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Umformung Ebenendarstellungen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Umformung Ebenendarstellungen: Paramteterdarstellung - Normal
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Mi 25.01.2006
Autor: RuffY

Aufgabe 1
Forme die Ebene
E: [mm] \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm]
in die Normalendarstellung um!

Aufgabe 2
Forme die Ebene:
2x-ty+4z=0
in die Paramterdarstellung um!

Ich würde gern wissen, wie ich an diesen Beispielen erklärt, die Ebenen umformen kann!

MfG und Vielen Dank

Sebastian

        
Bezug
Umformung Ebenendarstellungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Mi 25.01.2006
Autor: Kuebi

Hallo du!

Na dann schaun mr mal ... ;-)

Zur Aufgabe 1)
Gegeben ist eine Parameterform. Gesucht ist die Normalenform!
Was braucht man zur Angabe von der Normalenform?

1. Einen Punkt auf der Ebene (den du durch beliebige Wahl von r und s leicht bekommst.

2. Einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das wäre z.B. ein Vektor senkrecht zu den Spannvektoren! Und den kann man sich leicht über das Kreuzprodukt der beiden holen!

Und mit dem Punkt auf der Ebene und dem senkrechten Vektor zur Ebene müsstest du die Normalenform nun leicht aufstellen können.

Zu Aufgabe 2)
Gegeben ist eine Koordinatenform. Gesucht ist die Parameterdarstellung.

Lösungsvorschlag:

Wähle x zu r, y zu s und forme die Gleichung nach z um. Folglich erhälst du

x = r
y = s
z = - [mm] \bruch{1}{2}r+ \bruch{t}{4}s [/mm]

Das sind drei Gleichungen, die dir eine Ebene geben. Die Vorgehensweise zur Erstellung der Parameterform deute ich dir nun an:

[mm] \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{0 \\ ? \\ ?}+r \vektor{1 \\ ? \\ ?}+ s\vektor{0 \\ ? \\ ?} [/mm]

Nun müsste das klar geworden sein.

Wenn nicht, nochmal mit scharfem Blick ansehen und nachdenken! ;-)

Viel Spaß noch!

Vlg, Kübi


Bezug
                
Bezug
Umformung Ebenendarstellungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:48 Mo 06.02.2006
Autor: RuffY

Aufgabe
Aufgabe 1: Umformung von Parameterdarstellung in Normalendarstellung!

Ich hätte als Punkt dann P(11/2/6) (durch das Wählen der Paramter jeweils als 1)

Für das Skalarprodukt hätte ich dann:

3*n1+4*n2+5*n3=0

Wie bekomme ich jetzt die einzelnen Koordinaten vom Normalenvektor n raus? Es sind doch immerhin 3 Unbekannte in einer Gleichung!

Vielen Dank und Grüße aus Hamburg

Sebastian

Bezug
                        
Bezug
Umformung Ebenendarstellungen: So geht es nicht
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Mo 06.02.2006
Autor: Ansgar

Um die Normalenform herzustellen musst du garnicht so kompliziert denken.
Kuebi hat recht, was das angeht dass du einen Punkt brauchst. Da kannst du aber auch einfach den Aufhängepunkt  [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] nehmen.
Nun musst du die beiden Richtungsvektoren Kreuzen
[mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 0} [/mm] X [mm] \vektor{3 \\ 4 \\5}. [/mm] Der entstehende Vektor ist dann der Normalenvektor

Nun ist die Normalenform als n1*x + n2*y + n3*z - (Skalarprodukt aus dem Punkt und dem Normalenvektor) = 0
n1 entspricht der x koordinate des Normalenvektors und so weiter.

Mehr ist es nicht

2) Und bei der Parameterformumwandlung musst du einfach drei Punkte ermitteln und dann damit dann die ebene einfach aufstellen

Bezug
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