Tschebyschew für Bernoulli < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ein Großkunde bestellt beim Hersteller 200 000 Teile und verlangt eine Garantie über die Mindestzahl von brauchbaren Stücken. Der Hersteller möchte zu 98% sicher sein, dass keine Reklamation kommt. Wie viele einwandfreie Stücke soll er garantieren, wenn er mit 10% Ausschuss produziert? |
Hallo zusammen,
habe Probleme mit der vorliegenden Aufgabenstellung. Mein Ansatz wäre da wir ja n = 200 000 , p = 0,1 und Sicherheitswahrscheinlichkeit = 0,98 kennen die Tschebyschew'sche Ungleichung für Bernoulli-Ketten anzuwenden sprich: [mm] P(|\bruch{X}{n} [/mm] - [mm] p|\ge\varepsilon)\le\bruch{1}{4n\varepsilon^{2}}. [/mm] Aber ich habe keinerlei Ansatz wie ich das kombinieren kann.
Freue mich auf eure Ansätze und Hilfestellungen.
Grüße
Joe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Ein Großkunde bestellt beim Hersteller 200 000 Teile und
> verlangt eine Garantie über die Mindestzahl von
> brauchbaren Stücken. Der Hersteller möchte zu 98% sicher
> sein, dass keine Reklamation kommt. Wie viele einwandfreie
> Stücke soll er garantieren, wenn er mit 10% Ausschuss
> produziert?
> Hallo zusammen,
>
> habe Probleme mit der vorliegenden Aufgabenstellung. Mein
> Ansatz wäre da wir ja n = 200 000 , p = 0,1 und
> Sicherheitswahrscheinlichkeit = 0,98 kennen die
> Tschebyschew'sche Ungleichung für Bernoulli-Ketten
> anzuwenden sprich: [mm]P(|\bruch{X}{n}[/mm] -
> [mm]p|\ge\varepsilon)\le\bruch{1}{4n\varepsilon^{2}}.[/mm] Aber ich
> habe keinerlei Ansatz wie ich das kombinieren kann.
>
> Freue mich auf eure Ansätze und Hilfestellungen.
>
> Grüße
>
> Joe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Die Tschebyschew'sche Ungleichung ist hier kein so geschickter Ansatz, da sie nur eine sehr grobe Abschätzung der Wahrscheinlichkeit liefert.
Sinnvoller ist es in einem solchen Fall, mit der Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung zu arbeiten. Der Parameter n = 200 000 ist korrekt, da die Anzahl der "guten" Teile interessiert, solltest du p=0,9 nehmen. Daraus wären im nächsten Schritt Erwartungswert und Varianz zu bestimmen und die Wahrscheinlichkeiten durch eine entsprechende Normalverteilung abzuschätzen.
|
|
|
| |
|
Hallo Don Quijote,
also zur Normalverteilung sind wir noch nicht gekommen, daher kann ich diese weder an- noch verwenden. Bleibt mir also nur Tschebyschew und ich weiß nicht wie ich arbeiten soll. Das mit p = 0,9 hätte ich auch gesagt, aber mich hat die Lösung aus dem Lösungsbuch irritiert: http://www.abload.de/img/fgh4f56g4h5628e8y.jpg
Wie komme ich aber darauf?
|
|
|
| |
|
> Hallo Don Quijote,
>
> also zur Normalverteilung sind wir noch nicht gekommen,
> daher kann ich diese weder an- noch verwenden. Bleibt mir
> also nur Tschebyschew und ich weiß nicht wie ich arbeiten
> soll. Das mit p = 0,9 hätte ich auch gesagt, aber mich hat
> die Lösung aus dem Lösungsbuch irritiert:
> http://www.abload.de/img/fgh4f56g4h5628e8y.jpg
>
> Wie komme ich aber darauf?
Die Lösung ist schon ok. Die Formel
[mm] $P(|\bruch{X}{n} [/mm] - [mm] p|\ge\varepsilon)\le\bruch{1}{4n\varepsilon^{2}}$,
[/mm]
wobei $X$ die Zahl der defekten Teile ist, besagt, dass mit Wahrscheinlichkeit [mm] $1-\bruch{1}{4n\varepsilon^{2}}$ [/mm] gilt
[mm] $\bruch{X}{n}\le p+\varepsilon\Leftrightarrow X\le [/mm] n( [mm] p+\varepsilon)$, [/mm] d.h. du hast eine Abschätzung für die Zahl der defekten Teile. Um die gewünschte Sicherheit zu erhalten, muss gelten
[mm] $1-\bruch{1}{4n\varepsilon^{2}}\ge 0,98\Leftrightarrow\bruch{1}{4n\varepsilon^{2}}\le 0,02\Leftrightarrow\varepsilon\ge [/mm] 0,0079$
Dieses [mm] $\varepsilon$ [/mm] in die Formel wieder eingesetzt gibt die Lösung
[mm] $P(X>21580)\le 0,02\Leftrightarrow P(X\le 21580)\ge 98\%$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 So 27.11.2011 | | Autor: | JoeSunnex |
Danke Don Quijote, jetzt leuchtet mir die Rechnung ein. Dabei wurde mit dem Gegenereignis gearbeitet und daher kann ich ständig auf einen Blödsinn mit X > 4096.
|
|
|
|
