Umgebungen-Stetigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die signum-Funktion
[mm] \sgn(x):= \begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x <0\end{cases}
[/mm]
Anhand der Umgebungsaxiome und der Stetigkeitsdefinition soll gezeigt werden, dass die signum-Funktion nicht stetig ist.
Definition Stetigkeit:
Eine Abbidlung f eines topologischen Raumes X in einen Raum Y heißt stetig im Punkt [mm] x\in [/mm] X, wenn das Urbild jeder Umgebung von f(x) eine
Umgebung von 𝑥 ist.
Die Umgebungsaxiome sind:
X sei ein topologischer Raum und [mm] x\in [/mm] X.
(U1) Es gibt eine Umgebung von 𝑥 und jede Umgebung von 𝑥 enthält 𝑥
(U2) Die Obermenge einer Umgebung von 𝑥 ist selbst eine
Umgebung von 𝑥
(U3) Der Durchschnitt zweier Umgebungen von 𝑥 ist eine Umgebung
von 𝑥.
(U4) Jede Umgebung von 𝑥 enthält eine Umgebung von 𝑥, welche
Umgebung aller ihrer Punkte ist. |
Hallo zusammen!
Ich muss kommenden Dienstag einen Vortrag im Fach Topolige über Umgebungen halten. Nun habe ich bei einem Beispiel, das ich im Vortrag bringen möchte einige Verständnisproblem. Vielleicht kann mir das jemand anschaulich erklären- ich wäre sehr sehr dankbar!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Mi 19.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die signum-Funktion
>
> [mm]\sgn (x):= \begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x <0\end{cases}[/mm]
>
> Anhand der Umgebungsaxiome und der Stetigkeitsdefinition
> soll gezeigt werden, dass die signum-Funktion nicht stetig
> ist.
> Definition Stetigkeit:
> Eine Abbidlung f eines topologischen Raumes X in einen
> Raum Y heißt stetig im Punkt [mm]x\in[/mm] X, wenn das Urbild jeder
> Umgebung von f(x) eine
> Umgebung von 𝑥 ist.
>
> Die Umgebungsaxiome sind:
> X sei ein topologischer Raum und [mm]x\in[/mm] X.
> (U1) Es gibt eine Umgebung von 𝑥 und jede Umgebung von
> 𝑥 enthält 𝑥
> (U2) Die Obermenge einer Umgebung von 𝑥 ist selbst
> eine
> Umgebung von 𝑥
> (U3) Der Durchschnitt zweier Umgebungen von 𝑥 ist eine
> Umgebung
> von 𝑥.
> (U4) Jede Umgebung von 𝑥 enthält eine Umgebung von
> 𝑥, welche
> Umgebung aller ihrer Punkte ist.
> Hallo zusammen!
> Ich muss kommenden Dienstag einen Vortrag im Fach Topolige
> über Umgebungen halten. Nun habe ich bei einem Beispiel,
> das ich im Vortrag bringen möchte einige
> Verständnisproblem. Vielleicht kann mir das jemand
> anschaulich erklären- ich wäre sehr sehr dankbar!
1. Obige Funktion nenne ich mal f.
2. Ich gehe davon aus, dass [mm] \IR [/mm] mit der vom Betrag erzeugten Topologie versehen ist.
3. Wir nehmen uns mal den Punkt [mm] x_0=0 [/mm] vor. Anschaulich ist klar, dass f in diesem Punkt nicht stetig ist.
Wir benötigen also eine Umgebung U von [mm] f(x_0)=0 [/mm] so, dass [mm] f^{-1}(U) [/mm] keine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ist.
Mach Dir klar, daas U=(-1,1) das gewünschte leistet.
4. Versuche nun Du zu zeigen, dass f in jedem x [mm] \ne [/mm] 0 stetig ist.
FRED
|
|
|
| |
|
Gerade daran scheitert es bei mir. Das mit der Umgebung um f(x)=0 ist mir klar. Ich hatte bei meinem Beispiel V=(-0,5, 0,5) gewählt. Das Urbild U=f^-1(V) ist jetzt [mm] (-\infty,0] [/mm] und [0, [mm] \infty) [/mm] bzw. R ohne die 0?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mi 19.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gerade daran scheitert es bei mir. Das mit der Umgebung um
> f(x)=0 ist mir klar. Ich hatte bei meinem Beispiel V=(-0,5,
> 0,5) gewählt. Das Urbild U=f^-1(V) ist jetzt [mm](-\infty,0][/mm]
> und [0, [mm]\infty)[/mm] bzw. R ohne die 0?
Das ist doch Unsinn !
Es ist [mm] U=f^{-1}(V) [/mm] = [mm] \{x \in \IR: |f(x)|<1/2 \}=\{0\}$
[/mm]
>
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Also sei V(-0,5;0,5), dann ist
[mm] f^{-1}((-0,5;0,5))=\{x\in R|f(x)\in (-0,5;0,5)\}=\{0\} [/mm] |
Die Funktion ist unstetig an der Stelle x=0. Denn dort ist f(x)=0. V(-0,5;0,5) ist also eine Umgebung von f(x). Das Urbild von V(-0,5;0,5) ist [mm] f^{-1}((-0,5;0,5))=\{0\}=U. [/mm] U ist also keine Umgebung von x.
Ist diese Argumentation so korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also sei V(-0,5;0,5), dann ist
> [mm]f^{-1}((-0,5;0,5))=\{x\in R|f(x)\in (-0,5;0,5)\}=\{0\}[/mm]
> Die
> Funktion ist unstetig an der Stelle x=0. Denn dort ist
> f(x)=0. V(-0,5;0,5) ist also eine Umgebung von f(x). Das
> Urbild von V(-0,5;0,5) ist [mm]f^{-1}((-0,5;0,5))=\{0\}=U.[/mm] U
> ist also keine Umgebung von x.
>
> Ist diese Argumentation so korrekt?
Ja
FRED
|
|
|
|
