Umkehrfkt. monoton < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Eine Frage aus dem Gedächtnisprotokoll einer Ana- Vordiplomfprüfung lautete:
" Zeigen Sie, dass die Log - Funktion monoton wachsend ist! Und zeigen Sie, dass ganz allgemein Unkehrfunktionen monotoner Funktionen wieder monoton sind! ".
Ich habe da etwas, aber bin mir nicht sicher, ob das reichen würde:-(.
So, meine Antwort auf diese Frage würde so ausschauen:
Log-Funktion ist ja die Umkehrfunktion der der Exp - Funktion, von der wir wissen, dass sie stetig und streng - monoton wachsend ist!
Aufgrund der Tatsache, dass die Umkehrfunktion einer auf einem Intervall definierten stetigen streng monotonen Funktion wieder stetig ist, wissen wir, dass die Log - Funktion ebenfalls stetig ist.
Die Log - Funktion ist ebenfalls streng monoton wachsend, denn:
Sei [mm] f : I [mm] \to \mahtbb [/mm] R [mm] eine stetige, streng monotone Funktion und sei [mm] g: J \to \mathbb R [/mm] die Umkehrfunktion von f.
Sei [mm] y_1 , y_2 \in [/mm] J mit [mm] y_1 < y_2 [/mm]. Wir müssen zeigen, dass [mm] g(y_1) < g( y_2) [/mm].
Wäre [mm] g(y_2) \le g( y_1) [/mm], also [mm] f( g(y_2) ) \le f( g(y_1 )) [/mm], dann würde folgen, dass [mm] y_2 \le y_1 [/mm] und dies ist ein Widerspruch zur der Voraussetzung, dass die Funktion f streng monoton wachsend ist! .
Würde das ausreichen für die allgemeine Lösung? Für den Log würde ich dann einfach f durch exp unf g durch log ersetzen...
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Do 24.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
Sei $f : I [mm] \to \IR$ [/mm] eine stetige, streng monoton wachsende Funktion und sei $g: J [mm] \to \IR$ [/mm] die Umkehrfunktion von f.
Seien [mm] $y_1 [/mm] , [mm] y_2 \in [/mm] J$ mit [mm] $y_1 [/mm] < [mm] y_2 [/mm] $. Wir müssen zeigen, dass [mm]g(y_1) < g( y_2) [/mm].
Wäre [mm] $g(y_2) \le [/mm] g( [mm] y_1)$, [/mm] also $f( [mm] g(y_2) [/mm] ) [mm] \le [/mm] f( [mm] g(y_1 [/mm] ))$, dann würde folgen, dass [mm]y_2 \le y_1[/mm] und dies ist ein Widerspruch zur der Voraussetzung, dass die Funktion f streng monoton wachsend ist!
so stimmts dann.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Do 24.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die Antwort!
Viele Grüße
Irmchen
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