Tschebyscheff-Polynome < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Mo 28.07.2008 | | Autor: | mathe-lk |
| Aufgabe | Gegeben seien die ganzrationale Funktionen
[mm] T_{0}:x\to1; x\in \IR [/mm] und [mm] T_{1}(x)=x; x\in \IR.
[/mm]
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] und x in [mm] \IR [/mm] soll die Formel
[mm] T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2*x*T_{n}(x)-T_{n-1}(x) [/mm] gelten.
Mit Helfe dieser Formel können Sie die Funktionen [mm] T_{2}, T_{3},... [/mm] bstimmen. Die Funktionsterme heißen Tschebyscheff-Polynome.
a) Bestimmen Sie die Tschebyscheff-Pollynome [mm] T_{2}(x), T_{3}(x) [/mm] und [mm] T_{4}(x).
[/mm]
b)Zeigen Sie, dass die lokalen Extremstellen der Funktionen [mm] T_{2}, T_{3} [/mm] und [mm] T_{4} [/mm] alle im Intervall [-1;1] liegen und die entsprechenden Funktionwerte gleich den Funktionswerten an den Stellen x=1 bzw. x=-1 sind.
c)Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion:
1. Der Grad von [mm] T_{n} [/mm] ist gleich n.
2. Es gilt für alle n [mm] \in \IN: T_{n}(1)=1 [/mm] und [mm] T_{n}(-1)=(-1)^{n}.
[/mm]
3. Für die ganzrationale Funktion [mm] T_{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] lautet der Koeffizient der höchsten Potenz von x: [mm] a_{n}=2^{n-1}.
[/mm]
4. Für alle [mm] x\in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] T_{n}(-x)=(-1)^{n}*T_{n}(x).
[/mm]
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Hi!
Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe!
zu a) muss ich da für n die Zahlen 2, 3 u. 4 einsetzen und dann nur die Funktion hinschreiben?wenn T1(x)=x dann müsste doch [mm] T2(x)=\bruch{1}{2} [/mm] sein oder?ist das immer das Integral vom vorherigen?
zu b)wie zeige ich, dass die extremstellen im Intervall liegen?muss ich da die erste Ableitung von den jeweiligen funktionen von a) bilden und diese gleich 0 setzen und dann schauen, ob diese wirklich im Intervall liegen?welche Funktionswerte muss ich dann mit denen an den Stellen x=1 bzw. x=-1 vergleichen?
zu c) hier weiß ich überhaupt nicht wie ich vorgehen muss. Wie beweise ich etwas mit Hilfe der vollständigen Induktion?ich kenne diesen Begriff nur aus der Physik!
Wär super, wenn mir jemand bei der Lösung dieser wirklich komplexen Aufgabe helfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mo 28.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben seien die ganzrationale Funktionen
> [mm]T_{0}:x\to1; x\in \IR[/mm] und [mm]T_{1}(x)=x; x\in \IR.[/mm]
> Für
> alle n [mm]\in \IN[/mm] und x in [mm]\IR[/mm] soll die Formel
> [mm]T_{n+1}(x)[/mm] = [mm]2*x*T_{n}(x)-T_{n-1}(x)[/mm] gelten.
> Mit Helfe dieser Formel können Sie die Funktionen [mm]T_{2}, T_{3},...[/mm]
> bstimmen. Die Funktionsterme heißen
> Tschebyscheff-Polynome.
> a) Bestimmen Sie die Tschebyscheff-Pollynome [mm]T_{2}(x), T_{3}(x)[/mm]
> und [mm]T_{4}(x).[/mm]
> b)Zeigen Sie, dass die lokalen Extremstellen der
> Funktionen [mm]T_{2}, T_{3}[/mm] und [mm]T_{4}[/mm] alle im Intervall [-1;1]
> liegen und die entsprechenden Funktionwerte gleich den
> Funktionswerten an den Stellen x=1 bzw. x=-1 sind.
> c)Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion:
> 1. Der Grad von [mm]T_{n}[/mm] ist gleich n.
