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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Di 07.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x \ge 0 \\ x-2, & \mbox{falls } x < 0 \end{cases} [/mm]
Sei [mm] d_f: \IR \times \IR \to \IR, (x,y):= | f(x)-f(y) | [/mm] eine Metrik auf [mm] \IR.
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] U_\varepsilon (0) [/mm] in [mm] (\IR,d_f) [/mm] für jedes [mm] \varepsilon > 0 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ist dieser Ansatz richtig ? :
Für x=y gilt [mm] U_\varepsilon (0)=\{0\} [/mm]
Für [mm] x,y \ge 0, x \not= y [/mm] gilt
wenn [mm] 0 < \varepsilon < |x-y| [/mm] dann ist [mm] U_\varepsilon (0)=\{\} [/mm]
wenn [mm] \varepsilon \ge |x-y| [/mm] dann ist [mm] U_\varepsilon (0)=\{n | n \le |x-y|, n \in \IR\} [/mm]
Ist dieser Ansatz richtig ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 07.04.2009 | | Autor: | leduart |
hallo
Eine [mm] \epsilon [/mm] umgebung ist doch die Menge aller Punkte, fuer die [mm] d_f(x,y)<\epsilon [/mm] ist.
setz mal [mm] \epsilon=1
[/mm]
jetzt x,y>0 dann ist [mm] d_f(x,y)=|x-y|
[/mm]
fuer welche x,y ist |x-y|<1
z.Bsp gily das fuer alle x,y mit x=y.
Dann denk mal weiter. Betrachte die einzelnen Quadranten einzeln. Schreib dir jeweil das dazugehoerige [mm] d_f [/mm] auf und finde die gebiete wo das kleiner 1 (oder gleich < [mm] \epsilon [/mm] ist.
Sowas wie " wenn $ [mm] \varepsilon \ge [/mm] |x-y| $ ist gleich nicht sehr sinnvoll.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 08.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Leduart,
vielen Dank für Deine Hilfe !!
> Eine [mm]\epsilon[/mm] umgebung ist doch die Menge aller Punkte,
> fuer die [mm]d_f(x,y)<\epsilon[/mm] ist.
> setz mal [mm]\epsilon=1[/mm]
> jetzt x,y>0 dann ist [mm]d_f(x,y)=|x-y|[/mm]
> fuer welche x,y ist |x-y|<1
> z.Bsp gily das fuer alle x,y mit x=y.
> Dann denk mal weiter. Betrachte die einzelnen Quadranten
> einzeln. Schreib dir jeweil das dazugehoerige [mm]d_f[/mm] auf und
> finde die gebiete wo das kleiner 1 (oder gleich < [mm]\epsilon[/mm]
> ist.
So ?:
x<0, y>0 liefert für [mm] |x-2-y| < \varepsilon [/mm]
x<0, y<0 liefert für [mm] |x-2-y+2| < \varepsilon [/mm]
x>0, y<0 liefert für [mm] |x-y+2| < \varepsilon [/mm]
Aber was bedeutet das ?
Z.B für x<0, y>0 gilt, wenn [mm] \varepsilon > |x-2-y| [/mm] ist, dann liegen alle [mm] d_f-Ergebnisse [/mm] in der Epsilon-Umgebung von 0, andernfalls ausserhalb der Epsilon-Umgebung ?
Ist das so richtig ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mi 08.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst die Ungleichungen schon noch so umformen, dass man sieht, wie [mm] U_{\epsilon} [/mm] nun wirklich aussieht.
also fuer [mm] x,y\ge0 [/mm] und x,y<0 hast du ja [mm] |x-y|<\epsilon.
[/mm]
Zeichne das gebiet doch mal fuer ein festes [mm] \epsilon [/mm] auf.
mein Vorschlag war [mm] \epsilon=1 [/mm] natuerlich kannst du ein anderes nehmen.
Erstmal hast du nur die DEF von U richtig hingeschrieben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mi 08.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Leduart,
nochmals VIELEN DANK !!
