Umkehrfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 22.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
| Aufgabe | Hallo ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:
Folgende Funktionen sind für geeignete Wahlen von Definitions- und Bildmenge bijektiv. Berechnen Sie die Umkehrfunktionen
h(x) = [mm] e^{5x} [/mm] -8
x = [mm] e^{5y} [/mm] -8
Soll ich jetzt den ln auf beiden Seiten anwenden? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mi 22.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:
>
> Folgende Funktionen sind für geeignete Wahlen von
> Definitions- und Bildmenge bijektiv. Berechnen Sie die
> Umkehrfunktionen
>
> h(x) = [mm]e^{5x}[/mm] -8
>
> x = [mm]e^{5y}[/mm] -8
>
> Soll ich jetzt den ln auf beiden Seiten anwenden?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Rechne vorher noch beide Seiten plus 8.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mi 22.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
8+x = [mm] e^{5y} [/mm]
ln(8+x) = 5y
y = [mm] \bruch{ln(8+x)}{5}
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 8+x = [mm]e^{5y}[/mm]
was ist denn mit dem Definitions- und Zielbereich von [mm] $h\,$? [/mm] Gesucht ist
ein/hier besser: der maximale Definitionsbereich [mm] $D\,$ [/mm] von [mm] $h\,$ [/mm] so, dass [mm] $h\,$ [/mm] injektiv
ist - und überlege Dir dann, was $h(D)$ ist, damit Du die Bijektivität hast.
Du hast oben schon $x [mm] \leftrightarrow y$ vertauscht, daher sollte obiges $x\,$
(das ehemalige $y\,$) aus $h(D)\,$ auch so sein, dass die Gleichung überhaupt
*sinnvoll* ist. Wir sehen das auch im Folgenden, denn
> ln(8+x) = 5y
$\ln(e^{5y})=5y$ gilt für alle $y \in \IR\,,$ aber $\ln(8+x)$ darf man nur hinschreiben,
wenn $8+x > ...\,$(?), also $x > \,...$(?) ?
> y = [/mm] [mm]\bruch{ln(8+x)}{5}[/mm]
>
> Richtig?
Wenn Du halt noch ein wenig mehr dazuschreibst, dann schon. Nebenbei:
Du weißt, wie Du sowas auch graphisch testen kannst? Hinweis:
Symmetrie zur "45 Grad Ursprungsgeraden"!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 22.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
f^-1(x) = [mm] \bruch{ln(8+x)}{5}
[/mm]
So in Ordnung?
Tut mir leid , ich weiss nicht so richtig wie ich auf den maximalen Definitionsbereich kommen soll?
Woran erkenne ich das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mi 22.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Deinitionsbereich müsste doch Reele zahlen sein .
D = R
Was ist mir der Bildmenge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 22.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> f^-1(x) = [mm]\bruch{ln(8+x)}{5}[/mm]
> Deinitionsbereich müsste doch Reele zahlen sein .
> D = R
Okay, dann setze ich [mm] -12\in\IR [/mm] ein und erhalte [mm] f^{-1}(-12)=\bruch{ln(8-12)}{5}=\bruch{ln(-4)}{5}.
[/mm]
Jetzt habe ich ein Problem (Wieso?).
> Was ist mir der Bildmenge?
Diese Frage und eigentlich auch die vorige wurde schon von Marcel
ausführlich beantwortet.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mi 22.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Kann ich das so sagen ,dass die Wertemenge nicht negativ sein darf?
x+8 > -1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mi 22.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Kann ich das so sagen ,dass die Wertemenge nicht negativ sein darf?
Bestimme zunächst den Definitionsbereich. Dann lies nochmal die
Antwort von Marcel.
> x+8 > -1
Daraus folgt: [mm] $x>-9\$. [/mm] Also ist deine Behauptung: [mm] D:=\IR_{>-9}?
[/mm]
Okay, dann setze ich nun [mm] $\IR_{>-9}\ni [/mm] x:=-8.5>-9$ ein und erhalte
[mm] f^{-1}(-8.5)=\frac{\ln(8-8.5)}{5}=\frac{\ln(-0.5)}{5}.
[/mm]
Wieder ein Problem. Wie ist der Logarithmus definiert??????
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Do 23.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Den ln( -Zahlen) nicht möglich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Do 23.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Den ln( -Zahlen) nicht möglich?
Der Logarithmus ist für Zahlen [mm] \le [/mm] 0 nicht definiert.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Do 23.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Wie schreibe ich sowas dann genau formal auf?
