Umformung in Koordinatenform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Punkte A(0/0/0), B(0/6/0), C(-1/1/5) und D(-1/5/5) in einer Ebene liegen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
die Frage klingt zunächst trivial, meine Überlegung war aus drei der Punkte die Paramtergleichung aufzustellen und schließlich dort den vierten, nach umformen in die Koordiantenform, einzusetzen. Allerdings kommen ich bei der Umformung nicht weiter, da ich nie beide Paramter, in meinem Fall s und t durch Anwenden des Gauss-Verfahren eleminieren konnte. Hoff ihr könnt mir helfen! ;)
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Hallo Cervelo1993 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Beweisen Sie, dass die Punkte A(0/0/0), B(0/6/0), C(-1/1/5)
> und D(-1/5/5) in einer Ebene liegen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> die Frage klingt zunächst trivial, meine Überlegung war
> aus drei der Punkte die Paramtergleichung aufzustellen und
> schließlich dort den vierten, nach umformen in die
> Koordiantenform, einzusetzen.
Das klingt doch sehr vernünftig!
> Allerdings kommen ich bei der
> Umformung nicht weiter, da ich nie beide Paramter, in
> meinem Fall s und t durch Anwenden des Gauss-Verfahren
> eleminieren konnte. Hoff ihr könnt mir helfen! ;)
Das können wir sicher, wenn du uns deine Rechnung zeigst ...
Gruß
schachuzipus
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also: x=(0/0/0)+s(-1/1/5)+t(0/6/0)
0 -s 0 |x1
0 s 6t |x2
0 5s 0 |x3
jetzt addiere ich die erste zur zweiten zeile und erhalte:
0 0 6t |x1+x2
0 5s 0 |x3
weder s und t kann ich jetzt eleminieren, die gleichung also nicht aufstellen. entschuldige bitte die unkonventionelle darstellung der matrix!
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Hallo nochmal,
> also: x=(0/0/0)+s(-1/1/5)+t(0/6/0)
>
> 0 -s 0 |x1
> 0 s 6t |x2
> 0 5s 0 |x3 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Setze doch die Koordinaten von $D$ ein ...
Also [mm] $\vektor{-1\\5\\5}=\vektor{-s\\s\\5s}+\vektor{0\\6t\\0}$
[/mm]
Aus der ersten Zeile ergibt sich direkt $s=1$
>
> jetzt addiere ich die erste zur zweiten zeile und erhalte:
>
> 0 0 6t |x1+x2
> 0 5s 0 |x3
>
> weder s und t kann ich jetzt eleminieren, die gleichung
> also nicht aufstellen. entschuldige bitte die
> unkonventionelle darstellung der matrix!
Du kannst dir mal den Editor ansehen, damit kann man so ziemlich alles eintippen
Gruß
schachuzipus
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Ersteinmal danke für die schnelle Antowort, bewiesen ist ja nun, dass alle vier Punkte eine Ebene bilden. In einer weiteren Teilaufgabe soll nun aber die Schnittgerade dieser Ebene mit einer anderen Ebene angegeben werden, aus diesem Grund brauch ich ja nun die Koordiantenform der ersten Ebene, die ich im Moment ja noch nicht habe.
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Hallo Cervelo,
stelle deine Fragen auch als Fragen, dann sieht man direkt, dass hier noch jemand einen Hinweis/Tipp haben möchte und so kommst du schneller an deine Antwort. ;)
Zu der Frage: Wenn du die Koordinatenform bestimmen möchtest, dann brauchst du den Normalenvektor der Ebene. Dieser berechnet sich über das Vektorprodukt der zwei Spannvektoren.
Wenn [mm] \vec{n}=\vektor{a\\b\\c} [/mm] ist, dann ist $ ax+by+cz=d $ deine Koordinatendarstellung der Ebene. d kannst du berechnen, indem du einen Punkt einfach mal einsetzt. Da aber A(0,0,0) in deiner Ebene liegt, kann man d ganz schnell bestimmen. Es ist d=0.
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