Tschebyscheff-Polynome < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Pauline |
| Aufgabe | Gegeben seien die ganzrationalen Funktionen
[mm] T_{0}:x\to1; x\in\IR [/mm] und [mm] T_{1}:x\to [/mm] x; [mm] x\in\IR.
[/mm]
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] x\in\IR [/mm] soll die Formel
[mm] T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2x*T_{n}(x) [/mm] - [mm] T_{n-1}(x) [/mm] gelten.
Mit Hilfe dieser Formel können alle Funktionen [mm] T_{n} [/mm] bestimmt werden.
a) Bestimme die Tschebyscheff-Polynome [mm] T_{2}(x), T_{3}(x), T_{4}(x). [/mm]
b) Zeige, dass die lokalen Extremstellen der Funktionen
[mm] T_{2}(x), T_{3}(x) [/mm] und [mm] T_{4}(x) [/mm] alle im Intervall [-1;1] liegen
und die entsprechenden Funktionswerte gleich den Funktionswerten
an den Stellen x=1 bzw. x= -1 sind.
c) Beweise mit Hilfe der vollständigen Induktion:
[mm] \alpha) [/mm] Der Grad von [mm] T_{n} [/mm] ist gleich n.
[mm] \beta) [/mm] Es gilt für alle [mm] n\in\IN: T_{n}(1) [/mm] = 1 und
[mm] T_{n}( [/mm] -1) = [mm] (-1)^{n}.
[/mm]
[mm] \gamma) [/mm] Für die ganzrationale Funktion [mm] T_{n} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] lautet der Koeffizient der höchsten Potenz von
x: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] 2^{n-1}.
[/mm]
[mm] \delta) [/mm] Für alle [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] n\in\IN [/mm] gilt: [mm] T_{n}(-x) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] T_{n}(x). [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
auf ausführliche Rechnungen habe ich hier verzichtet (stehen alle auf meinem Blatt). Meine Bedenken sind, ob ich die Aufgabenstellung zum Aufgabenteil b) richtig interpretiert habe.
Die Ergebnisse zu den Teilaufgaben a) und b) habe ich mit einem Rechner auf Richtigkeit überprüft.
Zu a):
Die Bestimmung der Tschebyscheff-Polynome in Kürze:
[mm] T_{2}(x) [/mm] = [mm] 2x^{2}-1
[/mm]
[mm] T_{3}(x) [/mm] = [mm] 4x^{3}-3x
[/mm]
[mm] T_{4}(x) [/mm] = [mm] 8x^{4}-8x^{2}+1
[/mm]
Zu b):
Hier noch einmal die Aufgabenstellung:
Zeige, dass die lokalen Extremstellen der Funktionen
[mm] T_{2}(x), T_{3}(x) [/mm] und [mm] T_{4}(x) [/mm] alle im Intervall [-1;1] liegen
und die entsprechenden Funktionswerte gleich den Funktionswerten
an den Stellen x=1 bzw. x= -1 sind.
Zuerst habe ich die Extremstellen der drei Funktionen berechnet:
[mm] T_{2}(x): x_{e}= [/mm] 0
[mm] T_{3}(x): x_{e}= [/mm] -0,5 [mm] \vee x_{e}= [/mm] 0,5
[mm] T_{4}(x): x_{e}= -\bruch{1}{2}\wurzel{2} \vee x_{e}=0 \vee x_{e}= \bruch{1}{2}\wurzel{2}.
[/mm]
So, jetzt sehe ich an den Ergebnissen, dass alle Extremstellen im Intervall [-1;1] liegen. Ist es damit aber auch, wie gefordert, schon gezeigt?
Dann habe ich die Funktionswerte [mm] T_{n}(x_{e}) [/mm] mit den Funktionswerten von [mm] T_{n}(1) [/mm] verglichen:
[mm] T_{2}(x_{e}) [/mm] = -1
[mm] T_{3}(x_{e}) [/mm] = -1 oder [mm] T_{3}(x_{e}) [/mm] = 1
[mm] T_{4}(x_{e}) [/mm] = -1 oder [mm] T_{4}(x_{e}) [/mm] = 1 oder [mm] T_{4}(x_{e}) [/mm] = -1 und
[mm] T_{2}(1) [/mm] = 1
[mm] T_{2}(-1) [/mm] = 1
[mm] T_{3}(1) [/mm] = 1
[mm] T_{3}(-1) [/mm] = -1
[mm] T_{4}(1) [/mm] = 1
[mm] T_{4}(-1) [/mm] = 1.
Kann ich das so formulieren?:
"Die Funktionswerte [mm] T_{2}(x), T_{3}(x), T_{4}(x) [/mm] sind gleich den Funktionswerten an den Stellen x=1 bzw. x=-1, was zu zeigen war."
Für jede Hilfe und Antwort bin ich sehr dankbar!
Viele Grüße
Pauline
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 24.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo....
ich kann die Aufgabe gar nicht unter "offene Fragen" finden? Hab ich vielleicht was falsch gemacht???
Pauline
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Di 24.03.2009 | | Autor: | Marcel |
> Hallo....
>
> ich kann die Aufgabe gar nicht unter "offene Fragen"
> finden? Hab ich vielleicht was falsch gemacht???
