Umformung und Polardarstellung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Fr 28.11.2014 | | Autor: | emperor |
| Aufgabe | Der Stromverlauf in einem Kreis mit angelegter Wechselspannung [mm] U(t)=U_0sin(\omega*t) [/mm] wird beschrieben durch:
I= [mm] \IR->\IR, t:|->I(t)=\bruch{(U_0)}{(R^2+\omega^2*L^2)}*[Rsin(\omega*t)-\omega*cos(\omega*t)]+c*e^{(-Rt)/(L)}
[/mm]
Ich soll zeigen das I auch in der form:
[mm] I(t)=\bruch{(U_0)}{(\wurzel{R^2+\omega^2*L^2)}}*sin(\omega*t-\phi)+c*e^{(-Rt)/(L)}
[/mm]
geschrieben werden kann.
Tipp: Um [mm] \phi [/mm] zu erhalten, ist es nützlich die komplexe Zahl [mm] R+i*\omega*L [/mm] in Polarkoordinaten darszustellen und dann Real und Imaginärteil zu betrachten um R und [mm] \omega*L [/mm] zu ersetzen. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) LINK Der Titel des Threads: Umformung und Polardarstellung.
Hallo,
wie schon oben erwähnt habe ich die Frage auch in einem anderen Forum gestellt. Leider meldet sich dort niemand bzw. die Antwort die ich bekommen habe hilft mir überhaupt nicht weiter. Vielleich kann mir jemand von Euch einen Hinweis geben wie ich bei der Aufgabe weiterkomme.
Hier nochmal was ich auch im anderen Forum als Ansatz geschrieben hab:
Mein Ansatz:
Wenn ich [mm] R+i*\omega*L [/mm] in Polarkoordinaten ausdrücken will dann muss ich doch zwei informationen berechen.
1) Argument
2) Radius bzw. Betrag
Der Betrag geht leicht auszurechnen: [mm] \wurzel{R^2+\omega^2*L^2)}.
[/mm]
Das sieht auch schonmal ganz gut aus weil das genau der Term ist der später im Nenner stehen soll.
Wie berechne ich aber jetzt das Argument? Am ende möchte ich etwas in der Form: [mm] r*e^{i*\phi}=r*cos(\phi)+i*r*sin(\phi) [/mm] stehen haben. Normal berechne ich das Argument ja mit arctan(b/a) aber in diesem Fall scheint mir das irgendwie nicht richtig zu sein. Eventuell ist meine Herangehensweise/Überlegung auch totaler Blödsinn und es gibt einen total offensichtlichen Weg die Aufgabe anzugehen.
Liebe Grüße
Emperor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Fr 28.11.2014 | | Autor: | chrisno |
fehlt da nicht ein L in der ersten Zeile?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Fr 28.11.2014 | | Autor: | emperor |
Ja du hast recht. Da sollte in der Klammer [mm] Rsin(\omega*t)-\omega* [/mm] L [mm] *cos(\omega*t)
[/mm]
Hab mich beim abtippen verschrieben :/ Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Fr 28.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> Der Betrag geht leicht auszurechnen: $ [mm] \wurzel{R^2+\omega^2\cdot{}L^2)}. [/mm] $
> Das sieht auch schonmal ganz gut aus weil das genau der Term ist der später im Nenner stehen soll.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie berechne ich aber jetzt das Argument? Am ende möchte ich etwas in der Form: $ [mm] r\cdot{}e^{i\cdot{}\phi}=r\cdot{}cos(\phi)+i\cdot{}r\cdot{}sin(\phi) [/mm] $ stehen haben.
Genau, wobei Dich die Darstellung mit der e-Funktion gar nicht interessiert.
> Normal berechne ich das Argument ja mit arctan(b/a) aber in diesem Fall scheint mir das irgendwie nicht richtig zu sein. Eventuell ist meine Herangehensweise/Überlegung auch totaler Blödsinn und es gibt einen total offensichtlichen Weg die Aufgabe anzugehen.
Der Trick ist hier, einen Schritt zurück zu gehen.
[mm] $\phi [/mm] = [mm] \arctan(b/a)$
[/mm]
[mm] $\tan(\phi) [/mm] = [mm] \br{b}{a}$
[/mm]
[mm] $\br{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} [/mm] = [mm] \br{b}{a} [/mm] = [mm] \br{c \cdot b}{c \cdot a}$
[/mm]
Wenn man dann c geeignet wählt kann man dann [mm] $\sin(\phi) [/mm] = c [mm] \cdot [/mm] b$ und [mm] $\cos(\phi) [/mm] = c [mm] \cdot [/mm] a$ schreiben. c ergibt sich aus der Bedingung [mm] $\sin^2(\phi) [/mm] + [mm] \cos^2(\phi) [/mm] = 1$.
Dann brauchst Du noch das Additionstheorem für [mm] $\sin(a-b)$ [/mm] und so wie ich das überblicke, sollte es damit geschafft sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Fr 28.11.2014 | | Autor: | emperor |
Danke! Danke! Danke! Jetzt macht das schon mehr Sinn. Ich werde mich gleich hinsetzen und versuchen das so anzuwenden. Wenn ich fertig bin kann ich ja nochmal was posten und wäre dir dankbar wenn du nochmal kurz drauf schauen würdest. Tausend Dank nochmal!
