Umkehrfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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die Funktion lautet: [mm] ft(x)=(4e^x+5t)/(e^{2x}-t²)
[/mm]
Zu dieser Funktion soll die Umkehrfunktion gefunden werden. Und gesagt werden, für welchen Wert für t es eine Umkehrfunktion gibt.
Ich bin mir nicht sicher, ob mein Ergebnis stimmt.
Umkehrfunktion: y= ln ((/x*t²-5/4t)/(4-x))
Nur streng monotone Funktionen sind umkehrbar, aber ich weiß leider nicht für welche Werte t streng monoton ist???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
ich habe das mal durchgerechnet und geb dir meine Ergebnisse...
< ABLEITUNG >
aus der Ableitung folgt, dass nur für t [mm] \ge [/mm] 0 die Funktion f monoton fallend ist.
Klammere so viel wie möglich aus dem Zähler aus, und setze ihn gleich null. dann ersetze [mm] e^{x} [/mm] durch eine Variable z und löse die quadratische Gleichung auf.
Mein Ergebnis war [mm] z_{1} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] t, [mm] z_{2} [/mm] = - 2t
Wegen [mm] e^{x} [/mm] = z gibt es aber nur für t<0 Lösungen der Gleichungen, und somit nur für t<0 Vorzeichenwechsel der Ableitung [mm] f_{t}'.
[/mm]
< UMKEHRFUNKTION >
benutze für die Umkehrfunktion den gleichen Trick. Bring [mm] e^{2x} [/mm] und
[mm] e^{x} [/mm] auf eine Seite, ersetze [mm] e^{x} [/mm] durch z, und löse nach z auf.
Vor die Mitternachtsformel setzt du dann nur noch ein "ln" und hast die
Funktion x(y). Es gibt sogar zwei, ich hab's mit der "Plus-Variante"
nachgerechnet und es hat gepaßt.
< LÖSUNGEN >
Ich geb dir mal meine Lösungen für die Ableitung und die Umkehrfunktion als Formel...
[mm] f_{t}' [/mm] = [mm] -2e^{x} \bruch{2e^{2x}+5te^{x}+2t^{2}}{(e^{2x}-t^{2})^{2}}
[/mm]
x(y) = ln ( [mm] \bruch{2+\wurzel{4+y^{2}t^{2}+5yt}}{y} [/mm] )
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Hi!
Danke erstmal für deine Bemühungen,
aber ist denn mein Ergebnis falsch? Ich habe erst ft(x) nach x aufgelöst und dann x mit y vertauscht!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Rasputinchen,
> Hi!
> Danke erstmal für deine Bemühungen,
> aber ist denn mein Ergebnis falsch? Ich habe erst ft(x)
> nach x aufgelöst und dann x mit y vertauscht!
Ich habe nach deinem Verfahren gerechnet und bin zu demselben Ergebnis wie BertanARG gekommen. Bei deiner Rechnung ist demnach ein Fehler. Ich kann aber nicht angeben, wo er steckt, dazu müsstest du die konkrete Rechnung angeben.
Gruß Sigrid
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Also meine Rechnung:
ft(x) nach x aufgelöst:
[mm] y=(4e^x+5t)/(e^x-t²) /*(e^x-t²)
[/mm]
[mm] y(e^x-t²)=4e^x+5t [/mm] /-5t
[mm] ye^x-yt²-5t=4e^x /-ye^x
[/mm]
[mm] -yt²-5t=4e^x-ye^x
[/mm]
[mm] -y^t²-5t=e^x(4-y) [/mm] //(4-y)
[mm] (-yt²-5t)7(4-y)=e^x
[/mm]
ln((-yt²-5t)7(4-y))=x
Dann habe ich x und y vertauscht und dachte, das sei meine Umkehrfunktion.
Also dann: y=ln((-xt²-5t)/(4-x))
Sonst kannst du mir auch die ausführlioche Rechnung geben, da ich mit der Antwort von BertanARG nicht sehr viel anfangen konnte. Zumindest mit dem Teil mit der Umkehrfunktion.
Das wäre sehr nett, da ich mich nicht so gut damit zurecht finden kann mit Umkehrfunktionen!
DANKE!!!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 So 05.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Rasputinchen,
> Also meine Rechnung:
> ft(x) nach x aufgelöst:
> [mm]y=(4e^x+5t)/(e^x-t²) /*(e^x-t²)[/mm]
> [mm]y(e^x-t²)=4e^x+5t[/mm] /-5t
> [mm]ye^x-yt²-5t=4e^x /-ye^x[/mm]
> [mm]-yt²-5t=4e^x-ye^x[/mm]
> [mm]-y^t²-5t=e^x(4-y)[/mm] //(4-y)
> [mm](-yt²-5t)/(4-y)=e^x[/mm]
> ln((-yt²-5t)/(4-y))=x
> Dann habe ich x und y vertauscht und dachte, das sei meine
> Umkehrfunktion.
> Also dann: y=ln((-xt²-5t)/(4-x))
Deine Umrechnung an sich ist absolut OK, ABER ...
In Deiner Aufgabenstellung ganz oben steht im Nenner der Ursprungsfunktion ein [mm] $e^{2x}$, [/mm] während in Deiner Rechnung "nur" ein [mm] $e^x$ [/mm] vorhanden ist.
[mm]y=\bruch{4e^x+5t}{e^{2x}-t²} /*(e^{2x}-t²)[/mm]
[mm]y * (e^{2x}-t²) = 4e^x+5t[/mm] /-5t
[mm]y*e^{2x} - yt² - 5t = 4e^x /-4e^x[/mm]
[mm]y*e^{2x} -4e^x - yt² - 5t = 0 [/mm]
Substitution $ z:= [mm] e^x$ [/mm] ergibt:
[mm]y*z^2 - 4z - yt² - 5t = 0 [/mm]
Nun erst durch y teilen und dann mit p/q-Formel auflösen und ganz am Ende auf beiden Seiten den ln anwenden (wegen $z= [mm] e^x \gdw [/mm] x=lnz$).
Damit erreichst Du dann das o.g. Ergebnis von BertanARG.
Ich hoffe, nun ist Dir etwas klarer ...
Grüße + ein schönen Sonntag
Loddar
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Hi,
entschuldige, aber ich habe es immer noch nicht verstanden. Bis zur Substitution verstehe ich den Rechenweg, aber wie geht es dann weiter. Ich kann doch nicht durch y teilen. Ich habe es wirklich versucht, aber ich komme nicht weiter! Kannst du mir das nochmal in kleinen Schritten erklären, ab der Substitution? Ist echt wichtig für mich!
Vielen Dank im Voraus!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 So 05.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rasputinchen,
habe Dir die Umformungen unter Deiner neuen Frage erläutert:
Click it: Umformung
LG Loddar
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