>
> Pauline
Nö, oder es wurde schon korrigiert. S.u.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Di 24.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Pauline,
> Gegeben seien die ganzrationalen Funktionen
> [mm]T_{0}:x\to1; x\in\IR[/mm] und [mm]T_{1}:x\to[/mm] x; [mm]x\in\IR.[/mm]
>
> Für alle [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]x\in\IR[/mm] soll die Formel
>
> [mm]T_{n+1}(x)[/mm] = [mm]2x*T_{n}(x)[/mm] - [mm]T_{n-1}(x)[/mm] gelten.
>
> Mit Hilfe dieser Formel können alle Funktionen [mm]T_{n}[/mm]
> bestimmt werden.
>
> a) Bestimme die Tschebyscheff-Polynome [mm]T_{2}(x), T_{3}(x), T_{4}(x).[/mm]
nur mal vornwegeg:
Man kann -relativ leicht - zeigen, dass das [mm] $n\,$-te [/mm] Tschebyscheffpolynom auf $(-1,1)$ identisch mit $x [mm] \mapsto \cos(n*\arccos(x))$ [/mm] ist. Ich bin nun ein wenig faul und lasse mir diese Funktionen mal zeichnen und vergleiche das mit Deinem Ergebnis unten.
> b) Zeige, dass die lokalen Extremstellen der Funktionen
> [mm]T_{2}(x), T_{3}(x)[/mm] und [mm]T_{4}(x)[/mm] alle im Intervall [-1;1]
> liegen
> und die entsprechenden Funktionswerte gleich den
> Funktionswerten
> an den Stellen x=1 bzw. x= -1 sind.
>
> c) Beweise mit Hilfe der vollständigen Induktion:
>
> [mm]\alpha)[/mm] Der Grad von [mm]T_{n}[/mm] ist gleich n.
>
> [mm]\beta)[/mm] Es gilt für alle [mm]n\in\IN: T_{n}(1)[/mm] = 1 und
> [mm]T_{n}([/mm] -1) = [mm](-1)^{n}.[/mm]
>
> [mm]\gamma)[/mm] Für die ganzrationale Funktion [mm]T_{n}[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm]
> lautet der Koeffizient der höchsten Potenz von
> x: [mm]a_{n}[/mm] = [mm]2^{n-1}.[/mm]
>
> [mm]\delta)[/mm] Für alle [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm] gilt: [mm]T_{n}(-x)[/mm] =
> [mm](-1)^{n}[/mm] * [mm]T_{n}(x).[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben,
>
> auf ausführliche Rechnungen habe ich hier verzichtet
> (stehen alle auf meinem Blatt). Meine Bedenken sind, ob ich
> die Aufgabenstellung zum Aufgabenteil b) richtig
> interpretiert habe.
>
> Die Ergebnisse zu den Teilaufgaben a) und b) habe ich mit
> einem Rechner auf Richtigkeit überprüft.
>
> Zu a):
> Die Bestimmung der Tschebyscheff-Polynome in Kürze:
>
> [mm]T_{2}(x)[/mm] = [mm]2x^{2}-1[/mm]
Korrekt!
> [mm]T_{3}(x)[/mm] = [mm]4x^{3}-3x[/mm]
Korrekt!
> [mm]T_{4}(x)[/mm] = [mm]8x^{4}-8x^{2}+1[/mm]
Korrekt!
> Zu b):
> Hier noch einmal die Aufgabenstellung:
> Zeige, dass die lokalen Extremstellen der Funktionen
> [mm]T_{2}(x), T_{3}(x)[/mm] und [mm]T_{4}(x)[/mm] alle im Intervall [-1;1]
> liegen
> und die entsprechenden Funktionswerte gleich den
> Funktionswerten
> an den Stellen x=1 bzw. x= -1 sind.
>
> Zuerst habe ich die Extremstellen der drei Funktionen
> berechnet:
>
> [mm]T_{2}(x): x_{e}=[/mm] 0
> [mm]T_{3}(x): x_{e}=[/mm] -0,5 [mm]\vee x_{e}=[/mm] 0,5
> [mm]T_{4}(x): x_{e}= -\bruch{1}{2}\wurzel{2} \vee x_{e}=0 \vee x_{e}= \bruch{1}{2}\wurzel{2}.[/mm]
>
> So, jetzt sehe ich an den Ergebnissen, dass alle
> Extremstellen im Intervall [-1;1] liegen. Ist es damit aber
> auch, wie gefordert, schon gezeigt?
Ja. Denn die Funktionen [mm] $T_{2}, T_3, T_4$ [/mm] sind doch alle auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert und auf [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbar, an einer lokalen Extremstelle muss also notwendigerweise die Ableitung verschwinden.
Ich demonstriere Dir mal, was Du z.B. mit Deiner Rechnung über die Extremstellen von [mm] $T_3$ [/mm] weißt:
[mm] $$\{lokale\;\;Extremstellen\;\;von\;\;T_3\} \subset \{x \in \IR: T_3'(x)=0\}=\{-0,5;\;0,5\} \subset [-1,1]\,.$$
[/mm]
> Dann habe ich die Funktionswerte [mm]T_{n}(x_{e})[/mm] mit den
> Funktionswerten von [mm]T_{n}(1)[/mm] verglichen:
Hier wird's ein wenig prickelnd, denn Du weißt oben ja nur, dass es notwendig für eine lokale Extremstelle ist, dass die erste Ableitung an dieser Stelle verschwindet.
