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| Aufgabe | | [mm] x^{2}y'-xy+y^{2}=0 [/mm] |
Hallo,
Ich verstehe nicht die Theorie, die bei uns in der Vorlesung kam. Und zwar ging es um eine gewöhnliche DGL 1. Ordnung:
[mm] x^{2}y'-xy+y^{2}=0
[/mm]
Division duch [mm] x^{2} [/mm] liefert:
[mm] y'-y/x+y^{2}/x^{2}=0
[/mm]
Substitution: u=y/x und
u'=(y/x)'= [mm] ...Produktregel..=(y'/x)-(y/x^2) [/mm]
Aus [mm] u'=(y'/x)-(y/x^2) [/mm] kann man nach Umformung y' ausdrücken: y'=u'x+u
Nun setzt man die Ausdrücke für y' und u in der DGL ein und bekommt:
[mm] xu'+u^2=0
[/mm]
Daraus bekommt man nach Einsetzen von u' = du/dx :
[mm] x(du/dx)+u^2=0
[/mm]
Und das große Fragezeichen steht für den folgenden Schritt: durch welche Umformung bekommt man daraus:
-(du/u)=dx/x
Das soll die Separation oder "Variablentrennung" sein..
Ich kriege :
-(1/u)=dx/x
Weso hat man in der Vorlesung du statt 1? Wäre für jede Hilfe sehr dankbar denn ich sitze schon einige Stunden dran..
Ich habe die Frage sonst nirgendwo gestellt.
Gruss
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> [mm]x^{2}y'-xy+y^{2}=0[/mm]
> Hallo,
> Ich verstehe nicht die Theorie, die bei uns in der
> Vorlesung kam. Und zwar ging es um eine gewöhnliche DGL 1.
> Ordnung:
> [mm]x^{2}y'-xy+y^{2}=0[/mm]
> Division duch [mm]x^{2}[/mm] liefert:
> [mm]y'-y/x+y^{2}/x^{2}=0[/mm]
> Substitution: u=y/x und
> u'=(y/x)'= [mm]...Produktregel..=(y'/x)-(y/x^2)[/mm]
> Aus [mm]u'=(y'/x)-(y/x^2)[/mm] kann man nach Umformung y'
> ausdrücken: y'=u'x+u
> Nun setzt man die Ausdrücke für y' und u in der DGL ein
> und bekommt:
> [mm]xu'+u^2=0[/mm]
> Daraus bekommt man nach Einsetzen von u' = du/dx :
> [mm]x(du/dx)+u^2=0[/mm]
> Und das große Fragezeichen steht für den folgenden
> Schritt: durch welche Umformung bekommt man daraus:
> -(du/u)=dx/x
> Das soll die Separation oder "Variablentrennung" sein..
> Ich kriege :
> -(1/u)=dx/x
1 kann es schonmal gar nicht sein, außer du hast dich verschrieben. Du hast ja du rausgeworfen. Aber auch die Formel in deinem Skript stimmt so nicht ,wenn von dir alles korrekt abgetippt.
Also ich komme mit deiner Angabe auch korrekt bis zu [mm] $x'u+u^2=0$
[/mm]
Danach sollte es so weitergehen:
[mm] $\bruch{du}{dx}=-\bruch{u^2}{x} \Rightarrow \bruch{du}{u^2}=-\bruch{dx}{x}$
[/mm]
Wo das Minuszeichen steht ist egal, aber ich erhalte ein [mm] u^2 [/mm] und kein u.
> Weso hat man in der Vorlesung du statt 1? Wäre für jede
Woher kommt die 1? Das du steht doch da ;) Das hast du doch noch kapiert. Ziel ist doch, die an sich nicht lösbare DGL in etwas zu überführen, dass du bereits kennst. Daher substituierst du einen Ausdruck dergestalt mit u, dass du TdV anwenden kannst. Damit liegt aber eine DGL vor, in der u die gesuchte Ableitung ist. Also willst du nicht mehr nach y integrieren, sondern nach u! Hast du dann für u eine Lösung gefunden, kannst du Resubstituieren.
EDIT. Also Wolphram Alpha bestätigt meine Lösung, daher ist meine Angabe mit [mm] -1/u^2 [/mm] korrekt, damit kannst du rechnen. Deine Lösung sollte am Ende:
[mm] $y=\bruch{x}{ln|x|+c}$ [/mm] lauten.
> Hilfe sehr dankbar denn ich sitze schon einige Stunden
> dran..
> Ich habe die Frage sonst nirgendwo gestellt.
> Gruss
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Ja genau! :) Das erklärt auch das Integral danach.. der Prof hat einfach nur u geschrieben anstatt [mm] u^2 [/mm] :( und das zweimal, auch beim Integrieren.. Dankeschön! Sehr hilfreich :)
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