Trivialität-Cauchy Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Mi 16.09.2009 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | | Beweis der Cauchy-Ungleichung |
Hallo Matheraum.
Komm mal wieder nicht weiter und brauche eure Hilfe. Und zwar muss ich gerade den Beweis zur Cauchy-Ungleichung (hat nix mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung zutun glaub ich, deshalb ist es schwer da was im Netz zu finden). Also da steht in meinem Skript:
Cauchy-Ungleichung: Seien X,Y Zufallsgrößen mit [mm] E(X),E(Y)<\infty [/mm] , [mm] \Rightarrow [/mm] E(|XY|) [mm] \leq [/mm] E(X)E(Y) .
Beweis: Sei [mm] E(X^2),E(Y^2)>0 [/mm] (sonst klar). (DAS verstehe ich)
[mm] \overline{X}:= \bruch{X}{\wurzel{E(X^2)}} [/mm] ,ebenso:
[mm] \overline{Y}:= \bruch{Y}{\wurzel{E(Y^2)}}
[/mm]
[mm] 2|\overline{X}\overline{Y}| \leq \overline{X}^2 \overline{Y}^2 [/mm]
[mm] \Rightarrow 2E(|\overline{X}\overline{Y}|) \leq E(\overline{X}^2) [/mm] + [mm] E(\overline{Y}^2) [/mm] (SOWEIT noch alles klar)
=1+1=2 (Nach langem Ringen auch das verstanden und nun mein Problem:) [mm] "\Rightarrow" [/mm] Behauptung . Fertig.
Also fürr mich ist das ganz und gar nicht trivial, offensichtlich oder sonst was. Solche Sachen find ich immer sehr frustrierend und demotivierend. Ich hoffe mir kann da jemand helfen.
Vielen dank schonmal, Oby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mi 16.09.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin oby,
du musst nicht lange ueberlegen, denn die Ungleichung ist falsch: Sind
$X_$ und $Y_$ normalverteilt mit [mm] $\operatorname{E}[X]=1$ [/mm] und [mm] $\operatorname{E}[Y]=-1$, [/mm] so ist sie nicht erfuellt.
Oder werden uns die genauen Voraussetzungen noch in homoeopathischen
Dosen serviert? :-(
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Mi 16.09.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also ich glaube du hast die Gleichung nicht richtig aufgeschrieben, wenn dann muss es so lauten:
[mm]|E(XY)| \le \wurzel{E(X^2)E(Y^2)}[/mm]
dies ist ein Spezialfall von (nämlich wenn die Erwartungswerte der beiden ZV's den Wert 0 haben):
[mm]Cov(X,Y)^2 \le Var(X)Var(Y) [/mm]
Beweis:
1. Fall [mm]Var(Y)=0[/mm] klar!
2. Fall [mm]Var(Y)>0[/mm]
sei [mm]\alpha=-\bruch{Cov(X,Y)}{Var(Y)}[/mm]
(beachte, dass Varianzen immer größer gleich null sind)
[mm]0 \le Var(X+\alpha Y)Var(Y) =(Var(X)+2 \alpha Cov(X,Y)+\alpha^2 Var(Y))Var(Y)=Var(X)Var(Y)-Cov(X,Y)^2[/mm]
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 16.09.2009 | | Autor: | oby |
Danke schonmal für die Antworten, ich habe da tatsächlich ein Quadrat vergessen, es muss lauten:
[mm] (E|XY|)^2 \leq E(X^2)E(Y^2).
[/mm]
Naja jedenfalls hab ich ja zum Schluss
[mm] E|\overline{X}\overline{Y}| \leq [/mm] 1
und ich muss nun irgendwie daraus schlussfolgern können, dass dann
[mm] (E|XY|)^2 \leq E(X^2)E(Y^2) [/mm] gilt.
[mm] E|\overline{X}\overline{Y}|=E|\bruch{XY}{\wurzel{E(X^2)}\wurzel{E(Y^2)}}| [/mm] = [mm] E|\bruch{XY}{\wurzel{E(X^2)E(Y^2)}}| [/mm] .Aber wie komm ich dann hier weiter?? Warum dürfte ich denn hier den Erwartungswert bzgl des Bruches teilen? Dann wär ich ja fertig, denn es gilt ja meines Wissens nicht, dass [mm] E(\bruch{A}{B})=\bruch{E(A)}{E(B)} [/mm] .Das gilt doch nur falls A,B unabhängig sind. Wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:34 Do 17.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke schonmal für die Antworten, ich habe da tatsächlich
> ein Quadrat vergessen, es muss lauten:
> [mm](E|XY|)^2 \leq E(X^2)E(Y^2).[/mm]
> Naja jedenfalls hab ich ja
> zum Schluss
> [mm]E|\overline{X}\overline{Y}| \leq[/mm] 1
> und ich muss nun irgendwie daraus schlussfolgern können,
> dass dann
> [mm](E|XY|)^2 \leq E(X^2)E(Y^2)[/mm] gilt.
Ja.
> [mm]E|\overline{X}\overline{Y}|=E|\bruch{XY}{\wurzel{E(X^2)}\wurzel{E(Y^2)}}|[/mm]
> = [mm]E|\bruch{XY}{\wurzel{E(X^2)E(Y^2)}}|[/mm] .Aber wie komm ich
> dann hier weiter??
Nun, du benutzt dass der Erwartungswert [mm] $\IR$-linear [/mm] ist und dass [mm] $\frac{1}{\sqrt{E(X^2)} \sqrt{E(Y^2)}}$ [/mm] eine Konstante aus [mm] $\IR$ [/mm] ist.
> Warum dürfte ich denn hier den
> Erwartungswert bzgl des Bruches teilen? Dann wär ich ja
> fertig, denn es gilt ja meines Wissens nicht, dass
> [mm]E(\bruch{A}{B})=\bruch{E(A)}{E(B)}[/mm] .
Noe, das gilt auch nicht. Aber hier ist das $B$ nicht irgendeine Zufallsvariable, sondern eine Konstante!
> Das gilt doch nur falls A,B unabhängig sind.
Bist du dir sicher, dass das in dem Fall gilt? Dann muesste ja $E(1/X) = 1/E(X)$ sein, und das kommt mir ziemlich unwahr vor.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:04 Do 17.09.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Bist du dir sicher, dass das in dem Fall gilt? Dann muesste
> ja [mm]E(1/X) = 1/E(X)[/mm] sein, und das kommt mir ziemlich unwahr
> vor.
>
Gilt nicht.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Do 17.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen,
> > Bist du dir sicher, dass das in dem Fall gilt? Dann muesste
> > ja [mm]E(1/X) = 1/E(X)[/mm] sein, und das kommt mir ziemlich unwahr
> > vor.
>
> Gilt nicht.
wen's interessiert, ein einfaches Gegenbeispiel (ich haette gestern ein paar Sekunden laenger nachdenken sollen  ):
$P(X = 1) = 1/2 = P(X = 2)$
dann gilt $E(X) = 3/2$ und $E(1/X) = 3/4 [mm] \neq [/mm] 2/3$.
LG Felix
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