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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm] f:\IR\backslash [/mm] {-2} [mm] \to \IR [/mm] mit f(x):= [mm] \bruch{3x-1}{x+2}
[/mm]
Begründen Sie warum die Umkehrfunktion dieser Funktion nicht gebildet werden kann. Ändern Sie die Funktion so ab, dass sie bei unveränderter Funktionsvorschrift invertierbar ist und geben sie zu dieser neu entstandenen Funktion die Umkehrfunktion an. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe, weiß ich wiedermal nicht, ob mein Lösungsweg stimmt.
Ich hab zunächst mal versucht die Umkehrfunktion einfach zu bilden:
y= [mm] \bruch{3x-1}{x+2}| [/mm] *(x+2)
[mm] \gdw [/mm] y*(x+2) = 3x-1
[mm] \gdw [/mm] yx+2y = 3x-1| -yx
[mm] \gdw [/mm] 2y = 3x-1-yx| +1
[mm] \gdw [/mm] 2y+1=3x-yx
[mm] \gdw [/mm] 2y+1=x*(3-y)| :(3-y)
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] \bruch{2y+1}{3-y}
[/mm]
Nun hab ich mir überlegt, weil 3-y im Nenner steht, darf y nicht 3 werden. In der Funktionsvorschrift steht aber lediglich [mm] \IR\backslash [/mm] {-2}.
Aus diesem Grund kann man die Umkehrfunktion nicht bilden.
Für die neue Funktion hab ich mir überlegt muss der Nenner -2-y werden.
Darauf aufbauend ist meine neue Funktion dann: f(x):= [mm] \bruch{-2x-1}{x+2}
[/mm]
Davon hab ich dann nun die Umkehrfunktion gebildert:
y= [mm] \bruch{-2x-1}{x+2}| [/mm] *(x+2)
[mm] \gdw [/mm] y*(x+2) = -2x-1
[mm] \gdw [/mm] yx+2y = -2x-1| -yx
[mm] \gdw [/mm] 2y = -2x-1-yx| +1
[mm] \gdw [/mm] 2y+1=-2x-yx
[mm] \gdw [/mm] 2y+1=x*(-2-y)| :(-2-y)
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] \bruch{2y+1}{-2-y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{2x+1}{-2-x}
[/mm]
So, kann das jemand bitte korrigieren?
Vielen Dank im voraus.
Gruß,
mvs
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Dein Vorgehen entspricht nicht der Aufgabenstellung. Denn die Funktionsvorschrift sollte gerade nicht geändert werden. Du mußt also etwas anderes ändern.
Am Anfang sagst du, daß [mm]y = 3[/mm] nicht zulässig ist. Eben.
Und, bezogen auf die Ausgangsfunktion, zu welchem Bereich (Definitionsbereich/Wertebereich) gehören die [mm]y[/mm]-Werte?
Die Rechnung selbst scheint zu stimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo Leopold_Gast, danke für deine Antwort.
Neuer Lösungsvorschlag sieht so nun aus:
y= $ [mm] \bruch{3x-1}{x+2}| [/mm] $ *(x+2)
$ [mm] \gdw [/mm] $ y*(x+2) = 3x-1
$ [mm] \gdw [/mm] $ yx+2y = 3x-1| -yx
$ [mm] \gdw [/mm] $ 2y = 3x-1-yx| +1
$ [mm] \gdw [/mm] $ 2y+1=3x-yx
$ [mm] \gdw [/mm] $ 2y+1=x*(3-y)| :(3-y), [mm] y\not=3 [/mm] , aber $ [mm] f:\IR\backslash [/mm] $ {-2}
[mm] \Rightarrow [/mm] Umkehrfunktion kann nicht gebildet werden.
Änderung:
$ [mm] f:\IR\backslash [/mm] $ {-2,3} $ [mm] \to \IR [/mm] $ mit f(x):= $ [mm] \bruch{3x-1}{x+2} [/mm] $
Umkehrfunktion:
2y+1=x*(3-y)| :(3-y), [mm] y\not=3
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= $ [mm] \bruch{2y+1}{3-y} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow f^{-1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2x+1}{3-x} [/mm] $
stimmts jetzt?
Gruß,
mvs
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Wäre die Funktion umkehrbar, dann müßte die Menge [mm]\mathbb{R} \setminus \{ -2 \}[/mm] bijektiv auf die Menge [mm]\mathbb{R}[/mm] abgebildet werden. Es heißt nämlich in der Aufgabe
[mm]f: \ \mathbb{R} \setminus \{ -2 \} \to \mathbb{R} \, , \ \ldots [/mm]
Dem ist aber nicht so, denn [mm]f[/mm] ist nicht surjektiv, da der Wert [mm]y=3[/mm] nicht angenommen wird.