Du kannst aber z.B. mit der zweiten Ableitung ja nachprüfen, ob eine Stelle, bei der die erste Ableitung verschwindet, auch wirklich eine lokale Extremstelle ist.
Du sollst ja - dem zweiten Teil von b) zufolge - die Funktionswerte von [mm] $T_i(x_e)$ [/mm] ausrechnen, wenn [mm] $x_e$ [/mm] auch wirklich lokale Extremstelle von [mm] $T_i\,$ [/mm] ist. Es gilt aber i.a. nur für diff'bares [mm] $f\,$:
[/mm]
[mm] $$\{lokale\;\;Extremstelle\;\;von\;\;f\} \subset \{x \in \IR: f'(x)=0\}\,.$$
[/mm]
Du kannst aber oben für $i=2,3,4$ nachrechnen, dass:
[mm] $$(\star)\;\;\{lokale\;\;Extremstelle\;\;von\;\;T_i\}=\{x \in \IR: T_i'(x)=0\}\,.$$
[/mm]
Denn bei [mm] $(\star)$ [/mm] ist [mm] "$\subset$" [/mm] klar, und [mm] "$\supset$" [/mm] folgt z.B., weil Du [mm] $T_i''(x_e) \not=0$ [/mm] für alle [mm] $x_e \in \{x \in \IR: T_i'(x)=0\}$ [/mm] nachrechnen kannst.
(Hättest Du eine - sich als bereits wahr erwiesene - Aussage für alle lok. Extremstellen zu prüfen und würdest Du dann diese an alle 'kritischen Stellen' - das sind jene Stellen, wo die Ableitung verschwindet - prüfen, so würdest Du die Aussage i.a. nicht nur an den lokalen Extremstellen prüfen, sondern evtl. auch an Nichtextremstellen und würdest Dich deshalb vll. wundern, wieso Du nicht die behauptete Aussage beweisen könntest.)
> [mm]T_{2}(x_{e})[/mm] = -1
>
> [mm]T_{3}(x_{e})[/mm] = -1 oder [mm]T_{3}(x_{e})[/mm] = 1
>
> [mm]T_{4}(x_{e})[/mm] = -1 oder [mm]T_{4}(x_{e})[/mm] = 1 oder
> [mm]T_{4}(x_{e})[/mm] = -1 und
>
>
> [mm]T_{2}(1)[/mm] = 1
> [mm]T_{2}(-1)[/mm] = 1
>
> [mm]T_{3}(1)[/mm] = 1
> [mm]T_{3}(-1)[/mm] = -1
>
> [mm]T_{4}(1)[/mm] = 1
> [mm]T_{4}(-1)[/mm] = 1.
Ich würde das mit den [mm] $T_i(x_e)$ [/mm] etc. nicht so schreiben. Da weiß man ja nie, welches [mm] $x_e$ [/mm] Du gerade einsetzt:
Schreibe es z.B. nach und nach so:
Es gilt [mm] $T_3(-1)=-1$ [/mm] und [mm] $T_3(1)=1\,.$ [/mm] Ferner haben wir gesehen, dass die Menge der lokalen Extremstellen von [mm] $T_3$, [/mm] bezeichnet als [mm] $LEM(T_3)$ [/mm] ('lokale Extremstellenmenge von [mm] $T_3$') [/mm] durch
[mm] $LEM(T_3)=\{-0,5,\;0,5\}$ [/mm] gegeben ist und es gilt:
[mm] $T_3(-0,5)=...$ [/mm] und [mm] $T_3(0,5)=...$
[/mm]
> Kann ich das so formulieren?:
>
> "Die Funktionswerte [mm]T_{2}(x), T_{3}(x), T_{4}(x)[/mm] sind
> gleich den Funktionswerten an den Stellen x=1 bzw. x=-1,
> was zu zeigen war."
S.o.
> Ich meine, mal was von einem speziellen Beweis gehört zu
> haben.
Das verstehe ich nicht.
> Da ich es hier mit speziellen Funktionen zu tun habe,
> müsste der Beweis doch erbracht sein.
Das sieht doch bis jetzt ganz gut aus (allerdings wie immer ohne Gewehr , denn erschießen lassen werde ich mich nicht, sollte ich einen Fehler übersehen haben...  ).
P.S.:
Keine Angst, ich weiß, dass es eigentlich nicht Gewehr, sondern Gewähr heißt
Grüß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Di 24.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo Marcel,
boa, das ist ja schon mal genial, dass ich so einigermaßen in der Spur bin!
Hauptsache, ich begreife noch, was du mir dazu noch alles geschrieben hast - das wird ein wenig dauern.....
Erstmal vielen vielen herzlichen Dank!!!
Ciau
Pauline
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo....
nachdem ich jetzt die Aufgabenteile a) und b) nach Marcels Angaben modifiziert habe (herzlichen Dank nochmal für deine sehr hilfreichen Tipps),
möchte ich mich jetzt dem Aufgabenteil c) widmen.
