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| Aufgabe | | Es sei M eine nichtleere Menge und f: M [mm] \to [/mm] N eine injektive Abbildung. Finden Sie eine Abbildung g: N [mm] \to [/mm] M, so dass g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{M}. [/mm] |
Ich versteh gar nicht, was ich hier eigentlich machen soll. Ich soll eine Abbildung finden, aber wie? Muss ich dazu etwas beweisen?
Das einzige, was ich weiß, ist, dass g surjektiv sein muss, damit die Bedingung erfüllt ist.
Könnte mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei M eine nichtleere Menge und f: M [mm]\to[/mm] N eine
> injektive Abbildung. Finden Sie eine Abbildung g: N [mm]\to[/mm] M,
> so dass g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{M}.[/mm]
> Ich versteh gar nicht, was ich hier eigentlich machen
> soll. Ich soll eine Abbildung finden, aber wie? Muss ich
> dazu etwas beweisen?
Nein, eher eine kleine Bastelarbeit
Da f injektiv ist, ex. [mm] $f^{-1}:f(M) \to [/mm] M$
Fall 1: f(M)=N. Dann ist [mm] f^{-1} [/mm] auf ganz N def. , Du kannst also $g:= [mm] f^{-1}$ [/mm] setzen
Fall 2: f(M) [mm] \not= [/mm] N. Wähle irgendein [mm] x_0 \in [/mm] M und setze
$g(y) = [mm] f^{-1}(y)$ [/mm] , falls y [mm] \in [/mm] f(M)
und $g(y) = [mm] x_0$, [/mm] falls y [mm] \notin [/mm] f(M)
Nun zeige, dass dieses g das Gewünschte leistet.
FRED
> Das einzige, was ich weiß, ist, dass g surjektiv sein
> muss, damit die Bedingung erfüllt ist.
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> Könnte mir jemand helfen?
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Was meinst du denn mit [mm] f^{-1}? [/mm] Das hatten wir noch nicht!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Was meinst du denn mit [mm]f^{-1}?[/mm] Das hatten wir noch nicht!
Das ist die Umkehrabbildung, die ist wie folgt auf f(M) definiert (falls f injektiv ist):
ist y [mm] \in [/mm] f(M), so ex genau ein x [mm] \in [/mm] M mit f(x) = y.
[mm] f^{-1}(y) [/mm] := x
FRED
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