Umfangsminimierung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Fr 14.01.2005 | | Autor: | teksen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey Mathemagier -.-
Folgende Aufgabe sollen wir innem Grundkurs dreizehnter Jahrgang lösen solange unser Lehrer auf Skifreizeit ist *g*
' In einem gut erhaltenen Altstadtkern hat eine Bank eine Genehmigung zur Errichtung eines neuen Gebäudes erhalten mit der Auflage, dieses architektonisch dem alten Stadtbild anzupassen.
Unter anderem soll die Gebäudefront mit Rundbogenfenstern ausgestattet werden, deren Sandsteineinfassung zu scharrieren ist (scharrieren: mit Fäustel und Meißel riffeln - eine lohnintensive und zeitaufwendige Handarbeit).
Um den nötigen Lichteinfall zu garantieren, soll die Fläche der Fenster mindestens 1,3 Quadratmeter betragen.
Wie sind die Ausmaße der Fenstereinfassungen zu wählen, wenn die Kosten für die Scharrierung so niedrig wie möglich gehalten werden sollen? '
Da ist dann noch so eine Zeichung von sonem Fenster - ein Rechteck mit einem Halbkreis oben drauf -.-
So wie ich das jetzt verstehe geht es darum den Umfang bei der gegebenen Fläche von 1,3 Quadratmetern zu minimieren - ist das korrekt ?
Es geht meine ich darum die Höhe des Rechtecks und den Radius des Halbkreises zu berechnen bei dem der Umfang minimal wird.
Formel für den Umfang müsste ja sein:
U = 2y + x + [mm] \pi [/mm] * x
Richtig ?
Wie ich das lösen soll ich mir allerdings nicht wirklich klar. Müsste ja irgendwie über die Fläche gehen weil die ja als einziges gegeben ist.
Formel für die Fläche müsste sein:
A = x*y + [mm] x^2 [/mm] * PI / 2
Hab keine Ahnung was ich jetzt machen soll - kann mir da jemand helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Fr 14.01.2005 | | Autor: | leduart |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hey Mathemagier -.-
>
> Folgende Aufgabe sollen wir innem Grundkurs dreizehnter
> Jahrgang lösen solange unser Lehrer auf Skifreizeit ist
> *g*
>
> ' In einem gut erhaltenen Altstadtkern hat eine Bank eine
> Genehmigung zur Errichtung eines neuen Gebäudes erhalten
> mit der Auflage, dieses architektonisch dem alten Stadtbild
> anzupassen.
> Unter anderem soll die Gebäudefront mit Rundbogenfenstern
> ausgestattet werden, deren Sandsteineinfassung zu
> scharrieren ist (scharrieren: mit Fäustel und Meißel
> riffeln - eine lohnintensive und zeitaufwendige
> Handarbeit).
> Um den nötigen Lichteinfall zu garantieren, soll die
> Fläche der Fenster mindestens 1,3 Quadratmeter betragen.
> Wie sind die Ausmaße der Fenstereinfassungen zu wählen,
> wenn die Kosten für die Scharrierung so niedrig wie möglich
> gehalten werden sollen? '
>
> Da ist dann noch so eine Zeichung von sonem Fenster - ein
> Rechteck mit einem Halbkreis oben drauf -.-
>
> So wie ich das jetzt verstehe geht es darum den Umfang bei
> der gegebenen Fläche von 1,3 Quadratmetern zu minimieren -
> ist das korrekt ?
>
> Es geht meine ich darum die Höhe des Rechtecks und den
> Radius des Halbkreises zu berechnen bei dem der Umfang
> minimal wird.
>
> Formel für den Umfang müsste ja sein:
>
> U = 2y + x + [mm]\pi[/mm] * x
>
> Richtig ?
>
> Wie ich das lösen soll ich mir allerdings nicht wirklich
> klar. Müsste ja irgendwie über die Fläche gehen weil die ja
> als einziges gegeben ist.
>
> Formel für die Fläche müsste sein:
>
> A = x*y + [mm]x^2[/mm] * PI / 2
Ansätze sind richtig: klammere bei A x/2 aus dann hast du A=x/2(2y+pi*x)
damit 2A/x = 2y+pi*x in U einsetzen und fast fertig.
Deinem Lehrer schöne Ferien,dir Erfolg
leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Fr 14.01.2005 | | Autor: | teksen |
So ich versuch das dann mal zu lösen - hoffe das krieg ich hin.
*g*
$ U(x,y) = 2y + x + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * x $
$ A(x,y) = x * y + [mm] \bruch{\pi \cdot{} x^2}{8} [/mm] $
Jetzt löse ich einfach die Formel für die Fläche nach y auf und erhalte:
$ y = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8}\cdot{}\pi\cdot{}x [/mm] $
Bis dahin richtig ?