> 2. Es gilt für alle n [mm]\in \IN: T_{n}(1)=1[/mm] und
> [mm]T_{n}(-1)=(-1)^{n}.[/mm]
> 3. Für die ganzrationale Funktion [mm]T_{n}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]
> lautet der Koeffizient der höchsten Potenz von x:
> [mm]a_{n}=2^{n-1}.[/mm]
> 4. Für alle [mm]x\in \IR[/mm] und n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> [mm]T_{n}(-x)=(-1)^{n}*T_{n}(x).[/mm]
>
> Hi!
> Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Lösung dieser
> Aufgabe!
>
> zu a) muss ich da für n die Zahlen 2, 3 u. 4 einsetzen und
> dann nur die Funktion hinschreiben?wenn T1(x)=x dann müsste
> doch [mm]T2(x)=\bruch{1}{2}[/mm] sein oder?ist das immer das
> Integral vom vorherigen?
Nein. [mm] T_{2}(x)=
[/mm]
[mm] T_{\red{1}+1}(x)
[/mm]
[mm] =2*x*T_{\red{1}}(x)-T_{\red{1}-1}(x)
[/mm]
=2x*x-1
=2x²-1
Und [mm] T_{3}(x)=2x*T_{2}-T_{1}(x)
[/mm]
[mm] =2x*(2x^{2}-1)-x=...
[/mm]
>
> zu b)wie zeige ich, dass die extremstellen im Intervall
> liegen?muss ich da die erste Ableitung von den jeweiligen
> funktionen von a) bilden und diese gleich 0 setzen und dann
> schauen, ob diese wirklich im Intervall liegen?welche
> Funktionswerte muss ich dann mit denen an den Stellen x=1
> bzw. x=-1 vergleichen?
Berechne mal die Extrempunte [mm] E(x_{e}/T_{n}(x_{e})) [/mm] und vergleiche [mm] T_{n}(x_{e}) [/mm] mit [mm] T_{n}(1)
[/mm]
>
> zu c) hier weiß ich überhaupt nicht wie ich vorgehen muss.
> Wie beweise ich etwas mit Hilfe der vollständigen
> Induktion?ich kenne diesen Begriff nur aus der Physik!
Fange an, dass [mm] T_{1} [/mm] den Grad 1 hat.
Dann nimm an, dass [mm] T_{n} [/mm] den Grad n hat (Das brauchst du nur anzunehmen, das ist der "Trick" bei dem Induktionsbeweis)
Und dann zeige, wenn [mm] T_{n} [/mm] den Grad n hat, dass dann [mm] T_{n+1} [/mm] den Grad n+1 haben muss.
Jetzt versuche dich erstmal hieran. Wenn du konkrete Rückfragen hast, stelle sie dann.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Di 29.07.2008 | | Autor: | mathe-lk |
Hi Marius,
ich hab die Extremwerte jetzt berechnet und krieg für T2 x=0 und T2(0)= -1 raus; wenn ich aber T2(1) berechne oder T2(-1) kommt jeweils 1 raus, das stimmt aber nicht mit dem Wert von T2(0) überein. Was hab ich jetzt falsch gemacht?weil ich hab die selbe Gleichung für T2 raus wie du!
Bei T3 stimmen die Werte überein, für T4 jedoch wieder nicht! Muss ich noch etwas beachten?
Mit der c) fange ich mal an und melde mich dann noch ma, wenn ich bei 1. was raus habe!
danke für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Di 29.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier mal das Bild von [mm] T_{0}(x) [/mm] bis [mm] T_{4}(x)
[/mm]
> Hi Marius,
> ich hab die Extremwerte jetzt berechnet und krieg für T2
> x=0 und T2(0)= -1 raus; wenn ich aber T2(1) berechne oder
> T2(-1) kommt jeweils 1 raus, das stimmt aber nicht mit dem
> Wert von T2(0) überein. Was hab ich jetzt falsch
> gemacht?weil ich hab die selbe Gleichung für T2 raus wie
> du!
