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| Aufgabe | f(x,y)=(3x-4y , 4x-5y)
Umkehrabbildung angeben um Bijektivität zu beweisen! |
Guten Abend!
3x-4 = v
4x-5y=w
Dann habe ich x mit v vertauscht und y mit w vertauscht.
Somit:
3v-4w=x
4v-5w=y
Also:
v= [mm] \bruch{x + 4 w}{3} [/mm]
und
4v-5w=y
[mm] w=\bruch{-y + 4v}{5} [/mm]
Dann v durch v=.. ersetzen:
w= [mm] \bruch{-y + 4x +16 w}{5} [/mm]
Jetzt komme ich nicht weiter, denn ich habe ja noch das w im Bruch.
Danke für jede Hilfe!
Viele Grüße
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Hallo Anaximander,
das ist, was die eigentliche Rechnung betrifft, gar nicht schlecht. Leider wird der mathematische Zusammenhang nicht deutlich, es wirkt ein bisschen chaotisch.
> f(x,y)=(3x-4y , 4x-5y)
> 3x-4 = v
> 4x-5y=w
Genau. Mit diesem Ansatz kannst du gut arbeiten. Jetzt einfach auflösen nach x und y (lineares Gleichungssystem mit den Parametern v und w). Es ist eindeutig lösbar (übrigens würde der Nachweis dieser Eindeutigkeit genügen, um die Bijektivität zu zeigen!).
> Dann habe ich x mit v vertauscht und y mit w vertauscht.
Das ist sozusagen eine Umbenennung der Variablen. Das ist der sicherste Weg, die Rechnung vollkommen unübersichtlich zu machen. Schon nach wenigen Schritten weiß niemand mehr (Dich eingeschlossen), was hier gegeben und was gesucht ist.
> Somit:
> 3v-4w=x
> 4v-5w=y
> Also:
> v= [mm]\bruch{x + 4 w}{3}[/mm]
> und
> 4v-5w=y
> [mm]w=\bruch{-y + 4v}{5}[/mm]
> Dann v durch v=.. ersetzen:
> w= [mm]\bruch{-y + 4x +16 w}{5}[/mm]
> Jetzt komme ich nicht weiter, denn ich habe ja noch das w
> im Bruch.
Und ich kann Dir schon längst nicht mehr folgen, ohne zu resubstituieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Do 04.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auch ich finde das Rumgetausche unübersichtlich. aber trotzdem auf deine letzte Frage:
w=A+16/5*w
da würd ich einfach alle w auf eine Seite bringen.
(ob deine Gl. richtig sind hab ich nicht überprüft. )
Gruss leduart
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Kann mir bitte jemand ab dem Punkt an dem es unübersichtlich wird die Aufgabe lösen. Ich komme wirklich nicht weiter.
Herzlichen Dank für jede Hilfe
Viele Grüße
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Seufz.
Du hast eine Abbildung [mm] \a{}f(x,y) \rightarrow \a{}(v,w) [/mm] gegeben mit
[mm] \a{}3x-4y=v
[/mm]
[mm] \a{}4x-5y=w
[/mm]
Dieses LGS löst Du nach [mm] \a{}x [/mm] und [mm] \a{}y [/mm] auf und findest (nachrechnen!):
[mm] \a{}x=4w-5v
[/mm]
[mm] \a{}y=3w-4v
[/mm]
Jetzt müsstest Du noch nachweisen, dass es für jedes Wertepaar [mm] \a{}(v,w) [/mm] nur eine Lösung [mm] \a{}(x,y) [/mm] gibt. Das sollte nicht so schwierig sein, immerhin handelt es sich ja nur um lineare Gleichungen.
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Doch für mich ist das hier schwierig. Ich bekomme einmal einen Bruch mit einer 3 im Nenner und einmal im Nenner mit 5. Auf deine beiden Gleichungen komme ich einfach nicht. Wie kommst du bitte darauf?
Vielen Dank!
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LGS, Gaußscher Algorithmus. Sagt Dir das was?
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Ja, damit rechne ich sonst oft, aber hier wüßte ich nicht wie ich Gauß einsetzen soll! Wie geht das hier?
Dankeschön für deine / eure Hilfe!
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für x habe ich: x=-5v+4w. Ist das richtig?
Dann löse ich einmal nach v und einmal nach w auf, oder?! Dann mache ich aus dem v wieder ein x und aus dem w wieder ein y, richtig?!
Danke für jede Hilfe!
Viele Grüße
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Nochmal: wozu die Vertauschung der Variablenbezeichnungen? In ganz seltenen Fällen macht das bei der Erstellung von Computerprogrammen Sinn, aber selbst da ist Verwirrung sozusagen vorprogrammiert.
Schmeiß das alles weg und fang von vorn an, das ist ein Akt von nicht einmal zwei Minuten. Ich schreibe schon länger an dieser Antwort.
Wenn Du von Anfang an v und w einsetzt, so wie ich es Dir vorgerechnet habe, dann musst Du das ebenfalls schon angegebene Gleichungssystem nur noch nach x und y aufzulösen. Auch dazu hast Du schon einen Tipp bzw. die Auflösung einer Gleichung (und bei mir sogar das vollständige Ergebnis).
Alles, was dann noch zu zeigen bleibt, ist die Surjektivität der Umkehrfunktion.
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