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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Mo 22.02.2010 | | Autor: | Rob-Man |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Winkelberechnung-aus-Rotationsmatrix
Ist allerdings schon einige Tage her, leider hat mir da niemand helfen können.
Jetzt habe ich die Aufgabe so weit gebracht das ich nur noch 3 Gleichungssysteme habe, an denen ich aber scheitere. Könnt Ihr mir da vielleicht helfen die Gleichungen nach den Winkeln um zu formen?
X ′ = [ sin ( γ ) sin ( α ) + cos ( γ ) sin ( β ) cos ( α ) ] * K
Y ′ = [ − cos ( γ ) sin ( α ) + sin ( γ ) sin ( β ) cos ( α ) ] * K
Z ′ = [ cos ( β ) cos ( α ) ] * K
Im Prinzip geht es um eine 3D Rotation um den Ursprung eines Koordinatensystems (Rechtwinklich) bei der dich die Drehmatrix mit einem Vektor multipliziere. Dadurch erhalte ich meinen Zielvektor. Ich kenne allerdings die Vektoren und die Winkel nicht.
Kann mir da jemand helfen, bitte. Komm einfach nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Mo 22.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Ist allerdings schon einige Tage her, leider hat mir da
> niemand helfen können.
> Jetzt habe ich die Aufgabe so weit gebracht das ich nur
> noch 3 Gleichungssysteme habe, an denen ich aber scheitere.
> Könnt Ihr mir da vielleicht helfen die Gleichungen nach
> den Winkeln um zu formen?
>
> X ′ = [ sin ( γ ) sin ( α ) + cos ( γ ) sin ( β ) cos
> ( α ) ] * K
> Y ′ = [ − cos ( γ ) sin ( α ) + sin (
> γ ) sin ( β ) cos ( α ) ] * K
> Z ′ = [ cos ( β ) cos ( α ) ] * K
Es wäre besser, wenn du den Formeleditor verwendest.
> Im Prinzip geht es um eine 3D Rotation um den Ursprung
> eines Koordinatensystems (Rechtwinklich) bei der dich die
> Drehmatrix mit einem Vektor multipliziere. Dadurch erhalte
> ich meinen Zielvektor. Ich kenne allerdings die Vektoren
> und die Winkel nicht.
> Kann mir da jemand helfen, bitte. Komm einfach nicht
> weiter
Ich verstehe deine Frage nicht: wenn du weder Winkel noch Vektoren kennst, wie willst du dann überhaupt etwas bestimmen?
Ich nehme mal an, dass dein Vektor K dir ebenso bekannt ist wie der Vektor [mm] $\vektor{x'\\y'\\z'}$. [/mm] Beide Vektoren spannen eine Ebene auf. Wähle deine Drehachse senkrecht zu dieser Ebene; den Drehwinkel kannst du aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Di 23.02.2010 | | Autor: | Rob-Man |
Ok, mist. Blöd Formuliert. natürlich hast du recht und ich weiß die beiden Vektoren.
Das problem ist, das ich eigentlich die Orientierung eines Roboters ermitteln will. Dafür brauche ich die Drehwinkel um alle drei Achsen. ich habe dann Mein System so weit vereinfachen können das ich nun nur noch die Drehwinkel für einen Vektor ermitteln muss. Sprich die Drehung vom K Vektor [0,0,K] auf meinen Zielvektor [X',Y',Z'].
Wenn ich nun mit meinen beiden Vektoren eine Ebene aufspanne und dann den Winkel über das Skalar ermittel, ist das ja nicht das selbe.
Bitte Frag wenn ich es nicht verständlich beschreibe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Di 23.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, mist. Blöd Formuliert. natürlich hast du recht und
> ich weiß die beiden Vektoren.
> Das problem ist, das ich eigentlich die Orientierung eines
> Roboters ermitteln will. Dafür brauche ich die Drehwinkel
> um alle drei Achsen. ich habe dann Mein System so weit
> vereinfachen können das ich nun nur noch die Drehwinkel
> für einen Vektor ermitteln muss. Sprich die Drehung vom K
> Vektor [0,0,K] auf meinen Zielvektor [X',Y',Z'].
> Wenn ich nun mit meinen beiden Vektoren eine Ebene
> aufspanne und dann den Winkel über das Skalar ermittel,
> ist das ja nicht das selbe.
Aber fast. Denn mit Drehachse und Drehwinkel ist die Drehmatrix bestimmt; daraus kannst du (zum Beispiel) die Eulerwinkel bestimmen.
Aber es geht einfacher: da dein Ausgangsvektor in z-Richtung liegt, brauchst du nur zwei Winkel statt drei. Drehe zunächst deinen Zielvektor um die z-Achse in die XZ-Ebene, und zwar so, dass danach die x-Komponente [mm] $\ge [/mm] 0$ ist. Den Drehwinkel kannst du ja aus $X'$ und $Y'$ direkt bestimmen, denn dessen Tangens ist $-Y'/X'$, und die Vorzeichen von $X'$ und $Y'$ bestimmen, in welchem Quadranten der Zielvektor liegt. Dieser Drehwinkel ist bis aufs Vorzeichen der Azimuthwinkel [mm] $\varphi$ [/mm] der Polarkoordinaten des Zielvektors. Das Ergebnis ist der Vektor
[mm] \vektor{\sqrt{X'^2+Y'^2}\\0\\Z'} [/mm],
den du dann um die y-Achse drehst, um den Ausgangsvektor zu erhalten. Der Drehwinkel ist (wieder bis aufs Vorzeichen) der zweite Winkel [mm] $\theta$ [/mm] der Polarkoordinaten. Damit ist
[mm] \vektor{X'\\Y'\\Z'} = K \vektor{\sin\theta \cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Di 02.03.2010 | | Autor: | Rob-Man |
Ich habe das ganze ausprobiert und komme leider nicht auf das richtige Ergebniss.
ich habe einfach mal mit nem Program mein Problem simuliert und habe dann mit den ermittelten Winkeln drei (3) Drehungen durchgeführt. Erst um X, dann um Y und dann um Z. Damit habe ich dann meinen Ziel Vektor (X',Y',Z') auch raus bekommen. Mit nur 2 Umformung geht das ganze leider nicht. Auch in meiner Simulation haben 2 Winkel und die Z-Drehung=0 nicht die richtige Stellung ergeben.
Eulerwinkel?
Ist das die Matrix hier?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Di 02.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe das ganze ausprobiert und komme leider nicht auf
> das richtige Ergebniss.
> ich habe einfach mal mit nem Program mein Problem
> simuliert und habe dann mit den ermittelten Winkeln drei
> (3) Drehungen durchgeführt. Erst um X, dann um Y und dann
> um Z. Damit habe ich dann meinen Ziel Vektor (X',Y',Z')
> auch raus bekommen. Mit nur 2 Umformung geht das ganze
> leider nicht. Auch in meiner Simulation haben 2 Winkel und
> die Z-Drehung=0 nicht die richtige Stellung ergeben.
Das verstehe ich nicht. Was meinst du mit Z-Drehung=0? Wie ich dir schrieb, musst du erst um die y-Achse drehen (genauer: um eine Achse in der xy-Ebene), bis dein Vektor den gleichen Azimuthwinkel wie der Zielvektor hat, dann um die z-Achse.
> Eulerwinkel?
> Ist das die Matrix hier?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Weiss ich auswendig nicht, das steht aber in jedem Lehrbuch über Drehungen, oder auch ![[]](/images/popup.gif) in der Wikipedia.
Viele Grüße
Rainer
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