Hier noch mal die Aufgabenstellung:
Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion:
[mm] \alpha) [/mm] Der Grad von [mm] T_{n} [/mm] = n.
Gegeben ist: [mm] T_{0} [/mm] : x [mm] \to [/mm] 1; [mm] x\in \IR [/mm] und [mm] T_{1}(x) [/mm] : x [mm] \to [/mm] x; [mm] x\in \IR [/mm] .
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] x\in \IR [/mm] soll die Formel
[mm] T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2*x*T_{n}(x) [/mm] - [mm] T_{n-1}(x) [/mm] gelten.
Durch Substitution des additiven Polynoms durch ein Polynom vom Grad <n mit [mm] p_{n-1} [/mm] erhält man
[mm] T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2*x*T_{n}(x) [/mm] + [mm] p_{n-1}.
[/mm]
Für [mm] T_{0}(x)= [/mm] 1 gilt: [mm] T_{0} [/mm] hat den Grad 0,
für [mm] T_{1}(x)= [/mm] x gilt: [mm] T_{1} [/mm] hat den Grad 1
Annahme: [mm] T_{n} [/mm] hat den Grad n
Induktionsanfang: n = 1:
A(1): [mm] T_{1+1} [/mm] = [mm] T_{2} [/mm] = [mm] 2*x*T_{1}(x) [/mm] + [mm] p_{n-1}(x)
[/mm]
= 2*x*x + [mm] p_{n-1}(x)
[/mm]
= [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] p_{n-1}(x).
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A(1) ist wahr.
Induktionsschluss:
Durch trigonometrische Transformation und Substitution mit
t=arccos(x) und x = cos(t); [mm] x\in [/mm] [-1;1] erhält man
[mm] T_{1}(x) [/mm] = x = cos(t)
[mm] \Rightarrow T_{n}(x) [/mm] = cos(nt)
Aus dem Additionstheorem für die Kosinusfunktion folgt
[mm] T_{n+1}(x) [/mm] = cos((n+1)t) + [mm] p_{n-1}(x)
[/mm]
= 2cos(t) cos((n-1)t) + [mm] p_{n-1}(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2^{n-1}cos^{n+1}(t) [/mm] + [mm] p_{n-1}(x) [/mm]
[mm] \gdw T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2^{n-1}x^{n+1} [/mm] + [mm] p_{n-1}(x) [/mm] , q.e.d.
Ich hoffe, ich liege hier nicht komplett daneben, der Schluss lässt jedenfalls hoffen!
Über eure Unterstützung würde ich mich freuen und verbleibe bis dahin
mit lieben Grüßen
Pauline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mi 25.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> t=arccos(x) und x = cos(t); [mm]x\in[/mm] [-1;1] erhält man
> [mm]T_{1}(x)[/mm] = x = cos(t)
>
> [mm]\Rightarrow T_{n}(x)[/mm] = cos(nt)
>
> Aus dem Additionstheorem für die Kosinusfunktion folgt
>
> [mm]T_{n+1}(x)[/mm] = cos((n+1)t) + [mm]p_{n-1}(x)[/mm]
>
> = 2cos(t) cos((n-1)t) + [mm]p_{n-1}(x)[/mm]
Also mir ist völlig schleierhaft was du da tust. Wer kommt auf solche Schweinereien?
Es geht doch viel einfacher: Induktionsanfang: [mm] T_0 [/mm] hat Grad 0 und [mm] T_1 [/mm] hat Grad 1, ok. Induktionsschritt:
[mm] $$T_{n+1}(x)=\underbrace{2x\underbrace{T_n(x)}_{\text{Grad }n}}_{\text{Grad }n+1}-\underbrace{T_{n-1}(x)}_{\text{Grad }n-1}$$ [/mm] Ja und die Summe eines Polynoms vom Grad n+1 und eines Polynoms vom Grad n-1 ist ein Polynom vom Grad n+1, da kann nix mehr schiefgehen.
Die anderen Sachen folgen auch alle aus der Rekursionsformel für die Polynome.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo Robert,
ja, aber wirklich. Das kommt daher, dass wir kürzlich das Additionstheorem für die Kosinusfunktion durchgenommen haben...So kann´s dann kommen. Schade, sah wirklich gut aus....
Ok, das Andere mache ich dann auch auf die einfache Weise.....
Vielen Dank für deine Antwort....
Liebe Grüße
Pauline
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > t=arccos(x) und x = cos(t); [mm]x\in[/mm] [-1;1] erhält man
> > [mm]T_{1}(x)[/mm] = x = cos(t)
> >
> > [mm]\Rightarrow T_{n}(x)[/mm] = cos(nt)
> >
> > Aus dem Additionstheorem für die Kosinusfunktion folgt
> >
> > [mm]T_{n+1}(x)[/mm] = cos((n+1)t) + [mm]p_{n-1}(x)[/mm]
> >
> > = 2cos(t) cos((n-1)t) + [mm]p_{n-1}(x)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also mir ist völlig schleierhaft was du da tust. Wer kommt
> auf solche Schweinereien?
naja, in einem gewissen Maße ist das, was sie tut, ja nicht falsch. Nur substituiert sie oben erst etwas, rechnet damit und resubstitutiert dann wieder, und die Substitution war eigentlich total unnötig; zumal sie eh nur auf (-1,1) (edit: okay, das muss ich doch korrigieren:) $[-1,1]\,$ gilt.
