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Salut!
Ich bin auf der Suche nach einer (stetigen) Umkehrfunktion zu folgender Abbildung (schlussendlich soll ein Homöomorphismus zwischen Ellipsoid und Würfeloberfläche dabei entstehen, die Abbildung von Ellipsoid auf Würfeloberfläche eines Einheitswürfels im I. Quadranten mit Eckpunkt (0,...,0) sollte untenstehende Funktion auch erfüllen, allerdings gelingt es mir nicht, die zugehörige Umkehrung aufzustellen):
[mm] f:\IR^{n+1} \to [0,1]^{n+1}
[/mm]
x [mm] \mapsto \bruch{x}{2*||x||}+\underbrace{(1/2, \ldots, 1/2)^{T}}_{n+1 Eintraege}
[/mm]
wo ||.|| = p-Norm
Gesucht: [mm] f^{-1} [/mm] sodass [mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] = x
Hat jemand von euch vielleicht eine Idee - die kritische Stelle ist für mich die Umkehrung der Normbildung. Gibt es dafür irgendeinen Trick/Tipp/Satz...?!
Auf jeden Fall bereits jetzt ein weiteres Mal: "Herzlichen Dank!".
À bientôt,
jeu blanc.
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Die Abbildungsrichtung scheint mir hier nicht ganz zu stimmen. Es ist doch so: Wenn [mm]\left\| \text{.} \right\|_2[/mm] die euklidische Norm und [mm]\left\| \text{.} \right\|_{\infty}[/mm] die Maximumnorm bezeichnen, so bildet doch
[mm]x \mapsto y = \frac{x}{\left\| x \right\|_2}[/mm]
den Würfel [mm]\left\| x \right\|_{\infty} = 1[/mm] auf die euklidische Einheitskugel [mm]\left\| y \right\|_2 = 1[/mm] ab, wohingegen
[mm]y \mapsto x = \frac{y}{\left\| y \right\|_{\infty}}[/mm]
das Umgekehrte tut. Und wenn du jetzt den Rand von [mm][0,1]^{n+1}[/mm] als Repräsentation für den Würfel nimmst, dann braucht man mit [mm]c[/mm] als dem Vektor aus lauter Einträgen [mm]\frac{1}{2}[/mm] die Abbildungen
[mm]x \mapsto y = \frac{x-c}{\left\| x-c \right\|_2}[/mm]
[mm]y \mapsto x = \frac{y}{2 \, \left\| y \right\|_{\infty}} + c[/mm]
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