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| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] $\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} [/mm] = t [mm] \cdot e^t$. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an ein paar Probeklausuren und da wird an einer Stelle versucht die Identität in der Aufgabenstellung zu zeigen. Allerdings kann ich die Umformung nicht nachvollziehen.. Sicher etwas sehr triviales, aber ich komme einfach nicht drauf.
Hier ist die Umformung aus der Lösung:
[mm] $\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} \stackrel{?}{=} \sum_{k \geq 1} \frac{t^k}{(k-1)!} [/mm] = t [mm] \cdot \sum_{k \geq 1} \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} [/mm] = t [mm] \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{k!} [/mm] = t [mm] \cdot e^t$
[/mm]
Die Stelle mit dem "?" verstehe ich nicht. Alles danach kann ich nachvollziehen..
Ich komme an der Stelle auf:
[mm] $\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} [/mm] = [mm] \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{(k-1)!} [/mm] = t [mm] \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} [/mm] = t [mm] \cdot \sum_{k \geq -1} \frac{t^k}{k!} [/mm] = t [mm] \cdot \frac{t^{-1}}{(-1)!} [/mm] + t [mm] \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{k!} [/mm] = [mm] \frac{1}{(-1)!} [/mm] + [mm] t\cdot e^t$
[/mm]
Aber was ist $(-1)!$?..
Wo ist mein Denkfehler?
Vielen Dank schonmal für jeden Tipp! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Do 13.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} = t \cdot e^t[/mm].
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> Hallo zusammen,
> ich arbeite gerade an ein paar Probeklausuren und da wird
> an einer Stelle versucht die Identität in der
> Aufgabenstellung zu zeigen. Allerdings kann ich die
> Umformung nicht nachvollziehen.. Sicher etwas sehr
> triviales, aber ich komme einfach nicht drauf.
>
> Hier ist die Umformung aus der Lösung:
>
> [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} \stackrel{?}{=} \sum_{k \geq 1} \frac{t^k}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq 1} \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{k!} = t \cdot e^t[/mm]
>
> Die Stelle mit dem "?" verstehe ich nicht. Alles danach
> kann ich nachvollziehen..
[mm] \sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!}= \frac{0 \cdot t^0}{0!}+\sum_{k \geq 1} \frac{k \cdot t^k}{k!}=0+\sum_{k \geq 1} \frac{k \cdot t^k}{k!}
[/mm]
Jetzt beachte noch: [mm] \frac{k \cdot t^k}{k!}=\frac{ t^k}{(k-1)!} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1.
> Ich komme an der Stelle auf:
>
> [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} = \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq -1} \frac{t^k}{k!} = t \cdot \frac{t^{-1}}{(-1)!} + t \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{k!} = \frac{1}{(-1)!} + t\cdot e^t[/mm]
>
> Aber was ist [mm](-1)![/mm]?..
>
> Wo ist mein Denkfehler?
Nach dem ersten "=" muss jeweils [mm] \sum_{k \geq 1} [/mm] und nicht [mm] \sum_{k \geq 0} [/mm] stehen !
FRED
>
> Vielen Dank schonmal für jeden Tipp! :)
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Hallo Fred,
vielen vielen Dank erstmal, ich habe die Umformung jetzt verstanden! :)
Nur eine Frage habe ich noch:
> > Zeigen Sie [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} = t \cdot e^t[/mm].
>
> >
> > Hallo zusammen,
> > ich arbeite gerade an ein paar Probeklausuren und da
> wird
> > an einer Stelle versucht die Identität in der
> > Aufgabenstellung zu zeigen. Allerdings kann ich die
> > Umformung nicht nachvollziehen.. Sicher etwas sehr
> > triviales, aber ich komme einfach nicht drauf.
> >
> > Hier ist die Umformung aus der Lösung:
> >
> > [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} \stackrel{?}{=} \sum_{k \geq 1} \frac{t^k}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq 1} \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{k!} = t \cdot e^t[/mm]
>
> >
> > Die Stelle mit dem "?" verstehe ich nicht. Alles danach
> > kann ich nachvollziehen..
