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Folgende Aufgabe:
Eine Zeitung will vor einem Parlamentswahl einen möglist kleinen Ergebnisspielraum vorhersagen, in den mit 95%-iger Sicherheit der prozentuale Stimmanteil der Parta A fällt. In der durchgeführten Repräsentativumfrage gebe 4700 von 10000 Personen an, sie werden A wählen. Bestimmen Sie mittels einer Abschätzung nach Tschebycheff ein Intervall für den Stimmenanteil von A, das die Zeitung unter den oben genannten Vorgaben veröffentlichen kann.
So bin ich vorgegangen:
1. Schritt: Der Anteil der 4700 von 10000 Personen beträgt 47% !
2. Schritt: Gesucht wird nun noch d (Abweichung)
-> ( |(X/n)-p| <= d ) => 1/(4nd²)
-> 1 - 1/(4nd²) => 0,95
-> 1/(4nd²) <= 0,05
Jetzt nach d auflösen und man erhält d !
Das Intervall würde sich dann aus ] 47% - d ; 47% + d [ ergeben !
Meine Frage: Stimmt mein Rechenweg?
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Hallo Pascal!
> Folgende Aufgabe:
> Eine Zeitung will vor einem Parlamentswahl einen möglist
> kleinen Ergebnisspielraum vorhersagen, in den mit 95%-iger
> Sicherheit der prozentuale Stimmanteil der Parta A fällt.
> In der durchgeführten Repräsentativumfrage gebe 4700 von
> 10000 Personen an, sie werden A wählen. Bestimmen Sie
> mittels einer Abschätzung nach Tschebycheff ein Intervall
> für den Stimmenanteil von A, das die Zeitung unter den oben
> genannten Vorgaben veröffentlichen kann.
>
> So bin ich vorgegangen:
> 1. Schritt: Der Anteil der 4700 von 10000 Personen beträgt
> 47% !
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Schritt: Gesucht wird nun noch d (Abweichung)
>
> -> ( |(X/n)-p| <= d ) => 1/(4nd²)
Dieser Schritt geht mir etwas zu schnell. Für alle, die das hier nachlesen und um sicherzugehen, dass Du dasselbe meinst, füge ich noch etwas hinzu. Mit [mm] $X\sim [/mm] B(n,p)$ folgt $E(X/n)=p$ und $Var(X/n)=p(1-p)/n$. Daraus folgt mit Tschebyscheff zunächst
[mm]P(|(X/n)-p| \le d )\ge 1- \frac{Var(X/n)}{d^2}=1-\frac{p(1-p)}{nd^2}.[/mm]
Nun schätzt Du offensichtlich $p(1-p)$ durch 1/4 ab und müsstest erhalten:
[mm]P(|(X/n)-p| \le d )\ge 1-\frac{1}{4nd^2}.[/mm]
Bei Dir fehlt dann aber irgendwo ein 1- ..., oder?
> -> 1 - 1/(4nd²) => 0,95
>
> -> 1/(4nd²) <= 0,05
Das ist dann aber hier wieder aufgetaucht.
> Jetzt nach d auflösen und man erhält d !
>
> Das Intervall würde sich dann aus ] 47% - d ; 47% + d [
> ergeben !
Na ja, durch die Ungleichung erhält man sogar mehrere d's, aber man nimmt dann wohl das kleinste.
Es mag zwar etwas penibel sein, was ich nun noch anmerke, aber ich denke, es ist wichtig. Das Intervall, das man am Ende angibt, ist NICHT so zu verstehen, dass das wahre p mit Wkt. 0.95 darin enthalten ist. Denn schließlich ist $p$ keine Zufallsvariable, sondern eine Zahl, d.h. entweder p liegt in dem Intervall oder nicht. Die Wkt. dafür, dass p im Intervall enthalten ist, ist also 1 oder 0. Was man oben konstruiert hat, ist aber ein Konfidenzintervall für p; es lautet:
[mm] [X/n-d; X/n+d] [/mm]
(mit der ZUFALLSVARIABLEN X), wobei beachtet werden sollte, dass d noch von n abhängt. Hierfür gilt tatsächlich, dass p mit Wkt. 0.95 drin liegt. Für eine Realisierung von X (hier: 47000) erhält man dann das oben diskutierte konkrete Intervall.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Spectre01 |
Also ist der Rechenweg bis auf ein paar kleinere Schönheitsfehler richtig?
Danke nochmal für deine Mühen Brigitte und die schnelle und gute Antwort!
Liebe Grüsse
Pascal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Pascal!
> Also ist der Rechenweg bis auf ein paar kleinere
> Schönheitsfehler richtig?
Ja. Entschuldige, dass das bei meiner Antwort nicht offensichtlich war.
> Danke nochmal für deine Mühen Brigitte und die schnelle und
> gute Antwort!
Danke für das Lob 
Liebe Grüße
Brigitte
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