D = [mm] R\{-unendlich}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Do 23.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wie schreibe ich sowas dann genau formal auf?
>
> D = [mm]R\{-unendlich}[/mm]
Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist
[mm] $D=\{x \in \IR: x>0\}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Do 23.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Ah alles klar danke .
Kannst du mir noch beim Bildbereich helfen ?
Das fällt mir schwer.
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> Ah alles klar danke .
>
> Kannst du mir noch beim Bildbereich helfen ?
Hallo,
beim Bildbereich welcher Funktion? Von h?
Gegeben ist hier [mm] h(x):=e^{5x}+8,
[/mm]
und Du sollst Definitions- und Bildbereich so bestimmen, daß die Funktion bijektiv ist.
Nur, wenn die Funktion bijektiv ist, kann man sie umkehren.
Besprochen wurde schon, daß der max. Definitionsbereich von h die Menge [mm] \IR [/mm] ist, denn in die Funktionsgleichung darf man ungestraft jede reelle Zahl einsetzen.
Betrachten wir nun h als Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] so stellen wir fest:
1.
Die Funktion ist injektiv
2.
Die Funktion ist nicht surjektiv, denn es gibt ja Zahlen [mm] y\in \IR, [/mm] welche nicht "getroffen" werden, z.B. die -10:
die Gleichung h(x)=-10 hat keine Lösung.
3.
Wenn wir die Funktion h mit dem Definitionsbereich [mm] D_h=\IR [/mm] und der Vorschrift [mm] h(x):=e^{5x}+8 [/mm] surjektiv bekommen wollen, müssen wir die Zielmenge "verkleinern", indem wir als Zielmenge die Menge wählen, die alle Funktionswerte enthält, die die Funktion h annehmen kann. Das ist das Bild von h, Bild(h), oder auch [mm] h(\IR).
[/mm]
[mm] h(\IR)=???
[/mm]
Das mußt Du nun herausfinden.
Dazu schau Dir jetzt mal den Graphen von h an.
Welche Funktionswerte werden angenommen?
Wenn Du das gesehen hast, müßtest Du noch beweisen, daß Du wirklich das Bild gefunden hast,
etwa indem Du die Monotonie der Funktion und die Grenzwerte gegen [mm] \pm\infty [/mm] in die Waagschale wirfst.
Erst, wenn Du bis hierher gekommen bist, weißt Du, daß
[mm] h:\IR\to f(\IR)
[/mm]
bijektiv und damit umkehrbar ist.
Du kennst den max. Definitionsbereich der Umkehrfunktion: [mm] f(\IR),
[/mm]
Du kennst das Bild der Umkehrfunktion: [mm] \IR,
[/mm]
weißt also, daß die Umkehrfunktion aus der Menge [mm] f(\IR) [/mm] auf die Menge [mm] \IR [/mm] abbildet, und ihre Funktionsgleichung hast Du ja schon vor einiger Zeit bestimmt.
Die Umkehrfunktion g ist also
[mm] g:f(\IR)\to \IR [/mm] mit
[mm] g(x):=\bruch{ln(x+8)}{5}.
[/mm]
Ohne Angabe des Definitionsbereiches und der Zielmenge ist die schönste Funktionsgleichung hier wertlos!
LG Angela
>
> Das fällt mir schwer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 23.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
> Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist
>
> [mm]D=\{x \in \IR: x>0\}[/mm]
Eine skizze der e funktion hänge ich an.
Aber wie ich auf die Bildmenge komme keine Ahnung.
Ich bin im 1 Semester und habe daher probleme das zu verstehen . Tut mir leid
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 23.10.2014 | | Autor: | abakus |
> > Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist
> >
> > [mm]D=\{x \in \IR: x>0\}[/mm]
>
>
> Eine skizze der e funktion hänge ich an.
>
> Aber wie ich auf die Bildmenge komme keine Ahnung.
>
> Ich bin im 1 Semester und habe daher probleme das zu
> verstehen . Tut mir leid
Hallo,
das hat nichts mit 1. Semester zu tun, das ist Schulstoff.
Zur Ermittlung der Umkehrfunktion hast du irgendwann mal x und y vertauscht. Daraus folgt auch:
Der Definitionsbereich der Funktion wird zum Wertebereich (du nennst das Bildmenge) der Umkehrfunktion.
Der Wertebereich der Funktion wird zum Definitionbereich der Umkehrfunktion.