So ganz genau weiss ich nicht, wie ich das aufzeichnen soll. Habe ich im 1. Quadranten nicht die 1.Winkelhalbierende als Funktionswert ? Und wenn ich von der 1.Winkelhalbierenden ein Stück abziehe, bleibt das Ergebnis trotzdem auf der 1. Winkelhalbierenden. Ist dann die Epsilonumgebung hier [mm] U_\varepsilon (0) =\{ x-y \} [/mm] wenn x [mm] \ge [/mm] y oder [mm] \{y-x \} [/mm] wenn y>x ist ?
Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch und kann mir das nicht so richtig bildlich vorstellen.
Sind meine Überlegungen kompletter Blödsinn ?
Danke, Susanne.
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Hallo Susanne,
also, eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um einen Punkt x, sind alle y für die [mm]d(x,y) < \varepsilon[/mm] gilt.
In deinem Fall suchst du also die [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um 0 zur Metrik [mm]d_f(x,y) = |f(x) - f(y)| [/mm].
Nun setzen wir also einfach ein, wir haben x=0 (da wir ja die [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um 0 suchen) und suchen alle y, für die [mm]d_f(0,y) < \varepsilon[/mm].
Nun setze mal für [mm] d_f(0,y) [/mm] die Definition ein und mache dann eine Fallunterscheidung für y.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 08.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Gono,
vielen Dank für Deine Erklärung !
Mir war nicht klar, dass x=0 ist, das war schon mal ein entscheidender Hinweis - offensichtlich habe ich das Thema noch nicht verstanden - DANKE !
Für y>0 ist dann [mm] U_\varepsilon (0) = \{y\} [/mm] falls [mm] y<\varepsilon [/mm] ist.
Für y<0 ist dann [mm] U_\varepsilon (0) = \{y+2\} [/mm] falls [mm] y+2<\varepsilon [/mm] ist.
Ist das jetzt so richtig ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Gono,
> vielen Dank für Deine Erklärung !
>
> Mir war nicht klar, dass x=0 ist, das war schon mal ein
> entscheidender Hinweis - offensichtlich habe ich das Thema
> noch nicht verstanden - DANKE !
>
> Für y>0 ist dann [mm]U_\varepsilon (0) = \{y\}[/mm] falls
> [mm]y<\varepsilon[/mm] ist.
> Für y<0 ist dann [mm]U_\varepsilon (0) = \{y+2\}[/mm] falls
> [mm]y+2<\varepsilon[/mm] ist.
>
> Ist das jetzt so richtig ?
Nein!
Ganz ausführlich:
[mm] U_\varepsilon [/mm] (0) = { y [mm] \in \IR: [/mm] |f(y)-f(0)|< [mm] \varepsilon [/mm] }= { y [mm] \in \IR: [/mm] |f(y)|< [mm] \varepsilon [/mm] } =
{y [mm] \ge [/mm] 0: [mm] |f(y)|<\varepsilon [/mm] } [mm] \cup [/mm] {y < 0: |f(y)| < [mm] \varepsilon [/mm] } = {y [mm] \ge [/mm] 0: y [mm] <\varepsilon [/mm] } [mm] \cup [/mm] {y < 0: |y-2| < [mm] \varepsilon [/mm] } =
[0, [mm] \varepsilon) \cup [/mm] [ (2- [mm] \varepsilon, [/mm] 2+ [mm] \varepsilon) \cap [/mm] ( [mm] -\infty, [/mm] 0) ]
>
FRED
> Danke, Susanne.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mi 08.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
vielen Dank für die ausführliche Erklärung !
Ich konnte alles nachvollziehen bis auf den letzten Teil der Gleichung.
Warum ist der Schnitt mit den negativen Zahlen nötig ?
[0, [mm]\varepsilon) \cup[/mm] [ (2- [mm]\varepsilon,[/mm] 2+ [mm]\varepsilon) \cap[/mm] ( [mm]-\infty,[/mm] 0) ]
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
{ y < 0: |y-2| < [mm] \varepsilon [/mm] } =
(2- $ [mm] \varepsilon, [/mm] $ 2+ $ [mm] \varepsilon) \cap [/mm] $ ( $ [mm] -\infty, [/mm] $ 0)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Mi 08.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
DANKE !!!
Jetzt ist der Groschen gefallen.
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