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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Umkehrfunktion zu [mm] f(x)=\bruch{2x}{x^2+1}. [/mm] |
Gutentag,
es passiert mir recht häufig, dass ich beim Bestimmen einer Umkehrfunktion einen "Hänger" habe, weil ich einfach nicht weiß, wie man am besten vorgeht.
[mm]
y=\bruch{2x}{x^2+1}
\gdw y(x^2+1)=2x
\gdw x^2y+y=2x
\gdw y=2x-x^2y
[/mm]
Und schon weiß ich nicht weiter, da ich keine Idee hab, wie ich es jetzt hinkriege das x zu "isolieren". Aufgrund des [mm] x^2 [/mm] denke ich, dass die Umkehrfunktion eine Wurzel enthalten müsste, aber ich weiß nicht weiter... Gibt es irgendwelche Tricks wie man bei solchen Problemen am besten vorgeht?
mfg blacky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacky!
> [mm]\gdw x^2y+y=2x[/mm]
Bringe hier alles auf eine Seite der Gleichung (z.B. durch $- \ 2x$) und teile anschließend durch $y_$ .
Damit hast Du dann eine quadratische Gleichung in Normalform, die Du mit der  p/q-Formel lösen kannst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Blacky |
Danke loddar, ich habs mit ner quadratischen Ergänzung gemacht und es hat hingehaun :)
[mm] f^{-1}(y)=\wurzel{(\bruch{1}{y^2}-1)}+\bruch{1}{y}
[/mm]
So, ich glaube aber unser Lehrer hat einen Fehler bei der Mengenangabe gemacht. Er hat geschrieben:
[mm] f:[1;\infty[\to\IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{2x}{1+x^2}
[/mm]
Kann es sein, dass es heißen muss [mm] [1;\infty[\to]0;1] [/mm] ? Sonst kommt das mit der Umkehrfunktion glaub ich nich hin?! Denn wenn man einfach aus [mm] \IR [/mm] einsetzen dürfte, bekäme man fast immer etwas Negatives unter die Wurzel.
mfg blacky
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Hallo,
> Danke loddar, ich habs mit ner quadratischen Ergänzung
> gemacht und es hat hingehaun :)
>
> [mm]f^{-1}(y)=\wurzel{(\bruch{1}{y^2}-1)}+\bruch{1}{y}[/mm]
Super! Beachte aber, dass nach dem Umstellen die Variablen noch vertauscht werden, also [mm]f^{-1}(x)=\wurzel{(\bruch{1}{x^2}-1)}+\bruch{1}{x}[/mm]
>
> So, ich glaube aber unser Lehrer hat einen Fehler bei der
> Mengenangabe gemacht. Er hat geschrieben:
>
> [mm]f:[1;\infty[\to\IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{2x}{1+x^2}[/mm]
>
> Kann es sein, dass es heißen muss [mm][1;\infty[\to]0;1][/mm] ?
> Sonst kommt das mit der Umkehrfunktion glaub ich nich hin?!
> Denn wenn man einfach aus [mm]\IR[/mm] einsetzen dürfte, bekäme man
> fast immer etwas Negatives unter die Wurzel.
Richtig, der Wertebereich muss eingeschränkt werden. Beachte aber, dass man nur Werte aus [mm] -1\le x\le1 [/mm] einsetzen darf (Die 0 ausgenommen!). Sonst ist der Radikand immer <0.
>
> mfg blacky
Viele Grüße
Daniel
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