Die Funktion h hatte als Definitionsbereich [mm]x\in \IR[/mm].
Also hat die Umkehrfunktion den Wertebereich [mm] $y\in \IR$.
[/mm]
Die Funktion h hatte den Wertebereich [mm] $y\in \IR, [/mm] y>...$.
Also hat die Umkehrfunktion den Definitionsbereich [mm] $x\in \IR, [/mm] x>...$.
Gruß Abakus
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Do 23.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Ja das weiss ich ja auch abakus meine frage war wie ich auf den Bildbereich kommen soll?
Das man das vertauscht weiss ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Do 23.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Ja das weiss ich ja auch abakus meine frage war wie ich auf
> den Bildbereich kommen soll?
>
> Das man das vertauscht weiss ich
Auch das ist Schulstoff. Jede Exponentialfunktion hat nur posivive Werte. Davon wird nun 8 subtrahiert...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 23.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
e^5x -8.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Do 23.10.2014 | | Autor: | abakus |
> e^5x -8.
... und jetzt geht es darum, welche Werte dieser Term annehmen kann (und welche nicht).
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 24.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Die Funktion kann nicht 0 werden oder ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Fr 24.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Die Funktion kann nicht 0 werden oder ?
Das ist Quatsch. [mm] $e^{5x}$ [/mm] kann nicht Null werden. [mm] $e^{5x}-8$ [/mm] kann Null oder sogar negativ werden:
[mm] $e^{5x}$ [/mm] kann z.B. 1 werden (nämlich für x=0).
Dann [mm] ist $e^{5*0}-8=1-8=-7$ und [/mm] somit sogar negativ.
[mm] $e^{5x}$ [/mm] kann auch kleiner als 1 werden (nämlich für negative [mm] x). $e^{5*0}-8$ [/mm] kann damit auch noch etwas kleiner als -7 werden!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:18 Fr 24.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Der maximale Bildbereich im negativen Bereich liegt bei -7 .
Im positiven Bereich kann der Bildbereich auch liegen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Fr 24.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Der maximale Bildbereich im negativen Bereich liegt bei -7
> .
>
> Im positiven Bereich kann der Bildbereich auch liegen.
Ich hatte dir gerade erklärt, dass auch kleinere Werte als -7 möglich sind, aber das scheint dich nicht zu interessieren.
Ich für meinen Teil beende das hier.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Fr 24.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Dann würde der Wertebereich auch bis - unendlich gehen ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Fr 24.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann würde der Wertebereich auch bis - unendlich gehen ?
Nein. Der Wertebereich von
h(x) = $ [mm] e^{5x} [/mm] $ -8
ist $(-8, [mm] \infty)$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Fr 24.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Dann würde der Wertebereich auch bis - unendlich gehen ?
>
> Nein. Der Wertebereich von
>
> h(x) = [mm]e^{5x}[/mm] -8
>
> ist [mm](-8, \infty)[/mm]
ich ergänze nur mal gerade kurz, wie man das, was Fred hier sagt, vielleicht
sonst nur gesehen hat (in der Schule wurden bei uns Intervalle nur mit
eckigen Klammern geschrieben, ich war an der Uni deswegen anfangs
öfters mal stark verwirrt, weil Gewohnheiten schwer abzulegen sind - und
vielleicht haben ja manche hier gerade solche Probleme):
Der Wertebereich ist
[mm] $]-8,\,\infty[$ $\,=\,\{x \in \IR \mid x > -8\}\,.$
[/mm]
Die Notation mit den runden Klammern ist, wohl entgegen der Schulmathematik,
aus meiner Erfahrung heraus aber die *üblichere*.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 24.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
> Hallo,
>
> > > Dann würde der Wertebereich auch bis - unendlich gehen ?
> >
> > Nein. Der Wertebereich von
> >
> > h(x) = [mm]e^{5x}[/mm] -8
> >
> > ist [mm](-8, \infty)[/mm]
>
> ich ergänze nur mal gerade kurz, wie man das, was Fred
> hier sagt, vielleicht
> sonst nur gesehen hat (in der Schule wurden bei uns
> Intervalle nur mit
> eckigen Klammern geschrieben, ich war an der Uni deswegen
> anfangs
> öfters mal stark verwirrt, weil Gewohnheiten schwer
> abzulegen sind - und
> vielleicht haben ja manche hier gerade solche Probleme):
> Der Wertebereich ist
>
> [mm]]-8,\,\infty[[/mm] [mm]\,=\,\{x \in \IR \mid x > -8\}\,.[/mm]
>
> Die Notation mit den runden Klammern ist, wohl entgegen der
> Schulmathematik,
> aus meiner Erfahrung heraus aber die *üblichere*.