Aber was man dennoch behalten sollte und was interessant ist und aus der Aufgabe oben hervorgeht:
Das $n\,$-te Tschebyscheff-Polynom hat den Grad $\,n\,.$ Ferner gilt für $\left.T_n\right|_{(-1,1)}$, also die Einschränkung von $T_n$ auf $(-1,1)\,,$ dass
$$\left.T_n\right|_{(-1,1)}= \cos \circ\; (n*\arccos)\,.$$
(Hierbei ist die Funktion $n*\arccos$ definiert durch $n*\arccos: (-1,1) \to \IR$ mit $x \mapsto (n*\arccos)(x):=n*\arccos(x)$ ($x \in (-1,1)$) und $\circ$ die Verknüpfung von Funktionen.)
Es ist nämlich sicher keineswegs offensichtlich, dass die auf $(-1,1)$ definierte Funktion $\cos \circ \;(n*\arccos)$ dort ein Polynom (vom Grad $n\,$) ist.
P.S.:
Ich habe übrigens gerade erst festgestellt, dass ich immer $(-1,1)\,$ geschrieben habe, man es aber überall durch $[-1,1]\,$ ersetzen kann; und das ist der maximale Definitionsbereich von $\cos \circ \;(n*\arccos)$, aber ich bin nun zu faul, das alles zu editieren, zumal es ja auch so nicht wirklich falsch ist, was ich geschrieben habe. Ich habe dann halt nur den Definitionsbereich von $\cos \circ \;(n*\arccos)$ nicht maximal gewählt... Aber ich wollte noch kurz darauf aufmerksam machen.
Ergänzend @ Pauline:
Eben mithilfe der Additionstheoreme kann man zeigen, dass die auf $[-1,1]$ definierte Funktion $\cos \circ \;(n*\arccos)$ die Rekursionsformel der Tschebyscheffpolynome erfüllt und für $n=0\,$ bzw. $n=1\,$ dort jeweils mit $T_0$ bzw. $T_1$ übereinstimmt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 26.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo, Marcel,
danke, dass du dich (trotz der "Schweinereien"???) dieser Aufgabe nochmal angenommen hast. Robert hat ja recht, da seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht. Also, lass ich das ganze Kosinusgedöns mal weg und mach es kurz:
Induktionsanfang: n=1:
A(1): [mm] T_{1}(x) [/mm] = x; [mm] T_{1} [/mm] hat den Grad 1,
[mm] \Rightarrow [/mm] A(1) ist wahr.
Induktionsschluss:
[mm] T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2xT_{n}(x) [/mm] - [mm] T_{n-1}(x)
[/mm]
So, jetzt : [mm] T_{n}(x) [/mm] hat den Grad n und [mm] 2xT_{n}(x) [/mm] hat den Grad n+1.
Und dann, ich zitiere: Die Summe eines Polynoms vom Grad n+1 und eines Polynoms vom Grad n-1 ist ein Polynom vom Grad n+1.
Könnt ihr mir jetzt ein "ok" druntersetzen?
Danke für eure Geduld.....
Viele Grüße
Pauline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Du musst im Beweis den Induktionsanfang für n=0 und n=1 machen, da sonst dein Induktionsargument nicht greift. Ansonsten ist das ok.
Um das mal kurz klarzustellen: mit "Schweinereien" meinte ich soviel wie "kranker Scheiß, den ich nicht versteh", insbesondere hieß es nicht, dass das falsch oder sinnlos sei. Ich habe nur sofort gesehen, dass es auch einfacher geht. Es kommt der Tag an dem werde ich mich ärgern, dass ich nicht weiß wie diese Trigonometrische Transformation funktioniert, dann werd ich an dich denken 
Gruß, Robert
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 26.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Ja gut Robert, ok, ich bin halt sehr kompliziert.....
Der Schluss ist aber i.O.?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
ja...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Do 26.03.2009 | | Autor: | Pauline |
endlich.
Danke!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Do 26.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, Marcel,
>
> danke, dass du dich (trotz der "Schweinereien"???) dieser
> Aufgabe nochmal angenommen hast.
also ich will's nochmal klarstellen: Das was Du oben gemacht hast, ist nicht ganz richtig, weil das so nur auf [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] gilt. Aber nichtsdestotrotz machst Du im Prinzip nichts anderes als Robert bei der Induktion mit der rekursiven Definition der Tschebyscheffpolynome. Dass [mm] $T_n(x)=\cos(n*\arccos(x))$ [/mm] auf [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] gilt, beweist man so, dass man nachweist, dass die Funktionen $x [mm] \mapsto \cos(n*\arccos(x))$ [/mm] die Rekursionsformel der Tschebyscheffpolynome auf [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] erfüllen, und dass diese für [mm] $n=0\,$ [/mm] und [mm] $n=1\,$ [/mm] gerade mit [mm] $T_0$ [/mm] bzw. [mm] $T_1$, [/mm] eingeschränkt auf [mm] $[-1,1]\,$, [/mm] übereinstimmen.