Dann setze ich die nach y aufgelöste Formel in die Formel für den Umfang ein.
$ U = [mm] \bruch{2A}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\pi\cdot{}x [/mm] + x + [mm] \bruch{1}{2} \cdot{} \pi \cdot{} [/mm] x $
So bevor ich das ableite - ist das richtig so ?
Kann man natuerlich noch zusammenfassen ist klar -.-
Ich hoffe mal *g*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Fr 14.01.2005 | | Autor: | moudi |
> So ich versuch das dann mal zu lösen - hoffe das krieg ich
> hin.
> *g*
>
> [mm]U(x,y) = 2y + x + \bruch{1}{2} * \pi * x[/mm]
>
> [mm]A(x,y) = x * y + \bruch{\pi \cdot{} x^2}{8}[/mm]
>
> Jetzt löse ich einfach die Formel für die Fläche nach y auf
> und erhalte:
>
> [mm]y = \bruch{A}{x} - \bruch{1}{8}\cdot{}\pi\cdot{}x[/mm]
>
> Bis dahin richtig ?
>
> Dann setze ich die nach y aufgelöste Formel in die Formel
> für den Umfang ein.
>
> [mm]U = \bruch{2A}{x} - \bruch{1}{4}\cdot{}\pi\cdot{}x + x + \bruch{1}{2} \cdot{} \pi \cdot{} x[/mm]
>
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> So bevor ich das ableite - ist das richtig so ?
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> Kann man natuerlich noch zusammenfassen ist klar -.-
>
> Ich hoffe mal *g*
>
Ja so weit alles ok.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Fr 14.01.2005 | | Autor: | teksen |
Gut :)
Dann muss ich ja jetzt die Ableitung bilden:
$ U = [mm] \bruch{2A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\pi\cdot{}x [/mm] + x $
Kann man das so zusammenfassen ?
-.-
U' = ?
Den Wert 1,3 m² für die Fläche kennt man ja - kann man jetzt einsetzen.
Also der vordere Teil abgeleitet müsste ja nach der Quotientenregel sein:
[mm] \bruch{-2,6}{x^2}
[/mm]
oder ?
Was gibt das andere ?
-.-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Fr 14.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Gut :)
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> Dann muss ich ja jetzt die Ableitung bilden:
>
> [mm]U = \bruch{2A}{x} + \bruch{1}{4}\cdot{}\pi\cdot{}x + x[/mm]
>
>
> Kann man das so zusammenfassen ?
> -.-
>
> U' = ?
>
> Den Wert 1,3 m² für die Fläche kennt man ja - kann man
> jetzt einsetzen.
>
> Also der vordere Teil abgeleitet müsste ja nach der
> Quotientenregel sein:
>
> [mm]\bruch{-2,6}{x^2}
[/mm]
>
> oder ?
Ist o.k.
>
> Was gibt das andere ?
Was gibt x nach x abgeleitet?
Komplizierte Anwort [mm] $x=x^1$. [/mm] Dann mit der Potenzregel ableiten.
Einfache Antwort: Wie sieht der Graph der Funktion f(x)=x aus (ist eine Gerade).
Die Gerade hat konstante Steigung (wie gross?). Die Steigung entspricht der Ableitung  .
mfG Moudi
> -.-
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Fr 14.01.2005 | | Autor: | teksen |
> > Gut :)
> >
> > Dann muss ich ja jetzt die Ableitung bilden:
> >
> > [mm]U = \bruch{2A}{x} + \bruch{1}{4}\cdot{}\pi\cdot{}x + x[/mm]
>
> >
> >
> > Kann man das so zusammenfassen ?
> > -.-
> >
> > U' = ?
> >
> > Den Wert 1,3 m² für die Fläche kennt man ja - kann man
>
> > jetzt einsetzen.
> >
> > Also der vordere Teil abgeleitet müsste ja nach der
> > Quotientenregel sein:
> >
> > [mm]\bruch{-2,6}{x^2}
[/mm]
> >
> > oder ?
>
> Ist o.k.
> >
> > Was gibt das andere ?
>
> Was gibt x nach x abgeleitet?
> Komplizierte Anwort [mm]x=x^1[/mm]. Dann mit der Potenzregel
> ableiten.
>
> Einfache Antwort: Wie sieht der Graph der Funktion f(x)=x
> aus (ist eine Gerade).
> Die Gerade hat konstante Steigung (wie gross?). Die
> Steigung entspricht der Ableitung .
>
> mfG Moudi
> > -.-
> >
>
Gut dann müsste die Ableitung ja sein:
$ [mm] \bruch{-2,6}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\pi\ [/mm] + 1 $
Müsste die ja dann nur noch gleich 0 setzen und ich hätte das Minimum oder ?
Oder muss ich noch was anderes machen ? -.-
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Fr 14.01.2005 | | Autor: | moudi |
Exakt!
Moudi
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