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| Aufgabe | [mm] f:\mathbb{R}->\mathbb{R} [/mm] mit [mm] f(x)=x^3
[/mm]
Untersuchen Sie, wo die Umkehrfunktion von f differenzierbar ist (kein Nachweis erforderlich, dass f bijektiv ist). |
Hallo Leute,
ich muss erst in einem späteren Aufgabenteil die Umkehrfunktion berechnen, aber wie untersuche ich die Differenzierbarkeit ohne diese vorher zu berechnen?
Leider fällt mir da kein Lösungsweg ein, aber vielleicht jemandem von Euch. 
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> [mm]f:\mathbb{R}->\mathbb{R}[/mm] mit [mm]f(x)=x^3[/mm]
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> Untersuchen Sie, wo die Umkehrfunktion von f
> differenzierbar ist (kein Nachweis erforderlich, dass f
> bijektiv ist).
> Hallo Leute,
> ich muss erst in einer späteren Umkehrfunktion berechnen,
> aber wie untersuche ich die Differenzierbarkeit ohne diese
> vorher zu berechnen?
> Leider fällt mir da kein Lösungsweg ein, aber vielleicht
> jemandem von Euch.
Wie so oft bei solchen Aufgaben wäre es gut gewesen, du hättest angedeutet, was alles zur Argumentation herangezogen werden darf. Man muss sonst unm ittelbar und dauerhaft am akademischen betrieb teilnehmen, um die für dich passende Antwort zu finden. Antworten fallen mir hier mehrere ein.
Nachdem ja von Differenzierbarkeit schon die Rede ist gehe ich mal davon aus, dass der Begriff der Ableitung eingeführt ist. Was weißt du denn darüber, wie sich die Schaubilder von Funktion und Umkehrfunktion im Falle von Funktionen des Typs y=f(x) im Kordinatensystem zueinander verhalten? Aus diesem Wissen kann man die Antwort sozusagen sofort per Hüftschuss geben, die Frage ist dann nur noch, welche formale Strenge beim Aufschrieb verlangt wird.
Schau die mal den Koordinatenursprung etwas näher an...
GRuß, Diophant
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Hallo,
unser Übungsleiter hat uns mal gezeigt, dass man aus einem Funktionsgraphen auch den Graphen der Umkehrfunktion ableiten kann. Leider habe ich damals aber nicht verstanden, wie er von dem alten Graphen einfach auf den neuen gekommen ist. Die Ableitung wurde bereits eingeführt.
Wenn ich zum Zeitpunkt dieses Aufgabenteils die Umkehrfunktion schon kennen würde, wäre mir intuitiv klar, dass man die Null ausschließen muss, aber woher weiß ich das schon bei dem normalen Funktionsgraphen??
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Wenn ich zum Zeitpunkt dieses Aufgabenteils die
> Umkehrfunktion schon kennen würde, wäre mir intuitiv
> klar, dass man die Null ausschließen muss, aber woher
> weiß ich das schon bei dem normalen Funktionsgraphen??
Umkehrbarkeit mal vorausgesetzt entsteht die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion einer Funktion f durch Auflösen der Gleichung x=f(y) nach y. Das legt unmittelbar nahe, dass die beiden Graphen bezüglich der ersten Winkelhalbierenden y=x symmetrsich liegen*. Und von da ist es nur noch ein klitzekleiner Schritt bis zur vollständigen Argumentation.
*Lernt man das heutzutage nicht mehr in der Schule?
Gruß, Diophant
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Also eine Umkehrfunktion zu bestimmen lernt man in der Schule natürlich (Sekundarstufe 1), aber das mit dem Graphen war vorher noch nicht für mich bekannt.
Ich kann aus dem Funktionsgraphen auf jeden Fall nicht erkennen, dass die Umkehrfunktion nur von [mm] (0,\infty) [/mm] definiert ist und deshalb auch dort nur differenzierbar. :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Do 28.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Wie sieht denn Dein Graph zu $f(x) = [mm] x^3$ [/mm] aus? Den kannst Du auch mit drei Sätzen beschreiben.
Dann spiegelst Du den an der Winkelhalbierenden des 1. Quadraten und schon hast Du den Graphen der Umkerhfunktion. Wo Du dann hinsehen sollst, wurde schon geschrieben.
> ...
> Ich kann aus dem Funktionsgraphen auf jeden Fall nicht
> erkennen, dass die Umkehrfunktion nur von [mm](0,\infty)[/mm]
> definiert ist und deshalb auch dort nur differenzierbar.
Kann ich auch nicht. Wie kommst Du auf das komische Intervall?
ok, ein wenig mit dem Holzhammer: wie groß ist die Ableitung von f(x) an der Stelle x=0? Zeichne die Tangente ein.
Was passiert, wenn Du den Graphen wie beschrieben spiegelst?
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>>Wie sieht denn Dein Graph zu $ f(x) = [mm] x^3 [/mm] $ aus? Den kannst Du auch mit drei Sätzen beschreiben.
Der Graph verläuft durch den Ursprung und er ist punktsymmetrisch. Dazu fällt mir eigentlich nicht mehr ein. Wenn ich an der Winkelhalbierenden spiegel, komme ich tatsächlich auf den Graphen der Umkehrfunktion, aber woher wüsste ich jetzt bei dem von [mm] x^3, [/mm] dass die Umkehrfunktion nur für reele Zahlen definiert ist. Man könnte es ja auch fälschlicherweise im negativen Bereich an der Winkelhalbierenden spiegeln?