Du springst hier halt einfach hin und her:
Du nimmst die Tschebyscheffpolynome auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] dann betrachtest Du nur noch die Einschränkungen auf [mm] $[-1,1]\,,$, [/mm] denn dort hast Du ja diese [mm] $\cos-\arccos$-Kombinationen, [/mm] dann rechnest Du mit den Additionstheoremen, gelangst somit eigentlich wieder zurück zu der rekursiven Formel, die die Tschebyscheffpolynome erfüllen etc..
Das ist halt einfach so, als, wenn Du von A nach B gehen willst, aber nicht den kürzesten Weg von A nach B wählst, sondern über einen Umweg C zum Ziel läufst. Und weil Du oben eigentlich so auch erst zu Einschränkungen der Tschebyscheff-Polynome auf [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] und nachher auch wieder zurückspringen musst (und da fehlen Begründungen, warum das genügt, auch, wenn sie ziemlich klar sind), ist bei Dir der Umweg C auch ein etwas langer Umweg und so, wie Du es notiert hast, ist der Beweis zwar eigentlich noch nicht wirklich vollständig erbracht, aber die wesentlichen Gedankengänge sind doch dort sichtbar. Sagen wir mal: Zu 75 % ist das im obigen Falle okay (bei anderen Aufgaben wäre dieses 'lasche' hin- und herspringen zwischen Funktionen und gewissen Einschränkungen evtl. nicht mehr so einfach hinzunehmen, wie im obigen Falle).
> Robert hat ja recht, da
> seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht. Also, lass ich
> das ganze Kosinusgedöns mal weg und mach es kurz:
>
> Induktionsanfang: n=1:
>
> A(1): [mm]T_{1}(x)[/mm] = x; [mm]T_{1}[/mm] hat den Grad 1,
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A(1) ist wahr.
>
> Induktionsschluss:
>
> [mm]T_{n+1}(x)[/mm] = [mm]2xT_{n}(x)[/mm] - [mm]T_{n-1}(x)[/mm]
>
> So, jetzt : [mm]T_{n}(x)[/mm] hat den Grad n und [mm]2xT_{n}(x)[/mm] hat
> den Grad n+1.
>
> Und dann, ich zitiere: Die Summe eines Polynoms vom Grad
> n+1 und eines Polynoms vom Grad n-1 ist ein Polynom vom
> Grad n+1.
Weil Du es 'nur' zitierst, stelle ich Dir nochmal die Frage:
Ist Dir diese Behauptung denn klar? Genauer:
Wie beweist Du das? (Es ist eigentlich ganz einfach.)
(Zur Erinnerung:
Ein Polynom $x [mm] \mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k$ [/mm] hat genau dann den Grad [mm] $n\,$, [/mm] wenn [mm] $a_n \not=0\,.$
[/mm]
(Beachte, dass das Polynom genau den Grad [mm] $n\,$ [/mm] hat, und nicht höchstens Grad [mm] $n\,$.))
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Danke, Marcel noch mal für deine Darstellung.
Viele Grüße
Pauline
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 26.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo, ihr werdet lachen, aber es geht weiter, scheinbar hab ich eine Blockade.....
zu c) [mm] \beta)
[/mm]
Es gilt für alle [mm] n\in\IN: T_{n}(1) [/mm] = 1 und [mm] T_{n}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n}.
[/mm]
Ja, das weiß ich, aber wie um Himmelswillen soll ich das mit der Rekusionsformel beweisen.
[mm] T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2x*T_{n}(x) [/mm] - [mm] T_{n-1}(x) [/mm]
Wenn ich jetzt für x 1 bzw. (-1) einsetze, kommt am Ende nichts Gescheites bei raus.....
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]T_{n+1}(x)[/mm] = [mm]2x*T_{n}(x)[/mm] - [mm]T_{n-1}(x)[/mm]
>
> Wenn ich jetzt für x 1 bzw. (-1) einsetze, kommt am Ende
> nichts Gescheites bei raus.....
Ich habe es gerade ausprobiert und es geht ganz wunderbar und ist eigentlich auch nicht schwer. Probier es weiter!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Do 26.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Na gut, du meinst also, ich sollte es mal versuchen.....?
[mm] T_{n+1}(1) [/mm] = [mm] 2*x*T_{n}(1) [/mm] - [mm] T_{n-1}(1)
[/mm]
= 2* [mm] T_{n+1}(1) [/mm] - [mm] T_{n-1}(1)
[/mm]
Das war´s auch schon...sorry. Kannst du mir bitte nochmal helfen?
Viele Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]T_{n+1}(1)[/mm] = [mm]2*T_{n}(1)[/mm] - [mm]T_{n-1}(1)[/mm]
Soweit so gut, jetzt benutzt du die Induktionsvoraussetzung [mm] T_n(1)=T_{n-1}(1)=1
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Pauline |
jawohl.
Die Induktionsvoraussetzung ist natürlich der Knackepunkt.
