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Huhu,
folgende Aufgaben bereiten mir Probleme:
1) Untersuchen Sie, ob die angegebene Menge U ein Untervektorraum vom Vektorraum V über [mm] \IR [/mm] ist.
a) [mm] V=\IR³, [/mm] U= { [mm] (x_1,x_2,x_3) \in \IR³ [/mm] | [mm] x_1*x_3=0 [/mm] }
b) V= {f|f: [mm] \IN \to \IR [/mm] }, U= {f [mm] \in [/mm] V| f(2k)=0 für alle k [mm] \in \IN [/mm] }
Zu a):
Hier sind es ja Vektoren aus dem [mm] \IR³ [/mm] und in U müssen sie die Eigenschaft haben, dass [mm] x_1*x_3=0 [/mm] ergibt, dass ist also nur der Fall, wenn [mm] x_1 [/mm] und/oder [mm] x_3 [/mm] =0 sind.
Das neutrale Element ist der Nullvektor (0,0,0), dieser erfüllt die Bedingung von U, also ist U [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Nehmen wir x=(0,a,3) und y=(4,b,0) dann ist x+y=(4,a+b,3) [mm] \not\in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist kein UVR von V.
Zu b):
Der Vektorraum V enthält hier ja alle Funktionen die von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IR [/mm] abbilden. Die Eigenschaft von U verstehe ich aber irgendwie nicht ganz und kann auch hier nicht sagen, was neutrales Element ist und wie man die Eigenschaften für UVR hier nachweisen kann.
Hier stehe ich ehrlich gesagt auch auf dem Schlauch, sone Aufgabe hatte ich noch nie und weiss auch nicht recht, wo ich anfangen soll...
// Der-Madde-Freund
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> 1) Untersuchen Sie, ob die angegebene Menge U ein
> Untervektorraum vom Vektorraum V über [mm]\IR[/mm] ist.
> a) [mm]V=\IR³,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U= { [mm](x_1,x_2,x_3) \in \IR³[/mm] | [mm]x_1*x_3=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> b) V= {f|f: [mm]\IN \to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, U= {f [mm]\in[/mm] V| f(2k)=0 für
> alle k [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
>
> Zu a):
> Hier sind es ja Vektoren aus dem [mm]\IR³[/mm] und in U müssen sie
> die Eigenschaft haben, dass [mm]x_1*x_3=0[/mm] ergibt, dass ist also
> nur der Fall, wenn [mm]x_1[/mm] und/oder [mm]x_3[/mm] =0 sind.
> Das neutrale Element ist der Nullvektor (0,0,0), dieser
> erfüllt die Bedingung von U, also ist U [mm]\not= \emptyset.[/mm]
>
> Nehmen wir x=(0,a,3) und y=(4,b,0) dann ist x+y=(4,a+b,3)
> [mm]\not\in[/mm] U
> [mm]\Rightarrow[/mm] U ist kein UVR von V.
Hallo,
ja, so ist es.
Das Gegenbeispiel würde ich aber nicht mit a und b angeben, sondern mit ganz konkreten Zahlen.
>
> Zu b):
> Der Vektorraum V enthält hier ja alle Funktionen die von
> [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IR[/mm] abbilden.
Genau. (Also reelle Folgen.)
> Die Eigenschaft von U verstehe ich
> aber irgendwie nicht ganz
In U sind diejenigen Funktionen aus V, die sämtliche gerade Zahlen auf die Null abbilden.
Du mußt also u.a. prüfen, ob wenn f und g solche Funktionen sind, f+g das auch tut.
> und kann auch hier nicht sagen,
> was neutrales Element ist
Na! Welche Funktion kann man überall dazuaddieren, ohne daß sich was verändert?
Deine 2. Aufgabe ist thematisch völlig anders.
Poste sie bitte erneut in einer eigenen Diskussion.
Gruß v. Angela
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> > Die Eigenschaft von U verstehe ich
> > aber irgendwie nicht ganz
>
> In U sind diejenigen Funktionen aus V, die sämtliche gerade
> Zahlen auf die Null abbilden.
>
> Du mußt also u.a. prüfen, ob wenn f und g solche Funktionen
> sind, f+g das auch tut.
Nehme ich also f(2k)=0 mit k=1 und g(2k)=0 mit k=2 dann erhalte ich f(2)=0 und g(4)=0.
f(2) + g(4) = h(2+6) = h(6) =0, weil 6 wieder eine gerade Zahl ist.
