Umformung st.diffbare Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Moin!
Ich habe hier eine Aufgabe zu lösen, komme aber einfach nicht weiter. Vielleicht kann mir einer einen Tipp geben?
Es sei [mm] \IR^{n}->\IR [/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass es Funktionen [mm] g_{1},...,g_{n} [/mm] , [mm] g_{j}:\IR^{n}->\IR [/mm] für j=1,...,n gibt mit:
[mm] f(\vec{x})=f(\vec{0})+g_{1}(\vec{x})x_{1}+...+g_{n}(\vec{x})x_{n}
[/mm]
Danke schonmal und Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Do 03.11.2005 | | Autor: | felixs |
hallo
> Es sei [mm]\IR^{n}->\IR[/mm] stetig differenzierbar.
meinst du vielleicht
[mm] $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$?
[/mm]
dann koennte man sich unter den [mm] $x_i$ [/mm] etwas vorstellen:
> [mm]f(\vec{x})=f(\vec{0})+g_{1}(\vec{x})x_{1}+...+g_{n}(\vec{x})x_{n}[/mm]
--felix
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Moin mathemaduenn,
danke für die Hilfe. Wenn ich mir bei dem Satz "Mittelwertsatz für reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher" in die Formel für [mm] \vec{x_{2}}=\vec_{x} [/mm] und [mm] \vec{x_{1}}=0 [/mm] einsetze komme ich Nahe an die Lösung:
[mm] f(x)=\nabla f(\vec{x_{0}})*\vec{x_{n}} [/mm] + [mm] f(\vec{0})
[/mm]
Man könnte nun [mm] \nabla f(\vec{x_{0}}) [/mm] als [mm] g(\vec{x_{0}}) [/mm] definieren. Allerdings soll die Funktion [mm] g(\vec{x}) [/mm] sein und nicht [mm] g(\vec{x_{0}}). [/mm] Das wäre also nicht ganz richtig...
Danke für jeden Hinweis!
Grüße
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Hallo Quasimodo,
> Wenn ich mir bei dem Satz
> "Mittelwertsatz für reellwertige Funktionen mehrerer
> Veränderlicher" in die Formel für [mm]\vec{x_{2}}=\vec_{x}[/mm] und
> [mm]\vec{x_{1}}=0[/mm] einsetze komme ich Nahe an die Lösung:
>
> [mm]f(x)=\nabla f(\vec{x_{0}})*\vec{x_{n}}[/mm] + [mm]f(\vec{0})[/mm]
>
> Man könnte nun [mm]\nabla f(\vec{x_{0}})[/mm] als [mm]g(\vec{x_{0}})[/mm]
> definieren. Allerdings soll die Funktion [mm]g(\vec{x})[/mm] sein
> und nicht [mm]g(\vec{x_{0}}).[/mm] Das wäre also nicht ganz
> richtig...
Die Frage ist also ob es eine Funktion gibt ( Du Sie definieren kannst  )
h: [mm] \vec{x} \rigtharrow \vec{x_0}
[/mm]
Deren Verkettung mit [mm] \nabla f(\vec{x_{0}}) [/mm] dann die gesuchte Funktion g ergibt.
viele Grüße
mathemaduenn
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Tachchen mathemaduenn,
leider kann ich mit dem Tip noch nicht so viel anfangen.
Ich kann sie noch nicht "definieren" ;)
Vielleicht kannst du die Idee etwas weiter ausführen?
Danke schonmal für die ganze Hilfe!
Grüße aus Hamburg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Entscheidend ist, dass das [mm] $x_0$ [/mm] aus dem Mittelwertsatz von $x$ abhängt!! Daher ist $x [mm] \mapsto \nabla f(x_0(x))$ [/mm] sehr wohl eine Funktion von $x$!
Liebe Grüße
Stefan
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Mittelwertsatz der Differentialrechnung