Induktionsvoraussetzung:
[mm] T_{n}(1) [/mm] = [mm] T_{n-1}(1) [/mm] = 1
Den Term [mm] T_{n-1}(1) [/mm] aus A(n+1) durch 1 ersetzen
[mm] \Rightarrow 2T_{n}(1) [/mm] - 1 = 1
[mm] \Rightarrow 2T_{n}(1) [/mm] = 2
Den Term [mm] 2T_{n}(1) [/mm] aus A(n+1) durch 2 ersetzen
[mm] \Rightarrow T_{n+1}(1) [/mm] = 2-1 = 1 für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Dementsprechend habe ich es auch mit [mm] T_{n}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] gemacht, wo dann am Ende
[mm] T_{n+1}(-1) [/mm] = [mm] (-2)^{n} [/mm] - [mm] (-1)^{n} [/mm] = [mm] (-2)^{n} [/mm] + [mm] 1^{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow T_{n+1}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Einverstanden?
Viele Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Fr 27.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]T_{n+1}(-1)[/mm] = [mm](-2)^{n}[/mm] - [mm](-1)^{n}[/mm] = [mm](-2)^{n}[/mm] + [mm]1^{n}[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm]
Das ist einfach falsch. Kein einziges Gleichheitszeichen in der obigen Kette stimmt, und es kommt noch nichtmal das raus was rauskommen sollte. Wenn du dir bei einem Schritt nicht sicher bist, dann mach doch einfach mal ne Probe!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Entschuldigung, wenn ich deine Nerven so strapaziere....ich bin schon ganz kirre.....sorry!
Also nochmal:
Induktionsvoraussetzung:
[mm] T_{n}(1) [/mm] = [mm] T_{n-1}(1) [/mm] = 1
[mm] T_{n+1}(1) [/mm] = [mm] 2*T_{n}(1) [/mm] - [mm] T_{n-1}(1) [/mm] = 1
= 2 * 1 - 1 = 1
[mm] \Rightarrow T_{n+1}(1) [/mm] = 1 für [mm] n\in\IN
[/mm]
und für [mm] T_{n+1}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] für [mm] n\in\IN
[/mm]
So, jetzt ja (?)....
Viele Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Fr 27.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm]T_{n}(1)[/mm] = [mm]T_{n-1}(1)[/mm] = 1
> [mm]T_{n+1}(1)[/mm] = [mm]2*T_{n}(1)[/mm] - [mm]T_{n-1}(1)[/mm] = 1
> = 2 * 1 - 1 = 1
> [mm]\Rightarrow T_{n+1}(1)[/mm] = 1 für [mm]n\in\IN[/mm]
Richtig. Damit ist [mm] $T_n(1)=1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] bewiesen.
> und für [mm]T_{n+1}(-1)[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm] für [mm]n\in\IN[/mm]
Ja... das musst du noch zeigen, das hast du noch nicht gemacht bzw. dein Beweis vorhin war falsch.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Du bist ganz schön streng.....
Induktionsvoraussetzung:
[mm] T_{n}(-1) [/mm] = [mm] T_{n-1}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n}
[/mm]
[mm] T_{n+1}(-1) [/mm] = 2 * [mm] T_{n}(-1) [/mm] - [mm] T_{n-1}(-1)
[/mm]
= 2 * (-1) - (-1) = [mm] (-1)^{n} [/mm]
[mm] \Rightarrow T_{n+1}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] für [mm] n\in\IN.
[/mm]
Viele Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Fr 27.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> IV: [mm]T_{n}(-1)[/mm] = [mm]T_{n-1}(-1)[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm]
> IS: [mm]T_{n+1}(-1)[/mm] = 2 * [mm]T_{n}(-1)[/mm] - [mm]T_{n-1}(-1)[/mm]
> = 2 * (-1) - (-1) = [mm](-1)^{n}[/mm]
Hier fehlen die "hoch n" bzw "hoch n-1". Die letzte Gleichheit stimmt so einfach nicht.
> [mm]\Rightarrow T_{n+1}(-1)[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm] für [mm]n\in\IN.[/mm]
Du musst zeigen dass [mm] $T_{n+1}(-1)=(-1)^{\red{n+1}}$!
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Pauline |
och mann!!! ich kanns einfach nicht!! Die Potenzgesetze hab ich wohl irgendwie verpasst...
Behauptung: [mm] T_{n}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] T_{n}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] und [mm] T_{n-1}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n-1} [/mm]
Induktionsschluss:
Es gilt: [mm] T_{n+1}(x) [/mm] = 2x * [mm] T_{n}(x) [/mm] - [mm] T_{n-1}(x) [/mm] | x = (-1)
[mm] T_{n+1}(-1) [/mm] = 2*(-1) * [mm] T_{n}(-1) [/mm] - [mm] T_{n-1}(-1) [/mm]
= (-2) * [mm] (-1)^{n} [/mm] - [mm] (-1)^{n-1} [/mm]
= (-2) * [mm] (-1)^{n} [/mm] * (-1) - [mm] (-1)^{n}
[/mm]
= [mm] (-1)^{n+1} [/mm] * (-2) - [mm] (-1)^{n}
[/mm]
Das stimmt doch wieder nicht, was mache ich bloß falsch??
Viele Hilferufe
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Fr 27.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]T_{n+1}(-1)[/mm] = 2*(-1) * [mm]T_{n}(-1)[/mm] - [mm]T_{n-1}(-1)[/mm]
> = (-2) * [mm](-1)^{n}[/mm] - [mm](-1)^{n-1}[/mm]
Bis hierhin stimmt es noch. Jetzt klammere [mm] (-1)^n [/mm] aus, du erhälst [mm] (-1)^n\cdot(-2-(-1)^{-1}) [/mm] und bist (fast) am Ziel.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Pauline |
So, jetzt aber!