Nehme ich nun [mm] \lambda=3 [/mm] und f(2)=0 dann ist f(3*2) = f(6)=0 also stimmt das.
=> U ist UVR
> Na! Welche Funktion kann man überall dazuaddieren, ohne daß
> sich was verändert?
f(0) = 0?
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> > > Die Eigenschaft von U verstehe ich
> > > aber irgendwie nicht ganz
> >
> > In U sind diejenigen Funktionen aus V, die sämtliche gerade
> > Zahlen auf die Null abbilden.
> >
> > Du mußt also u.a. prüfen, ob wenn f und g solche Funktionen
> > sind, f+g das auch tut.
>
> Nehme ich also f(2k)=0 mit k=1 und g(2k)=0 mit k=2 dann
> erhalte ich f(2)=0 und g(4)=0.
Hallo,
Du hast das nicht richtig verstanden.
In U sind Funktionen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] welche auf allen gerade Zahlen =0 sind.
Beispiel einer solchen Funktion
f(1)=5
f(2)=0
[mm] f(3)=-\pi
[/mm]
f(4)=0
f(5)=-12
f(6)=0
f(7)=0
f(8)=0
[mm] f(9)=-\wurzel{2}
[/mm]
f(10)=0
f(11)=11
[mm] \vdots
[/mm]
Die Frage ist, nun, ob wenn Du zwei solcher Funktionen hast, gilt, daß f+g auch in U ist, ob also (Achtung!) (f+g)(2k)=0 für alle [mm] k\in \IN [/mm] ist.
> => U ist UVR
Das Ergebnis ist richtig, Du mußt es nun allgemein, also nicht am Beispiel, beweisen.
Das geht über die für V defineirten Abbildungen.
> f(0) = 0?
So ein Quatsch - aber in die richtige Richtung gedacht: f(k)=0 für alle [mm] k\in \IN.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Achso, also verstanden habe ich es nun, aber mit dem allgemeinen beweisen tue ich mich schwer.
Es liegen also die Funktionen f und g vor, dessen Bilder 0 sind, für alle geraden Zahlen und x [mm] \in \IR [/mm] für ungerade Zahlen.
f+g (2k) = 0 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
Würde man sich die Funktionsgraphen vorstellen und man addiert zwei solche Funktionen, dann wäre ja klar, dass die Werte bei ungeraden Zahlen addiert werden und bei geraden 0 bleibt, da ja 0+0=0, also läge die Funktion wieder in U, aber das kann ich so ja net aufschreiben :<
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> Achso, also verstanden habe ich es nun, aber mit dem
> allgemeinen beweisen tue ich mich schwer.
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> Es liegen also die Funktionen f und g vor, dessen Bilder 0
> sind, für alle geraden Zahlen und x [mm]\in \IR[/mm] für ungerade
> Zahlen.
>
> f+g (2k) = 0 [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
>
> Würde man sich die Funktionsgraphen vorstellen und man
> addiert zwei solche Funktionen, dann wäre ja klar, dass die
> Werte bei ungeraden Zahlen addiert werden und bei geraden 0
> bleibt, da ja 0+0=0, also läge die Funktion wieder in U,
> aber das kann ich so ja net aufschreiben :<
Hallo,
Du mußt wissen (dh. im falle des Nichtwissens nachschlagen) wie die Addition zweier Funktionen definiert ist. Wie denn???
(Bei der Gelegenheit kannst Du Dich gleich über die Addition von Funktionen mit Skalaren informieren. Das steht bestimmt auf derselben Seite.)
Danach kann's losgehen:
seinen f,g [mm] \in [/mm] U, dh. es ist f(2k)=0 und g(2k)=0 für alle [mm] k\in \IN.
[/mm]
Es ist
(f+g)(2k)= ... und nun rechnest Du unter verwendung der Def. der Addition von Funktionen vor, daß da tatsächlich 0 herauskommt.
Gruß v. Angela
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Die Definition für die Addition lautet:
(f+g)(x):=f(x)+g(x) für alle $ [mm] x\in \IR [/mm] $
Definition für die Multiplikation mit einem Skalar:
$ [mm] (\lambda f)(x):=\lambda [/mm] $ f(x)
(f+g)(2k)= f(2k) + g(2k) = 0 + 0 =0
[mm] (\lambda*f)(2k) [/mm] = [mm] \lambda*f(2k) [/mm] = [mm] \lambda*0 [/mm] =0
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