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| Aufgabe | a) In der Stadt M gibt es 10 000 Wähler. Bürgermeisterkandidat U möchte durch eine Befragung von n stochastisch ausgewählten Wählern das Wahlergebnis mit einer Genauigkeit von 97,5% bis auf +-1000 Personen vorhersagen lassen.
Ab welchem n ist dies hinreichend? |
ich habe die Ungleichung von Tchebychew für Binomialverteilung benutzt:
[mm] P(|\bruch{x}{n}-\mu|\le\varepsilon)\ge1-\bruch{1}{4n\varepsilon^{2}}
[/mm]
Ich hab nun diese werte genommen
[mm] \varepsilon=1-0,975=0,025
[/mm]
[mm] P\ge\bruch{1000}{10000}=0,1
[/mm]
dann erhalte ich für [mm] n\ge4000
[/mm]
stimmt das ?
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kann mir denn keiner helfen?
bitte bitte!!!!
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> a) In der Stadt M gibt es 10 000 Wähler.
> Bürgermeisterkandidat U möchte durch eine Befragung von n
> stochastisch ausgewählten Wählern das Wahlergebnis mit
> einer Genauigkeit von 97,5% bis auf +-1000 Personen
> vorhersagen lassen.
> Ab welchem n ist dies hinreichend?
> ich habe die Ungleichung von Tchebychew für
> Binomialverteilung benutzt:
>
> [mm]P(|\bruch{x}{n}-\mu|\le\varepsilon)\ge1-\bruch{1}{4n\varepsilon^{2}}[/mm]
> Ich hab nun diese werte genommen
> [mm]\varepsilon=1-0,975=0,025[/mm]
> [mm]P\ge\bruch{1000}{10000}=0,1[/mm]
>
> dann erhalte ich für [mm]n\ge4000[/mm]
> stimmt das ?
Ich meine, dass die Aufgabe nicht ganz klar gestellt ist.
Was ist z.B. "das Wahlergebnis" ?
Geht es nur um die Anzahl Stimmen, die der Kandidat
U bei der Wahl erhalten wird (ohne anderweitige
Kenntnisse über seine Wahlchancen) ?
Dein Ergebnis [mm] n\ge [/mm] 4000 scheint mir (für eine
so grobe Schätzung) sehr gross, sehr wahrscheinlich
zu gross.
Ich habe auch gewisse Zweifel an der Formel, die du
benützt. Gib die doch bitte nochmals genau an inkl.
Erklärung der in ihr auftretenden Grössen !
(ist z.B. das n der Aufgabe dasselbe wie das n in
der Formel ?)
LG
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http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Ungleichung
ganz unten mit Bernolikette bzw binomialverteilung
diese Formel:
[mm] \operatorname{P}\left[\left|\frac{k}{n}-p \right|\geq \epsilon \right] \leq \frac{p(1-p)}{\epsilon^2n} \leq \frac{1}{4\epsilon^2n} [/mm]
und weil ich p nicht kenne und n ausrechnen soll für eine bestimmte maximale abweichung und zu einer bestimmten sicherheit, hab ich diese Formel genommen mit [mm] \frac{1}{4\epsilon^2n} [/mm] aber halt die für den inneren interval mit [mm] 1-\frac{1}{4\epsilon^2n}, [/mm] da die +-eigentlich einen intervall angeben, dann ist [mm] \epsilon [/mm] wohl 0,1
und p ist 97,5 %
dann komm ich auf 1000 für n kann das sein?
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hallo Marcel,
> http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Ungleichung
> ganz unten mit Bernoullikette bzw Binomialverteilung
> diese Formel:
> [mm]\operatorname{P}\left[\left|\frac{k}{n}-p \right|\geq \epsilon \right] \leq \frac{p(1-p)}{\epsilon^2n} \leq \frac{1}{4\epsilon^2n}[/mm]
Na, das sieht schon viel besser aus; in deiner
ersten Formel kam noch ein [mm] \mu [/mm] vor, das mich
sehr verwirrt hat !
