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Hallo,
ich soll die folgende Reihe auf Konvergenz hin untersuchen:
[mm] \summe_{k}^{} \frac{k+4}{2k^{2}-3k+3}
[/mm]
Man untersuche die Folge der Partialsummen:
[mm] a_{k} [/mm] := [mm] \frac{k+4}{2k^{2}-3k+3}
[/mm]
Jetzt wird abgeschätzt: Für k [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{k+4}{2k^{2}-3k+3} \ge \frac{k}{2k^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2k}
[/mm]
gilt, da 3k-3 [mm] \ge [/mm] 0.
Bis da hin alles klar. Nur jetzt:
Da [mm] \summe_{k}^{} \frac{1}{2k} [/mm] divergent ist, ist auch [mm] \summe_{k}^{} a_{k} [/mm] divergent.
Wieso ist [mm] \summe_{k}^{} \frac{1}{2k} [/mm] divergent? Die Teilsummen [mm] \frac{1}{2k} [/mm] gehen doch gegen 0 - dann ist die Reihe nach Definition doch konvergent...
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Hallo abi2007LK,
> Hallo,
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> ich soll die folgende Reihe auf Konvergenz hin
> untersuchen:
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> [mm]\summe_{k}^{} \frac{k+4}{2k^{2}-3k+3}[/mm]
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> Man untersuche die Folge der Partialsummen:
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> [mm]a_{k}[/mm] := [mm]\frac{k+4}{2k^{2}-3k+3}[/mm]
>
> Jetzt wird abgeschätzt: Für k [mm]\in \IN[/mm] gilt:
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> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\frac{k+4}{2k^{2}-3k+3} \ge \frac{k}{2k^2}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{2k}[/mm]
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> gilt, da 3k-3 [mm]\ge[/mm] 0.
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> Bis da hin alles klar. Nur jetzt:
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> Da [mm]\summe_{k}^{} \frac{1}{2k}[/mm] divergent ist, ist auch
> [mm]\summe_{k}^{} a_{k}[/mm] divergent.
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> Wieso ist [mm]\summe_{k}^{} \frac{1}{2k}[/mm] divergent? Die
> Teilsummen [mm]\frac{1}{2k}[/mm] gehen doch gegen 0 - dann ist die
> Reihe nach Definition doch konvergent... ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Aussage geht genau in die andere Richtung!!!.
Das Kriterium lautet:
[mm] $\sum_ka_k$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow (a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge
Die Aussage ist mit Kontraposition äquivalent zu
[mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge [mm] $\Rightarrow \sum_ka_k$ [/mm] divergent
Das Kriterium ist also ein notwendiges aber keinesfalls ein hinreichendes, dh. es gibt durchaus Reihen [mm] $\sum_kb_k$, [/mm] wo [mm] $(b_k)_{k\in\IN}$ [/mm] Nullfolge ist, die Reihe aber divergiert
Das Paradebsp. ist die harmonische Reihe [mm] $\sum_k\frac{1}{k}$
[/mm]
Die divergiert gegen [mm] \infty, [/mm] ihre Partialsummen übertreffen jede Schranke.
Einen Beweis dazu müsstet ihr in der VL gemacht haben, findet sich aber ansonsten in jedem ANA1 Buch 
Das Trivialkriterium hilft dir also nur, wenn [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge ist.
Dann kannst du direkt sagen, dass die Reihe [mm] $\sum_ka_k$ [/mm] divergent ist
Wenn [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist, kannst du ohne weitere Überprüfungen nichts über die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_ka_k$ [/mm] sagen
In deiner Aufgabe wurde zum Divergenznachweis deiner Ausgangsreihe das Vergleichskriterium oder Majorantenkriterium benutzt.
Deine Ausgangsreihe wird nach unten abgeschätzt, also immer weiter verkleinert, bis man am Ende der Ungleichhietskette eine divergente Reihe stehen hat - die sog. divergente Minorante
Da bietet sich oft die harmonische Reihe [mm] $\sum_k\frac{1}{k}$ [/mm] an, von der man weiß / in der VL bewiesen hat, dass sie gegen [mm] \infty [/mm] divergiert.
Was bleibt dann deiner "armen" noch größeren Ausgangsreihe anderes übrig, als auch gegen [mm] \infty [/mm] zu divergieren
Du kannst am Ende noch etwas weiter umformen dann ist es vllt. klarer:
[mm] $\sum_k\frac{k+4}{2k^2-3k+3}\ge\sum_k\frac{1}{2k}=\frac{1}{2}\cdot{}\sum_k\frac{1}{k}$
[/mm]
Nun hast du ganz rechts als kleinste Reihe in der Kette die harmonische Reihe in ihrer "Reinform" stehen
Es ist ja [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty$
[/mm]
Dann ist aber auch [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\frac{1}{2}\cdot{}\infty=\infty$
[/mm]
Also hast du mit [mm] $\frac{1}{2}\sum_k\frac{1}{k}=\sum\frac{1}{2k}$ [/mm] eine divergente Minorante zu deiner Ausgangsreihe gefunden
Hoffe, das war nicht zu sehr klein-klein
Sonst überlies es einfach
LG
schachuzipus
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