Typ der Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie jeweils den Typ der Differentialgleichung an und lösen Sie das Anfangswertproblem :
[mm] y'=e^{y}*sin(x) [/mm] und y(0)=-1 |
Hallo,
ich habe große Probleme bei dieser Aufgabe. Ich weiß, dass man die Lösung durch " Trennung der Variablen" erhält, doch was ist der Typ dieser Differentialgleichung ? :/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 So 29.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Alfonso und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Geben Sie jeweils den Typ der Differentialgleichung an und
> lösen Sie das Anfangswertproblem :
>
> [mm]y'=e^{y}*sin(x)[/mm] und y(0)=-1
> Hallo,
>
> ich habe große Probleme bei dieser Aufgabe. Ich weiß,
> dass man die Lösung durch " Trennung der Variablen"
> erhält, doch was ist der Typ dieser Differentialgleichung
> ? :/
Such mal in deinem Skript nach gewöhnliche Differentialgleichung.
Trennung der Variablen ist hier richtig.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Dort steht zwar wie man es rechnet und wie die Form ist um dieses Verfahren zu benutzen, aber dort steht nicht der Typ der Differentialgleichung.
Wäre es evtl. eine gewöhnliche DGL mit getrennten Variablen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 29.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Wäre es evtl. eine gewöhnliche DGL mit getrennten
> Variablen ?
Ja, es ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, aber was
meinst du mit getrennten Variablen? Mit
[mm] f(y):=e^{y} [/mm] und [mm] g(x):=\sin(x)
[/mm]
betrachten wir die (explizite) gewöhnliche Differentialgleichung
$y'=f(y)*g(x)$.
Solche Differentialgleichungen nennt man auch separierbare
Differentialgleichungen erster Ordnung.
|
|
|
| |
|
Super.
Also ist es eine explizite gewöhnliche, separierbare DGL erster Ordnung, weil die Gleichung nach y' aufgelöst ist, die Funktion praktisch aus zwei einzelnen Funktionen besteht und die höchste Ableitung in diesem Fall die Erste ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 29.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Super.
>
> Also ist es eine explizite gewöhnliche, separierbare DGL
> erster Ordnung, weil die Gleichung nach y' aufgelöst ist,
> die Funktion praktisch aus
dem Produkt von
> zwei einzelnen Funktionen
und diese jeweils nur von einer Variable abhängen
> besteht und die höchste Ableitung in diesem Fall die Erste
> ist.
|
|
|
| |
|
Ich bin momentan dabei die Aufgabe zu lösen und habe folgendes raus :
y=-ln(cos(x)-k) mit [mm] k\in\IR
[/mm]
Was nutzt mit y(0)=-1 ?
Muss ich nun 0 in diese Funktion einsetzen um k zu erhalten?
Wenn ich einsetze erhalte ich
y(0)=-ln(cos(0)-k)=-1
[mm] \gdw k=\bruch{1}{e}+1 [/mm] oder?
Damit wäre y :
[mm] y(x)=-ln(cos(x)-\bruch{1}{e}+1) [/mm]
doch was wäre mein Definitionsbereich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 29.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> y=-ln(cos(x)-k) mit [mm]k\in\IR[/mm]
Die Funktion ist aber nicht für alle [mm] k\in\IR [/mm] definiert!
> Was nutzt mit y(0)=-1 ?
>
> Muss ich nun 0 in diese Funktion einsetzen um k zu
> erhalten?
>
> Wenn ich einsetze erhalte ich
>
> y(0)=-ln(cos(0)-k)=-1
Die Idee ist richtig.
> [mm]\gdw k=\bruch{1}{e}+1[/mm] oder?
Das ist falsch. Es folgt:
[mm] $k=1-e\$
[/mm]
und damit erhalten wir
[mm] y=-\ln(\cos(x)-1+e).
[/mm]
> Damit wäre y :
>
> [mm]y(x)=-ln(cos(x)-\bruch{1}{e}+1)[/mm]
>
> doch was wäre mein Definitionsbereich?
|
|
|
| |
|
Stimmt. Hatte wohl einen Rechen-/Denkfehler!
Damit wäre mein Definitionsbereich auch [mm] D(y)=\IR [/mm] , da e>2 und cos(x) immer zwischen 0 und 1 ist und somit nichts negatives bzw. nicht 0 in der Klammer stehen kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 29.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Damit wäre mein Definitionsbereich auch [mm]D(y)=\IR[/mm] ,
Du meinst: [mm] D_y=\IR.
[/mm]
> da e>2
> und cos(x) immer zwischen 0 und 1 ist und somit nichts
> negatives bzw. nicht 0 in der Klammer stehen kann.
Nein. Es gilt:
[mm] $|\cos(x)|\le [/mm] 1$ für alle [mm] x\in\IR,
[/mm]
aber deine übrige Argumentation ist trotzdem richtig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Mo 30.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Damit wäre mein Definitionsbereich auch [mm]D(y)=\IR[/mm] ,
>
> Du meinst: [mm]D_y=\IR.[/mm]
>
> > da e>2
> > und cos(x) immer zwischen 0 und 1 ist und somit nichts
> > negatives bzw. nicht 0 in der Klammer stehen kann.
>
> Nein. Es gilt:
>
> [mm]|\cos(x)|<1[/mm] für alle [mm]x\in\IR,[/mm]
Nein. Sondern
[mm]|\cos(x)| \le 1[/mm] für alle [mm]x\in\IR,[/mm]
FRED
>
> aber deine übrige Argumentation ist trotzdem richtig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mo 30.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Nein. Es gilt:
> >
> > [mm]|\cos(x)|<1[/mm] für alle [mm]x\in\IR,[/mm]
>
> Nein. Sondern
>
> [mm]|\cos(x)| \le 1[/mm] für alle [mm]x\in\IR,[/mm]
Ohh je.. Danke für die Korrektur lieber Fred.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Gut. Hatte es zum Glück instinktmäßig schon geändert gehabt :P
Wie sieht es bei folgender Funktion aus ? Würde ungern einen neuen Thread eröffnen.
Gegeben :
[mm] y'=-\bruch{4x}{1+x^{2}}y+\bruch{1}{(1+x^2)^3} [/mm] und y(1)=0
Hier liegt eine inhomogene, explizite, gewöhnliche lineare DGL erster Ordnung vor oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:55 Di 01.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gut. Hatte es zum Glück instinktmäßig schon geändert
> gehabt :P
>
> Wie sieht es bei folgender Funktion aus ? Würde ungern
> einen neuen Thread eröffnen.
>
> Gegeben :
>
> [mm]y'=-\bruch{4x}{1+x^{2}}y+\bruch{1}{(1+x^2)^3}[/mm] und y(1)=0
>
> Hier liegt eine inhomogene, explizite, gewöhnliche lineare
> DGL erster Ordnung vor oder?
Ja
FRED
|
|
|
|