> und weil ich p nicht kenne und n ausrechnen soll für eine
> bestimmte maximale abweichung und zu einer bestimmten
> sicherheit, hab ich diese Formel genommen mit
> [mm]\frac{1}{4\epsilon^2n}[/mm] aber halt die für den inneren
> interval mit [mm]1-\frac{1}{4\epsilon^2n},[/mm] da die +-eigentlich
> einen intervall angeben, dann ist [mm]\epsilon[/mm] wohl 0,1
> und p ist 97,5 % ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
nein, p ist eben unbekannt und kann auch
nicht berechnet werden !
Was noch vorgegeben ist, ist die Forderung,
dass die Wahrscheinlichkeit einer richtigen
Prognose mindestens 97.5% betragen soll
(in der Aufgabenstellung - siehe unten -
nicht korrekt formuliert). Das ist gleichbe-
deutend, dass das P (gross geschrieben !) aus
der Formel [mm] \le [/mm] 0.025 sein soll.
So, nun sind einmal die Bezeichnungen klar.
> dann komm ich auf 1000 für n kann das sein?
Ja, das stimmt - nur fragt man sich, wie du
trotz unklarer Begriffe zum richtigen Ergebnis
gekommen bist.
Ich vermute, dass die Tschebyschow-Ungleichung
hier eine eigentlich viel zu grosse Mindestzahl n
liefert ! Man könnte wohl auch mit einer deutlich
kleineren Stichprobe zu einer mit 97.5% W'keit
gültigen Aussage kommen.
| Aufgabe | a) In der Stadt M gibt es 10 000 Wähler. Bürgermeisterkandidat U möchte durch eine Befragung von n stochastisch ausgewählten Wählern das Wahlergebnis mit einer Genauigkeit (???) von 97,5% bis auf +-1000 Personen vorhersagen lassen.
Ab welchem n ist dies hinreichend? |
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Hallo,
ich habe nach einer Alternative gesucht, die bessere,
d.h. hier kleinere Unterschranken für die minimale
Stichprobengrösse liefert als die Tschebyschow- und
auch die Chernoff-Ungleichung und bin fündig geworden:
Die Ungleichung von Okamoto und Hoeffding:
$\ [mm] P\left(\left| \bruch{k}{n}-p\right|\ge\varepsilon\right)\le\ 2*{e^{-2*n*\varepsilon^2}}$
[/mm]
die für die Binomialverteilung anwendbar ist, liefert
im vorliegenden Beispiel mit [mm] \varepsilon=0.1 [/mm] und [mm] P_{max}=0.025 [/mm]
einen Wert von n=220 für den zu fordernden Umfang
der Stichprobe. Im Vergleich zum Resultat n=1000
mit Tschebyschow ist dies doch eine drastische und
für den Bürgermeisterkandidaten Geld sparende
Verbesserung !
Hier die url eines Artikels von Bernd Wollring, in
welchem die Okamoto/Hoeffding-Ungleichung bespro-
chen und bewiesen wird:
www.mathematik.uni-kassel.de/stochastik.schule/sisonline/struktur/jahrgang13-93/heft2/1993-2_Wol.pdf
Gruß al-Chwarizmi
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Danke für deine Bemühungen.
Ich werd mir das mal zu Gemüte führen.
Ich glaub zwar, dass ich diese Ungleichung nicht benutzen darf in der schule.
Das Problem ist einfach der Lehrer, der formuliert seine Aufgaben immer selber und dann kommt sowas dan dabei raus.
Thx
Marcel
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sorry das sollte eig nur ne mitteilung sein
und zwar diese:
sorry ich hab das große P leider klein geschrieben ich meinte nicht die Trefferwahrscheinlichkeit sondern die für den Intervall.
Dann hat ichs doch richtig nut Tchebychew is halt nicht so genau aber egal dem lehrer wirts reichen.
Thx
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> Dann hatt' ichs doch richtig nur Tchebychew is halt nicht so
> genau aber egal dem lehrer wirds reichen.
Du könntest doch die Chance packen und dem
Lehrer und der Klasse zeigen, dass statt n=1000
eigentlich auch schon n=220 genügen würde.
Das könnte eine interessante Stunde werden !
Gut' Nacht !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Sa 22.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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