>
> Gruß,
> Marcel
Ist es gleichzeitig der Bildbereich ?
Und der definitionsbereich D ={x€R x >=0 }
Aber das ist schon echt schwer.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Fr 24.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Dann würde der Wertebereich auch bis - unendlich gehen ?
> > >
> > > Nein. Der Wertebereich von
> > >
> > > h(x) = [mm]e^{5x}[/mm] -8
> > >
> > > ist [mm](-8, \infty)[/mm]
> >
> > ich ergänze nur mal gerade kurz, wie man das, was Fred
> > hier sagt, vielleicht
> > sonst nur gesehen hat (in der Schule wurden bei uns
> > Intervalle nur mit
> > eckigen Klammern geschrieben, ich war an der Uni
> deswegen
> > anfangs
> > öfters mal stark verwirrt, weil Gewohnheiten schwer
> > abzulegen sind - und
> > vielleicht haben ja manche hier gerade solche
> Probleme):
> > Der Wertebereich ist
> >
> > [mm]]-8,\,\infty[[/mm] [mm]\,=\,\{x \in \IR \mid x > -8\}\,.[/mm]
> >
> > Die Notation mit den runden Klammern ist, wohl entgegen der
> > Schulmathematik,
> > aus meiner Erfahrung heraus aber die *üblichere*.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ist es gleichzeitig der Bildbereich ?
>
> Und der definitionsbereich D ={x€R x >=0 }
>
> Aber das ist schon echt schwer.
ne, die Kommunikation mit Dir ist gerade echt ein wenig anstrengend.
1. Tipp: Such' Dir irgendeinen Funktionsplotter und plotte dir
[mm] $h(x)=e^{5x}-8\,.$
[/mm]
2. Plotte Dir auch mal
[mm] $f(x)=e^x\,.$
[/mm]
3. Überlege Dir, dass [mm] $f\,$ [/mm] (aus 2.(!)) den Wertebereich (=Menge der TATSÄCHLICH
angenommenen Werte)
[mm] $]0,\,\infty[$
[/mm]
hat und injektiv ist (und der (maximale) Definitionsbereich [mm] ($\subseteq \IR$) [/mm] ist [mm] $\IR$).
[/mm]
4. Folgere (damit): Die Funktion
$h [mm] \colon \IR \to ]-8,\,\infty[$
[/mm]
mit
[mm] $h(x):=e^{5x}-8$
[/mm]
ist bijektiv.
5. Gib' (mit Deinen Berechnungen, die Du schon gemacht hattest) die
(bijektive) Umkehrfunktion
[mm] $h^{-1} \colon ]-8,\,\infty[ \to \IR$
[/mm]
konkret an.
Also mehr an *Anleitung* kann man nun fast nicht mehr geben...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Fr 24.10.2014 | | Autor: | BigBoy |
Kannst du mir nicht jetzt einfach Bildbereich und D Bereich sagen , dann gebe ich die Aufgabe einfach auf.
Aber trotzdem danke Leute.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Fr 24.10.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo BigBoy,
sei doch mal ein großer Junge, wie Dein Nick suggeriert - und mach die Aufgabe selbst fertig.
Wir sagen Dir gerne, ob die Lösung richtig ist. Wie Marcel schon sagt, mehr an Hilfe kann man nun wirklich nicht mehr geben. Im Endeffekt musst Du es doch selbst können, z.B. in der nächsten Klausur.
Was ist nun also der Wertebereich? Selbst denken macht schlau.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Fr 24.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kannst du mir nicht jetzt einfach Bildbereich und D Bereich
> sagen , dann gebe ich die Aufgabe einfach auf.
was ist denn das für ein Quatsch? Du kannst lesen, oder? Ich habe Dir
(denk drüber nach, was ich geschrieben habe) sowohl den (maximalen)
Definitionsbereich als auch den (dazugehörigen) Bildbereich schon hingeschrieben.
Und das wurde auch schon vorher mehrmals gemacht.
Was soll der Quatsch mit "Aufgabe aufgeben"? Du solltest eher mal anfangen,
die Aufgabe weiterzumachen... (es hat ja niemand gesagt, dass Deine
Rechnung anfangs unsinnig war...).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann ich das so sagen ,dass die Wertemenge nicht negativ
> sein darf?
