Umgekehrte Abstandsaufgabe < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | g: [mm] \vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}+r* \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] Der Punkt P(3/2/2) liegt nicht auf g. Gesucht ist Q1 und Q2 auf g, die von P den Abstand d=7 haben. |
Hallo,
wenn P auf g liegt würde ich das ohne Probleme hinbekommen, aber so hab ich absolut keinen Ansatz. Habe versucht eine Gerade durch P zu machen die senkrecht auf g steht, dann versucht den Scnittpunkt zu bestimmen. Dann verushct über die Einheitsvektor was zu machen. Leider führten die Ansätze alle ins leere. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
mFg Totmacher
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Ich kann dir nur mal ebend meine "spontane Idee sagen".
Ich würde eine Hilfsebene aufstellen; P als Aufpunkt und den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Ebene.
Nun würde ich den Schnittpunkt ermitteln.
Nun den Abstand zwischen P und dem soeben errechneten Lotfußpunkt.
Nun würde ich mir im Raum einen Pythagoras basteln:
7² = [mm] \wurzel{...}² [/mm] + (Abstand P - Lotfußpunkt)²
Mit der Wurzel meine ich, dass du dort den räumlichen Pythagoras ansetzt und nun den Abstand zwischen dem Lotfußpunkt und einem Punkt auf der Geraden.
Dann das ganze nach dem Parameter der Geraden auflösen.
Der zweite Punkt sollte dann vom Lotfußpunkt den gleichen abstand haben :)
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Sa 29.03.2008 | | Autor: | totmacher |
Werde es mal versuchen. Hatte zuerst eine gerade die senkrecht auf g liegt und durch P geht. Dann wollte ich den SP bestimmen, aber das ging irgendwie nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Vllt waren die beiden Geraden dann windschief zueinander; mit ner Hilfsebene ist man immer auf der sicheren Seite, da sie (entweder parallel oder identisch ist oder) dir immer einen Schnittpunkt liefert. :D
Lg
|
|
|
| |
|
Wir haben nun zu viert diese Aufgabe zu lösen. Leider ohne Erfolg.
1. Zuerst haben wir eine Ebene erstellt durch P mit dem Normalenvektor von dem Richtungsvektor.
( /vec x [mm] -\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix})*(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0 [/mm]
2. Dann setzt man für /vec x die Geradegleichung ein.
Dann erhält man für r=0
3. Schnittpunkt/Lotfußpunkt ist also der Sützvektor von g L= [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm]
4.Länge von P und L bestimmen. Die Länge beträgt 6,41
5. Nach Pyth. [mm] c^2=a^2+b^2 [/mm]
[mm] 7^2=a^2+6,41^2 [/mm]
c=2,8
6. Wir wissen nicht weiter. Das ist voll deprimierent. Man ist in der 13, hat Mathe LK und dann kann man nicht mal so eine Aufgabe lösen...
|
|
|
| |
|
Hallo totmacher,
> Wir haben nun zu viert diese Aufgabe zu lösen. Leider ohne
> Erfolg.
>
> 1. Zuerst haben wir eine Ebene erstellt durch P mit dem
> Normalenvektor von dem Richtungsvektor.
> ( /vec x [mm]-\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix})*(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0[/mm]
>
> 2. Dann setzt man für /vec x die Geradegleichung ein.
> Dann erhält man für r=0
> 3. Schnittpunkt/Lotfußpunkt ist also der Sützvektor von g
> L= [mm]\begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> 4.Länge von P und L bestimmen. Die Länge beträgt 6,41
>
> 5. Nach Pyth. [mm]c^2=a^2+b^2[/mm]
> [mm]7^2=a^2+6,41^2[/mm]
> c=2,8
>
> 6. Wir wissen nicht weiter. Das ist voll deprimierent. Man
> ist in der 13, hat Mathe LK und dann kann man nicht mal so
> eine Aufgabe lösen...
Wenn ich von P das Lot auf g bestimme, so gibt es hier nur eine eindeutig bestimmte Lösung für r.
Vielleicht ist ja auch so was gemeint, wie schneide den Kreis K um P mit Radius 7 mit g.
[mm]K:\left(\overrightarrow{x}-\pmat{3 \\ 2 \\ 2}\right)^{2}=7^{2}[/mm]
Suche demnach die Lösungen von
[mm]\vmat{\pmat{7 \\ 6 \\ 5} + r*\pmat{-1 \\ 1 \\ 0}- \pmat{3 \\ 2 \\ 2 }}=7[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo,
du bist ja auf dem richtigen Weg, der genauso funktioniert wie MathePowers Vorschlag.
> 4.Länge von P und L bestimmen. Die Länge beträgt 6,41
>
Hier solltest du unbedingt bei dem genauen Ergebnis bleiben. Also:
[mm] \left|\vektor{7 \\ 6 \\ 5}-\vektor{3 \\ 2 \\ 2}\right|=\wurzel{41}
[/mm]
> 5. Nach Pyth. [mm]c^2=a^2+b^2[/mm]
> [mm]7^2=a^2+6,41^2[/mm]
> c=2,8
Hier weiß ich nicht wie du auf c kommst, da c doch auch schon gar nicht mehr vorkommt nachdem du einsetzt.
[mm]7^2=a^2+\wurzel{41}^2[/mm]
[mm]a^2=8[/mm]
[mm]a=\pm\wurzel{8}=\pm2\wurzel{2}[/mm]
Diese Strecke musst du von dem Lotfußpunkt also auf g zurücklegen um zu den gesuchten Punkten zu kommen.
Die Länge des Richtungsvektors beträgt:
[mm] \left|\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}\right|=\wurzel{2}
[/mm]
Dann musst du also [mm] r=\pm2 [/mm] in die Geradengleichung einsetzen und du erhälst den Ortsvektor der Punkte mit dem Abstand 7 von P.
Gruss
Mr._Calculus
|
|
|
| |
|
Habe es jetzt verstanden. Ich hatte immer [mm] 2*\wurzel{2} [/mm] direkt für r eingesetzt. Aber wie kommt man auf r=2?? Teilt man [mm] 2*\wurzel{2} [/mm] durch [mm] \wurzel{2}? [/mm] Das müsste ja so stimmen. Kann mir das gerade nicht so vorstellen.
Ich kann mir das nur so erklären, dass die Länge des Richtungsvektor [mm] \wurzel{2} [/mm] ist. Aber wir brauchenden Punkt nach [mm] 2*\wurzel{2}, [/mm] dh. 2x den Richtungsvektor. Also r=2? Stimmt das so? Vektoren und so ist wirklich ein Buch mit 7 Siegeln. Aber man muss ja bedenken, dass die Gesamtschulen die Aufgaben auch lösen müsse.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 30.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Wir haben ja oben berechnet, dass der Abstand vom Lotfußpunkt zu dem gesuchten Punkt auf der Geraden 2 * [mm] \wurzel{2} [/mm] betragen soll.
Nun haben wir die Länge des Richtungsvektors berechnet; diese Länge beträgt [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Und nun simpele Mathematik:
r * [mm] \wurzel{2} [/mm] = 2 * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Wenn du also bei den Lotfußpunkt das zweifache des Richtungsvektors hinzuaddierst/ subtrahierst, erhälst du deine beiden gesuchten Punkte.
Also waren deine Ausführungen alle richtig ;)
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 So 30.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Beim Lösen der Gleichung mit der Kugel oben, was dir auch schon vorgeschlagen wurde, wären übrigens auch die Lösungen r=2 und r=-2 rausgekommen; wahrscheinlich ist das sogar die einfachere Variante aber beide sind halt korrekt. :o
Lg
|
|
|
|