Schönen Abend noch.
Emperor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Sa 29.11.2014 | | Autor: | emperor |
Guten Morgen,
Ich habe das jetzt mal ausgerechnet und versucht geordnet hinzuschreiben. :D. Ich glaube das stimmt so.
1) Zu zeigen ist das: [mm] \bruch{U_0}{R^2+\omega^2L^2}[R*sin(\omega*t)-\omega*L*cos(\omega*t)]+c*e^{\bruch{-Rt}{L}} \gdw \bruch{U_0}{\wurzel{R^2+\omega^2L^2}}sin(\omega*t-\alpha)+c*e^{\bruch{-Rt}{L}}
[/mm]
2) Darstellung der komplexen Zahl [mm] R+i*\omega*L [/mm] in Polarkoordinaten:
[mm] \wurzel{R^2+\omega^2*L^2}*[cos(\bruch{\omega*L}{R})+isin(\bruch{\omega*L}{R})]
[/mm]
3) Realteil und Imaginärteil betrachten:
[mm] Re(R+i*\omega*L)=\wurzel{R^2+\omega^2*L^2}*cos(\bruch{\omega*L}{R})
[/mm]
[mm] \Rightarrow R=\wurzel{R^2+\omega^2*L^2}*cos(\bruch{\omega*L}{R})
[/mm]
[mm] Im(R+i*\omega*L)=\wurzel{R^2+\omega^2*L^2}*sin(\bruch{\omega*L}{R})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \omega*L=\wurzel{R^2+\omega^2*L^2}*sin(\bruch{\omega*L}{R})
[/mm]
4) Die Ergebnisse für R und [mm] \omega*L [/mm] in die Funktion ensetzen:
[mm] \bruch{U_0}{R^1+\omega^2L^2}*\wurzel{R^2+\omega^2*L^2}*[cos(\bruch{\omega*L}{R})sin(\omega*t)-sin(\bruch{\omega*L}{R})cos(\omega*t)]
[/mm]
[mm] =U_0*(R^1+\omega^2L^2)^{-1}*(R^1+\omega^2L^2)^{\bruch{1}{2}}*[cos(\bruch{\omega*L}{R})sin(\omega*t)-sin(\bruch{\omega*L}{R})cos(\omega*t)]
[/mm]
5) Das Additionstheorem (weiß nicht wie das heißt) sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny auf die Klammer anwenden.
[mm] =\bruch{U_0}{\wurzel{R^2+\omega^2L^2}}sin(\omega*t-\bruch{\omega*L}{R})+c*e^{\bruch{-Rt}{L}}
[/mm]
Danke nochmal chrisno! Ich war kurz vorm verzweifeln. ;)
Nachtrag: Ooops! Ich glaube ich habe einen Fehler beim berechnen des Arguments gemacht. Ich schau mal ob ich das noch hinbekomme
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Sa 29.11.2014 | | Autor: | emperor |
Irgendwie ergiebt sich da immer noch ein Problem.
Wen ich $ [mm] \br{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} [/mm] = [mm] \br{b}{a} [/mm] = [mm] \br{c \cdot b}{c \cdot a} [/mm] $ habe. Dann muss ich ja immer noch die Inversen funktionen arccos und arcsin berechnen um mein Argument zu bekommen oder verstehe ich das jetzt völlig falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Sa 29.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du [mm] $\phi$ [/mm] wissen willst, ja. Das ist aber in der Aufgabe nicht gefordert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Sa 29.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast deinen Fehler schon in deiner Mitteilung bemerkt, [mm] \phi=arctan(\omega*L/R)
[/mm]
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Sa 29.11.2014 | | Autor: | emperor |
Danke. Das war mir irgendwie auch klar aber ich war auch der Meinung unbedingt einen Ausdruck für [mm] \alpha [/mm] finden zu müssen. Langsam bin ich der Meinung den Text falsch interpretiert zu haben.
In der Aufgabe steht eben das ich das zeigen soll:
[mm] \bruch{U_0}{R^2+\omega^2L^2}[R\cdot{}sin(\omega\cdot{}t)-\omega\cdot{}L\cdot{}cos(\omega\cdot{}t)]+c\cdot{}e^{\bruch{-Rt}{L}} \gdw \bruch{U_0}{\wurzel{R^2+\omega^2L^2}}sin(\omega\cdot{}t-\alpha)+c\cdot{}e^{\bruch{-Rt}{L}}
[/mm]
Dann ist der Hinweis gegeben:
Um [mm] \alpha [/mm] zu erhalten, ist es nützlich, die komplexe Zahl [mm] R+I*\omega*L [/mm] in Polarkoordinaten darzustellen. Betrachten sie dann Real-und Imaginärteil der Polarkoordinaten um R und [mm] \omega*L [/mm] zu ersetzen.
Vielleicht ist damit gemeint das ich einfach nur [mm] \alpha [/mm] druch umformen irgendwie in die Funktion bringen muss ohne einen bestimmten wert dafür ausrechenen zu müssen. Wie seht Ihr das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 29.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke schon dass du für [mm] \alpha [/mm] den Wert, der durch R, ˜omega, L gegeben ist angeben sollst also [mm] \alpha=arctan(\omega*L/R)
[/mm]
Gruß leduart
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