. Aber ich
> weiß weder, ob das richtig ist, noch ob man dann irgendwie
> weiterrechnen muss.
Du hast hier in der Tat:
[mm] 5\cdot\sin(x)=3 [/mm] |:5
[mm] \sin(x)=\frac{3}{5} |\sin^{-1}
[/mm]
[mm] x=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)
[/mm]
Der Taschenrechner spuckt nun (Bogenmaß) einen Wert von [mm] x\approx0,644 [/mm] aus.
Den zweite Wert im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] bekommst du mit [mm] x_{2}=\pi-0,644\approx2,498
[/mm]
>
> Bei Aufgabe "sin(3x-2)=0,6 hätte ich eben +2 und dann
> durch 3 gerechnet.
Du musst von Außen nach innen lösen
sin(3x-2)=0,6 [mm] |\sin^{-1}
[/mm]
Das führt mit den Überlegungen von oben, selbst die 0,6 ist ja gleich zu
[mm] 3x-2=\underbrace{0,644}_{x_{1}} [/mm] und [mm] 3x-2=\underbrace{2,498}_{x_{2}}
[/mm]
Bei beiden Gleichungen addiere nun noch 2 und dividiere dann durch 3 um die Lösungen für x hier zu bestimmen
Bei sin(x)=2cos(x) dividiere durch cos(x)
[mm] \sin(x)=\2cos(x) |:\cos(x)
[/mm]
[mm] \tan(x)=2
[/mm]
Nun wende den [mm] tan^{1} [/mm] an, um x zu eliminieren.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 12.03.2015 | | Autor: | Maja199 |
Also gut, dann hab ich die Formeln für Sinus und Cosinus, um auf das zweite X zu kommen. Wie ist das beim Tangens dann?
"sin(3x-2)=0,6 $ [mm] |\sin^{-1} [/mm] $
Das führt mit den Überlegungen von oben, selbst die 0,6 ist ja gleich zu
$ [mm] 3x-2=\underbrace{0,644}_{x_{1}} [/mm] $ und $ [mm] 3x-2=\underbrace{2,498}_{x_{2}} [/mm] $"
Das versteh ich nicht genau. Du hast das ja dann aus der Klammer rausgeholt. Aber wo genau ist dann der Sinus hin?
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Hallo,
> Also gut, dann hab ich die Formeln für Sinus und Cosinus,
> um auf das zweite X zu kommen. Wie ist das beim Tangens
> dann?
Tangens ist auf dem Intervall [mm] [-\pi/2, \pi/2] [/mm] umkehrbar, d.h. dort gibt es immer nur eine Lösung (die liefert [mm] $tan^{-1}$ [/mm] ).
Um die zwei möglichen Lösungen in [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] zu erhalten, musst du also das Ergebnis von [mm] $\tan^{-1}$ [/mm] noch plus [mm] $\pi$ [/mm] bzw. evtl. plus [mm] $2\pi$ [/mm] rechnen.
> "sin(3x-2)=0,6 [mm]|\sin^{-1}[/mm]
>
> Das führt mit den Überlegungen von oben, selbst die 0,6
> ist ja gleich zu
> [mm]3x-2=\underbrace{0,644}_{x_{1}}[/mm] und
> [mm]3x-2=\underbrace{2,498}_{x_{2}} [/mm]"
>
> Das versteh ich nicht genau. Du hast das ja dann aus der
> Klammer rausgeholt. Aber wo genau ist dann der Sinus hin?
Du hattest
[mm] $\sin(3x-2) [/mm] = 0.6$
und nun hat Marius auf beiden Seiten die Umkehrfunktion vom Sinus, d.h. [mm] $\sin^{-1}$, [/mm] angewendet. Dadurch verschwindet der Sinus auf der linken Seite, und auf der rechten Seite steht dann [mm] $\sin^{-1}(0.6)$:
[/mm]
$3x-2 = [mm] \sin^{-1}(0.6)$
[/mm]
Da ist der Sinus hinverschwunden. Marius hatte oben schon ausgerechnet, dass Lösungen von [mm] $\sin^{-1}(0.6)$ [/mm] im Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] durch $0.64$ und $2.50$ gegeben sind.
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Dieses Anwenden von [mm] $\sin^{-1}$ [/mm] auf beiden Seiten einer Gleichung kannst du dir vorstellen wie beim Lösen der quadratischen Gleichung
[mm] $x^2 [/mm] = 9$,
da ziehst du ja auch die Wurzel ("Umkehrfunktion von [mm] $x^2$ [/mm] "), um das Quadrat wegzubekommen:
$x = [mm] \pm \sqrt{9}$.
[/mm]
Genauso machen wir es oben beim Sinus, wir wenden die Umkehrfunktion [mm] $\sin^{-1}$ [/mm] an, um den Sinus wegzubekommen, und auf der rechten Seite kommt dann eine neue Zahl raus.
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Fr 13.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei
> sin²(x)-3sin(x)+1=0
kannst du eine Hilfsvariable - nennen wir sie v - einführen, mit der du v=sin(x) ersetzt - mathematisch gesprochen "substituierst du sin(x) mit v"
Dann wird aus
[mm] \sin^{2}(x)-3\sin(x)+1=0
[/mm]
die quadratische Gleichung
[mm] v^{2}-3x+1=0
[/mm]
Diese hat (Lösungsformel) die Lösungen - für v!!
[mm] \red{v_{1}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx2,61
[/mm]
und
[mm] \red{v_{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx0,38
[/mm]
Nun hast du Lösungen für v, du wisst aber Lösungen für x.
Daher musst du das v=sin(x) noch aufheben.
Hierbei beachte, dass es kein x gibt, so dass
[mm] $\sin(x)=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, [/mm] denn der Sinus nimmt ja nur Werte zwischen -1 und 1 an.
Aber [mm] \sin(x)=\frac{3-\sqrt{5}}{2} [/mm] hat zwei Lösungen, die du mit der Anwendung des [mm] sin^{-1} [/mm] auf beiden Seiten und der Überlegung, dass [mm] \sin(x)=\sin(\pi-x) [/mm] bekommst. Aber wie das geht, hatte ich dir ja in der ersten Antwort schon geschrieben.
Marius
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