>
> x+8 > -1
Du kannst nur lernen, deiner Verwirrungen zu entwirren, indem Du detailliert(er)
arbeitest:
Es war
$h(x)= [mm] e^{5x}-8\,.$
[/mm]
Der maximale Definitionsbereich, auf dem [mm] $h\,$ [/mm] injektiv ist, ist [mm] $\IR$ [/mm] (warum?).
Ich betrachte
$g [mm] \colon \IR \to \IR$
[/mm]
mit [mm] $g(x):=h(x)=e^{5x}-8\,.$
[/mm]
Dann ist
$h [mm] \colon \IR \to g(\IR)$
[/mm]
bijektiv. Es gibt also eine Umkehrfunktion
[mm] $h^{-1} \colon g(\IR) \to \IR\,.$
[/mm]
Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt also
$y=h(x) [mm] \in g(\IR)\,,.$
[/mm]
Daher ist für $y [mm] \in g(\IR)$
[/mm]
[mm] $x=h^{-1}(y) \in \IR\,.$
[/mm]
Der Definitionsbereich, den DieAcht ansprach, war allerdings nicht der von
[mm] $h\,,$ [/mm] sondern der von [mm] $h^{-1}\,.$ [/mm] Es wurde also von [mm] $g(\IR)$ [/mm] gesprochen, und
das solltest Du mal konkretisieren ( -> das ist hier möglich als Angabe eines
Intervalls).
Dass dabei dort "x" stand anstatt y, hat damit zu tun, dass Du da vorher
einen Rollentausch $x [mm] \longleftrightarrow [/mm] y$ durchgeführt hast, weil Du halt einfach lieber
eine Formel in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] als in der Variablen [mm] $y\,$ [/mm] sehen wolltest.
P.S. Ich hatte mir früher mal angewöhnt, bei
$f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$
bijektiv dann $x [mm] \in [/mm] D$ als [mm] $x_{\text{alt}}$ [/mm] und $f(x)=y$ als [mm] $y_{\text{alt}}$ [/mm] zu bezeichnen.
[mm] ($y_{\text{alt}}=f(x_{\text{alt}})$)
[/mm]
Es ist also [mm] $x_{\text{alt}} \in [/mm] D$ und [mm] $y_{\text{alt}} \in Z\,.$
[/mm]
Nach dem Rollentausch, also wenn ich [mm] $f^{-1} \colon [/mm] Z [mm] \to [/mm] D$ berechne, dann nenne ich
das Argument von [mm] $f^{-1}$ [/mm] dann [mm] $x_{\text{neu}}$ [/mm] und schreibe dann [mm] $y_{\text{neu}}=f^{-1}(x_{\text{neu}}) \in D\,.$ [/mm]
Das ist jetzt nicht supersauber, aber es hat den Vorteil, dass man sieht:
[mm] $\bullet$ $x_{\text{neu}}$ [/mm] spielt die Rolle von [mm] $y_{\text{alt}}$, [/mm] beide sind [mm] $\in [/mm] Z,$
[mm] $\bullet$ [/mm] bei [mm] $y_{\text{alt}}$ [/mm] ist das der Zielbereich der ("alten") Ausgangsfunktion [mm] $f\,,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] bei [mm] $x_{\text{neu}}$ [/mm] ist das der Definitionsbereich der ("neuen") (Umkehr-)Funktion [mm] $f^{-1}$
[/mm]
Analoges bzgl. [mm] $x_{\text{alt}}$ [/mm] und [mm] $y_{\text{neu}}$...
[/mm]
Dann hat man nämlich folgendes da stehen:
[mm] $y_{\text{alt}}=f(x_{\text{alt}})$ ($x_{\text{alt}} \in [/mm] D$, [mm] $y_{\text{alt}} \in [/mm] Z$)
Nun Rollentausch:
[mm] $x_{\text{neu}}=f(y_{\text{neu}})$ ($x_{\text{neu}} \in [/mm] Z$, [mm] $y_{\text{neu}} \in [/mm] D$)
und dann auflösen nach [mm] $y_{\text{neu}}$:
[/mm]
[mm] $y_{\text{neu}}=f^{-1}(x_{\text{neu}})$ ($x_{\text{neu}} \in [/mm] Z$, [mm] $y_{\text{neu}} \in [/mm] D$)
Gruß,
Marcel
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