Mit einer kleinen Abänderung wird die Funktion jedoch surjektiv. Es ist allerdings nicht die von mvs vorgenommene.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 15.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Wäre die Funktion umkehrbar, dann müßte die Menge
> [mm]\mathbb{R} \setminus \{ -2 \}[/mm] bijektiv auf die Menge
> [mm]\mathbb{R}[/mm] abgebildet werden. Es heißt nämlich in der
> Aufgabe
>
> [mm]f: \ \mathbb{R} \setminus \{ -2 \} \to \mathbb{R} \, , \ \ldots[/mm]
>
Fragen wir mal anders herum: Existiert diese Funktion überhaupt? Es ist ja mit dieser Vorschrift gar nicht möglich [mm] \mathbb{R} \setminus \{ -2 \} [/mm] auf ganz [mm] \mathbb{R} [/mm] abzubilden.
Gruß Abakus
> Dem ist aber nicht so, denn [mm]f[/mm] ist nicht surjektiv, da der
> Wert [mm]y=3[/mm] nicht angenommen wird.
> Mit einer kleinen Abänderung wird die Funktion jedoch
> surjektiv. Es ist allerdings nicht die von mvs
> vorgenommene.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mi 15.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Das wird aber normalerweise nicht als die Angabe des Wertebereichs verstanden, sondern nur als der Bereich, von dem der Wertebereich eine Teilmenge ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
seit mir nun nicht böse, aber ich hab nun komplett den Überblick verloren und versteh nur noch Bahnhof. Wenn ihr schon als Profis bei der Aufgabe diskutiert, dann komme ich nie im Leben als Laie darauf. Ich lass die Aufgabe einfach weg. Trotzdem danke für die Unterstützung. Sollte es ne Lösung nun geben und sie jemand postet, schau ich mir sie natürlich an.
Gruß,
mvs
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mi 15.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Ja, lass sie weg, weil sie unsinnig gestellt ist. Du kannst sie auch in eine sinnvolle Aufgabe verwandeln, indem Du den Nenner einklammerst und quadrierst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mi 15.09.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
aus meiner Sicht ist die Aufgabenstellung Unfug.
Funktion:
Jedem Element des Definitionsbereichs wird genau ein Element des Wertebereichs zugeordnet.
Umkehrfunktion:
Jedem Element des bisherigen Wertebereichs wird genau ein Element des bisherigen Definitionsbereichs zugeordet.
Da der bisherige Wertebereich die Zahl 3 ausdrücklich nicht enthielt, kann man beim Umkehren der Funktion also nicht mal auf die Idee kommen, jetzt auch der Zahl 3 einen Wert zuordnen zu wollen.
Das Umkehren einer Funktion beinhaltet nicht nur eine formale Umstellung nach x mit anschließendem Tausch von x und y, sondern auch einen Tausch von Definitions- und Wertebereich.
Somit ist die gegebene Funktion umkehrbar.
Gruß Abakus
PS: Erbitte Rückmeldung dazu von Mitgliedern, die hier theoretisch sattelfest sind und nicht nur aus dem Bauch heraus argumentieren. Ich lasse mich gern berichtigen...
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hab die Aufgabenstellung nun noch einmal verglichen. Ich hab die Aufgabenstellung korrekt abgetippt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mi 15.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hab die Aufgabenstellung nun noch einmal verglichen. Ich
> hab die Aufgabenstellung korrekt abgetippt.
Hallo mvs,
bleibe bitte ganz entspannt. Meine Bemerkung ging nicht gegen dich, sondern gegen die Aufgabensteller.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
bin ganz entspannt, und war keineswegs bös gemeint, ich hab halt nur nochmal nachgeschaut, nicht dass ich was falsch abgetippt habe und deswegen hier Missverständnisse auftreten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mi 15.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich schließe mich der Meinung von Abakus an. Wenn es bei der Funktion zwei Stellen aus dem Definitionsbereich gäbe, zu denen jeweils der gleiche Funktionswert gehört, dann wäre sie nicht umkehrbar. Dann könnte man den Definitionsbereich so weit einschränken, dass nur noch ein eineindeutiger Anteil übrig bleibt und zu diesem die Umkehrfunktion angeben. So etwas wäre der Fall, wenn der ganze Nenner noch mit einem Quadrat verziert wäre.
So wie sie dasteht, ist sie ohne wenn und aber umkehrbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
bins nun nochmal durchgegangen und hab ne Idee.
Du hast ja geschrieben, zu was die y-Werte gehören.
Nun hab ich es so geschrieben:
[mm] f:\IR\backslash [/mm] {-2} [mm] \to \IR \backslash [/mm] {3} mit f(x):= [mm] \bruch{3x-1}{x+2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mi 15.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Mein Kommentar gilt weiterhin: Lass sie weg oder ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
dann lass ich sie weg.
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