>
>
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> [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!}= \frac{0 \cdot t^0}{0!}+\sum_{k \geq 1} \frac{k \cdot t^k}{k!}=0+\sum_{k \geq 1} \frac{k \cdot t^k}{k!}[/mm]
>
>
> Jetzt beachte noch: [mm]\frac{k \cdot t^k}{k!}=\frac{ t^k}{(k-1)!}[/mm]
> für k [mm]\ge[/mm] 1.
>
>
>
>
> > Ich komme an der Stelle auf:
> >
> > [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} = \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq -1} \frac{t^k}{k!} = t \cdot \frac{t^{-1}}{(-1)!} + t \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{k!} = \frac{1}{(-1)!} + t\cdot e^t[/mm]
>
> >
> > Aber was ist [mm](-1)![/mm]?..
> >
> > Wo ist mein Denkfehler?
>
> Nach dem ersten "=" muss jeweils [mm]\sum_{k \geq 1}[/mm] und nicht
> [mm]\sum_{k \geq 0}[/mm] stehen !
>
> FRED
Wieso muss dort [mm]\sum_{k \geq 1}[/mm] stehen? Ich habe doch "nur" (?) durch k gekürzt?
> >
> > Vielen Dank schonmal für jeden Tipp! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Do 13.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielen vielen Dank erstmal, ich habe die Umformung jetzt
> verstanden! :)
> Nur eine Frage habe ich noch:
>
> > > Zeigen Sie [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} = t \cdot e^t[/mm].
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> >
> > >
> > > Hallo zusammen,
> > > ich arbeite gerade an ein paar Probeklausuren und da
> > wird
> > > an einer Stelle versucht die Identität in der
> > > Aufgabenstellung zu zeigen. Allerdings kann ich die
> > > Umformung nicht nachvollziehen.. Sicher etwas sehr
> > > triviales, aber ich komme einfach nicht drauf.
> > >
> > > Hier ist die Umformung aus der Lösung:
> > >
> > > [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} \stackrel{?}{=} \sum_{k \geq 1} \frac{t^k}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq 1} \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{k!} = t \cdot e^t[/mm]
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> > >
> > > Die Stelle mit dem "?" verstehe ich nicht. Alles danach
> > > kann ich nachvollziehen..
> >
> >
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> > [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!}= \frac{0 \cdot t^0}{0!}+\sum_{k \geq 1} \frac{k \cdot t^k}{k!}=0+\sum_{k \geq 1} \frac{k \cdot t^k}{k!}[/mm]
>
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> > Jetzt beachte noch: [mm]\frac{k \cdot t^k}{k!}=\frac{ t^k}{(k-1)!}[/mm]
> > für k [mm]\ge[/mm] 1.
> >
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> >
> > > Ich komme an der Stelle auf:
> > >
> > > [mm]\sum_{k \geq 0} \frac{k \cdot t^k}{k!} = \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} = t \cdot \sum_{k \geq -1} \frac{t^k}{k!} = t \cdot \frac{t^{-1}}{(-1)!} + t \cdot \sum_{k \geq 0} \frac{t^k}{k!} = \frac{1}{(-1)!} + t\cdot e^t[/mm]
>
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> > >
> > > Aber was ist [mm](-1)![/mm]?..
> > >
> > > Wo ist mein Denkfehler?
> >
> > Nach dem ersten "=" muss jeweils [mm]\sum_{k \geq 1}[/mm] und nicht
> > [mm]\sum_{k \geq 0}[/mm] stehen !
> >
> > FRED
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> Wieso muss dort [mm]\sum_{k \geq 1}[/mm] stehen? Ich habe doch "nur"
> (?) durch k gekürzt?
Geht das auch im Falle k=0 ?????
FRED
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> > >
> > > Vielen Dank schonmal für jeden Tipp! :)
> >
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> > Wieso muss dort [mm]\sum_{k \geq 1}[/mm] stehen? Ich habe doch "nur"
> > (?) durch k gekürzt?
>
> Geht das auch im Falle k=0 ?????
>
> FRED
Okay, das ist peinlich.. tut mir Leid und vielen Dank nochmal! :)
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