> Bei T3 stimmen die Werte überein, für T4 jedoch wieder
> nicht! Muss ich noch etwas beachten?
Sorry, ich habe die Aufgebe fehlinterpretiert. Die Funktionswerte der Extreme sind entweder 1 oder -1, und das sind auch genau die Randwerte [mm] T_{i}(1) [/mm] oder [mm] T_{i}(-1).
[/mm]
> Mit der c) fange ich mal an und melde mich dann noch ma,
> wenn ich bei 1. was raus habe!
Mach das.
> danke für deine Hilfe
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Mi 30.07.2008 | | Autor: | mathe-lk |
hey marius
heißt das, dass ich für die T2, T3 und T4 Werte einfach immer 1 oder -1 rauskriegen muss, unabhängig von den Werten T2(1) und T2(-1)? weil ich hab für T2 den Extremwert (0/-1), bei T2(1) bzw. T2(-1) kommt jeweils 1 raus, ich soll aber zeigen, dass die Funktionswerte übereinstimmen, tun sie aber in diesem Fall nicht!
Ich wünsche dir noch einen schönen Tag
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mi 30.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich verstehe die Aufgabe so, dass du zeigen sollst, dass die Extrempunkte alle die y-Koordinate 1 oder -1 haben, also die Werte von [mm] T_{i}(1) [/mm] oder [mm] T_{i}(-1)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Do 31.07.2008 | | Autor: | mathe-lk |
Hi,
ich hab mich ma an der c) versucht! also mit dem Grad n, hab ich einfach Tn aufgestellt, reicht des schon?
und bei c) 2. hab ich einfach in die anderen Gleichungen T2, T3 u. T4 des eingesetzt und dann immer das entsprechende Ergebnis erhalten, ist des ach so möglich?
bei 3. weiß ich net ma wie ich anfangen soll =(
sorry das ich dich ständig was frag, aber die aufgaben sind so tierisch schwer für mich!
schönen tag noch
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> Hi,
> ich hab mich ma an der c) versucht! also mit dem Grad n,
> hab ich einfach Tn aufgestellt, reicht des schon?
Hallo,
wenn Du [mm] T_n [/mm] aufgestellt hast, mußt Du natürlich noch beweisen, daß das, was Du aufgestellt hast, wirklich [mm] T_n [/mm] ist, denn behaupten kann man ja viel.
Meine Bedenken setzen bereits beim "einfach aufgestellt" ein. Was meinst Du damit? Wie hast Du das aufgestellt?
Was Du tun sollst, ist ja in der Aufgabenstellung gesagt: einen Beweis per vollst. Induktion führen.
> und bei c) 2. hab ich einfach in die anderen Gleichungen
> T2, T3 u. T4 des eingesetzt und dann immer das
> entsprechende Ergebnis erhalten, ist des ach so möglich?
Nein. Man will ja auch wissen, daß die Aussge für n=454955759847595709358938593594754854985495784957843584985735894305880495740975430985 richtig ist.
Das ist allgemein zu zeigen, und das gelingt Dir mit vollständiger Induktion.
> bei 3. weiß ich net ma wie ich anfangen soll =(
Hier mußt Du Dir die aussage erstaml etwas handlicher formulieren.
Was bedeutet es denn, wenn der Koeffizient der Höchsten Potenz [mm] 2^{n-1} [/mm] ist?
Du hast ja zuvor gezeigt, daß [mm] T_n [/mm] den grad n hat, also ist die Behauptung, daß [mm] T_n [/mm] so aussieht:
[mm] T_n(x)=2^{n-1}x^n [/mm] + [mm] p_{n-1}(x), [/mm] wobei [mm] p_{n-1} [/mm] ein Polynom vom grad <n ist.
Voraussetzung für die Lösung dieser Aufgaben ist, daß Du Induktion kannst.
Falls nicht: schlaumachen!
Gruß v. Angela
> sorry das ich dich ständig was frag, aber die aufgaben
> sind so tierisch schwer für mich!
> schönen tag noch
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