[mm] T_{n+1}(-1) [/mm] = (-2) * [mm] (-1)^{n} [/mm] - [mm] (-1)^{n-1} [/mm] | [mm] (-1)^{n} [/mm] ausklammern
= [mm] (-1)^{n} [/mm] *[(-2 -(-1)^-1]
= [mm] (-1)^{n} [/mm] *[(-2 -(-1)]
= [mm] (-1)^{n} [/mm] *(-1)
= [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow T_{n+1}(-1) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] Punkt!
So, nicht wahr??
Viele Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Fr 27.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Jetzt passt es...
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Uff, das war ja vll eine schwere Geburt....
Danke Robert für deine Mühe!.
Zur Entspannung hab ich hier ein kleines Zitat, ich hoffe du kennst es noch nicht...
"Der Mensch erfand die Atombombe, doch keine Maus der Welt würde eine Mausefalle konstruieren" (Albert Einstein)
Viele Grüße
Pauline
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:27 Sa 28.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hi.....
nach der letzten Pleite hoffe ich, dass es heute besser läuft.
Es sind die letzten beiden Teilaufgaben. Ich hab schon im ganzen Internet rumgestöbert, aber zu diesen Tschebyscheffpolynomen findet man zwar eine ganze Menge, aber Nichts, was man kapiert, höchstens hochwissenschaftliches Zeugs. Da ist doch gut, wenn Leute, die sich auch damit rumquälen, vll hier eine kleine Hilfe finden.
Also, los geht´s:
[mm] \gamma) [/mm] Für [mm] T_{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] lautet der Koeffizient der höchsten Potenz von x: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] 2^{n-1} [/mm] .
Es gilt: [mm] T_{0}(x) [/mm] = 1, [mm] T_{1}(x) [/mm] = x, [mm] T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2xT_{n}(x) [/mm] - [mm] T_{n-1}(x)
[/mm]
IA: n = 1: Wegen [mm] T_{1}(x) [/mm] = x, ist A(1) wahr.
IV: [mm] T_{n}(x) [/mm] = [mm] 2^{n-1}x^{n} [/mm] + [mm] p_{n-1}(x), [/mm] wobei [mm] p_{n-1} [/mm] ein Polynom vom Grad <n ist.
IS: [mm] T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2*x*2^{n-1}x^{n} [/mm] + [mm] p_{n-1}(x)
[/mm]
= [mm] 2^{n}x^{n+1} [/mm] + [mm] p_{n-1}(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2^{n}x^{n+1}+p_{n-1}(x); x\in\IR; n\in\IN.
[/mm]
[mm] \delta) [/mm] Für alle x [mm] \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] T_{n}(-x) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] T_{n}(x) [/mm]
[mm] T_{0}(x) [/mm] = 1; [mm] T_{1}(x) [/mm] = x; [mm] T_{n+1}(x) [/mm] = [mm] 2xT_{n}(x) [/mm] - [mm] T_{n-1}(x) [/mm]
IA: n = 1: Wegen [mm] T_{1}(x) [/mm] = x, ist [mm] T_{1}(-x) [/mm] = (-1) * x
[mm] \Rightarrow [/mm] A(1) ist wahr.
IV: [mm] T_{n}(-x) [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] T_{n}(x)
[/mm]
IS: [mm] T_{n+1}(-x) [/mm] = 2 * (-x) * [mm] T_{n}(-x) [/mm] - [mm] T_{n-1}(-x)
[/mm]
= 2 * (-x) * [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] T_{n}(x) [/mm] - [mm] (-1)^{n-1} [/mm] * [mm] T_{n-1}(x)
[/mm]
= 2 * (-1) * x * [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] T_{n}(x) [/mm] - [mm] (-1)^{n-1} [/mm] * [mm] T_{n-1}(x)
[/mm]
= 2 * [mm] (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] T_{n+1}(x) [/mm] - [mm] (-1)^{n-1} [/mm] * [mm] T_{n-1}(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow T_{n+1}(-x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] T_{n+1}(x) [/mm] .
Ich würde mich sehr freuen,
wenn jemand nachschauen könnte, ob das so ok ist.
Viele Grüße
Pauline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 So 29.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Du musst langsam mal lernen, deine Lösungen selbst zu überprüfen... alles was man tun muss ist ständig zu fragen "warum gilt das?".
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 29.03.2009 | | Autor: | Pauline |
ja, ich weiß....Da ich es vorher aber nicht konnte, wollte ich wenigstens
e i n m a l die Bestätigung haben, dass es richtig ist! Kannst du das verstehen?? Natürlich würde ich jetzt bei ähnlichen Aufgaben nicht immer darum bitten, dass mir das jemand kontrolliert - ihr habt ja schließlich noch was Anderes zu tun....
Viele Grüße
Pauline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo....
schade, dass aus Rot nicht mehr Grün wird, ich hatte es noch gehofft, nachdem im Status "wird bearbeitet" steht.....na, ja, schade.....
Jedenfalls vielen Dank noch mal für die Hilfe!
LG
Pauline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 01.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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