Ugr., Konjugiertenklassen, S_3 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Untergruppen und alle Konjugiertenklassen von [mm] S_{3}. [/mm] Welche Untergruppen sind Normalteiler? |
Hallo!
Als Untergruppen habe ich bereits [mm] S_{3}, [/mm] {id}, {id, (123),(132)}, {id,(12)},{id,(13)} und {id,(23)} bestimmt. Wie kann ich zeigen, dass das alle Untergruppen sind?
Was sind Konjugiertenklassen und wie bestimme ich diese? Wie erkenne ich, welche Untergruppen Normalteiler sind?
Liebe Grüße,
Maja
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Hallo!
Ich weiss nicht ob Ihr schon Operationen von Gruppen auf Mengen durchgemacht habt. In dem Falle kannst du nämlich eine Konjugationsklasse als Bahn von UG begreifen, wenn du G auf UG mit der Konjugation operieren lässt. (Wobei UG die Menge aller Untergruppen von G bezeichnen soll, und G eine Gruppe sei).
Eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge X ist eine Abbildung
G x X -> X , (g,x) [mm] \mapsto [/mm] gx für die noch folgendes gilt:
1) ex = x
2) g(hx) = (gh)x für alle g,h,x [mm] \in [/mm] G
Die Konjugation ist nun eine Operation von G auf sich selbst, die wie folgt definiert ist:
G x G -> G, (g,h) [mm] \mapsto ghg^{-1}
[/mm]
Eine Bahn für eine Operation allgemein entspricht Gx:= {gx|g [mm] \in [/mm] G} (wenn G auf X operiert)
G operiere nun auf UG mit der Konjugation d.h.
G x UG [mm] \mapsto [/mm] UG (g,H) [mm] \mapsto gHg^{-1}
[/mm]
Eine Konjugiertenklasse ist nun für H [mm] \in [/mm] UG gleich GH := { [mm] gHg^{1}, [/mm] g [mm] \in [/mm] G }
Normal ist eine Untergruppe H genau dann, falls GH = H, also eben für alle g [mm] \in [/mm] G [mm] gHg^{-1} [/mm] = H <=> für alle g [mm] \in [/mm] G gH = Hg
Wichtig ist auch dass die Bahnen einer Menge X unter der Operation einer Gruppe G eine Partition bilden.
Analog bilden die Konjugationsklassen von Untergruppen eine Partition der Menge der Untergruppen.
Zur genauen Bestimmung der Konjugiertenklassen fällt mir jetzt leider auch kein schöner Trick ein. Im Notfall einfach durch ausprobieren.
lg,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:19 Di 22.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
vielleicht hilft auch dieser thread weiter, was die konjugiertenklassen angeht.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:53 Di 22.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hallo!
Danke für eure Antworten!
Der link zum anderen Thread beschreibt mir ja, wie ich vorgehen soll. Aber ich verstehe nicht so ganz, wie das gehen soll. Was genau ist mit Zyklentyp und Repräsentanten gemeint? Wie finde ich konjugierte Elemente?
Liebe GRüße,
Maja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Do 24.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Di 22.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Ein Link zum Thema ![[]](/images/popup.gif) Gruppe S3 auf Seite 5.
LG
Alex
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