>>Kann ich auch nicht. Wie kommst Du auf das komische Intervall?
Also ich meine natürlich [mm] [0,\infty) [/mm] wegen der Wurzel.
>>ok, ein wenig mit dem Holzhammer: wie groß ist die Ableitung von f(x) an der Stelle x=0? Zeichne die Tangente ein.
Die Ableitung wäre wohl [mm] 3x^2 [/mm] und dann an der Stelle x=0 wohl auch Null. Also verläuft die Tangente parallel zur x-Achse.
Wenn ich das an der Winkelhalbierenden spiegeln würde, hätte ich um eine 90 Grad gedrehte Parabel entlang der x-Achse.
Ich hatte gedacht, dass die Winkelhalbierende sozusagen eine Linie durch die Häfte des Funktionsgraphen ist, aber es ist immer die gleiche in 45° zur x-Achse oder?
Das hat nämlich jetzt einiges geändert.
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Fr 29.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> >>Wie sieht denn Dein Graph zu [mm]f(x) = x^3[/mm] aus? Den kannst
> Du auch mit drei Sätzen beschreiben.
>
> Der Graph verläuft durch den Ursprung und er ist
> punktsymmetrisch. Dazu fällt mir eigentlich nicht mehr
> ein. Wenn ich an der Winkelhalbierenden spiegel, komme ich
> tatsächlich auf den Graphen der Umkehrfunktion, aber woher
> wüsste ich jetzt bei dem von [mm]x^3,[/mm] dass die Umkehrfunktion
> nur für reele Zahlen definiert ist.
Wieso das?
Aus [mm] y=x^{3} [/mm] folgt doch, dass [mm] y=\sqrt[3]{x}
[/mm]
> Man könnte es ja auch
> fälschlicherweise im negativen Bereich an der
> Winkelhalbierenden spiegeln?
Du meinst im 3. Quadranten?
>
> >>Kann ich auch nicht. Wie kommst Du auf das komische
> Intervall?
>
> Also ich meine natürlich [mm][0,\infty)[/mm] wegen der Wurzel.
Ok.
>
> >>ok, ein wenig mit dem Holzhammer: wie groß ist die
> Ableitung von f(x) an der Stelle x=0? Zeichne die Tangente
> ein.
>
> Die Ableitung wäre wohl [mm]3x^2[/mm] und dann an der Stelle x=0
> wohl auch Null. Also verläuft die Tangente parallel zur
> x-Achse.
Ok.
>
> Wenn ich das an der Winkelhalbierenden spiegeln würde,
> hätte ich um eine 90 Grad gedrehte Parabel entlang der
> x-Achse.
Und dann hast du bei x=0 eine senkrechte Tangente.
Und eine senkrechte Gerade ist keine Funktion.
>
> Ich hatte gedacht, dass die Winkelhalbierende sozusagen
> eine Linie durch die Häfte des Funktionsgraphen ist, aber
> es ist immer die gleiche in 45° zur x-Achse oder?
Im Koordinatensystem gibt es zwei Winkelhalbierende, nämlich dei Geraden y=x und y=-x
Dazu schau auch mal ![[]](/images/popup.gif) hier
> Das hat nämlich jetzt einiges geändert.
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 Fr 29.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Hallo,
> >>Wie sieht denn Dein Graph zu $ f(x) = [mm] x^3 [/mm] $ aus? Den kannst
> Du auch mit drei Sätzen beschreiben.
>
> Der Graph verläuft durch den Ursprung und er ist
> punktsymmetrisch. Dazu fällt mir eigentlich nicht mehr
> ein. Wenn ich an der Winkelhalbierenden spiegel, komme ich
> tatsächlich auf den Graphen der Umkehrfunktion, aber woher
> wüsste ich jetzt bei dem von $ [mm] x^3, [/mm] $ dass die Umkehrfunktion
> nur für reele Zahlen definiert ist.
>>Wieso das?
>>Aus $ [mm] y=x^{3} [/mm] $ folgt doch, dass $ [mm] y=\sqrt[3]{x} [/mm] $
Also ich meinte mit reelen Zahlen natürlich [mm] [0,\infty), [/mm] da hatte ich mich verschrieben.
Jetzt ist mir das auch klar und mit der senkrechten Geraden auch verständlich. Das reicht auch dann als Begründung vermute ich.
Vielen Dank an alle Helfer!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:26 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also eine Umkehrfunktion zu bestimmen lernt man in der
> Schule natürlich (Sekundarstufe 1), aber das mit dem
> Graphen war vorher noch nicht für mich bekannt.
dann darf ich Dir dazu ein paar Worte ergänzen, denn eigentlich kann man
sich das herleiten:
Sei $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ bijektiv. (Wenn $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] injektiv ist, dann ersetzt
Du nur [mm] $\IR$ [/mm] durch [mm] $f(D)\,$ [/mm] und das neue [mm] $f\,$ [/mm] wird dann bijektiv.)
Was ist der Graph, also das, was man meist skizziert? Na, das ist die
folgende Teilmenge
[mm] ($\*$) $\text{Graph}_f:=G_f:=\{(x,y) \in D \times Z:\;\;y=f(x);\;\; x \in D\}=\{(x,f(x)):\;\;x \in D\}$
[/mm]
des (kartesischen) [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
Jetzt betrachte [mm] $g:=f^{-1}\,,$ [/mm] also insbesondere ist
$g [mm] \colon [/mm] Z [mm] \to D\,.$
[/mm]
Dann gilt für den Graphen
[mm] $G_g=\{(\tilde{x},g(\tilde{x})) \in Z \times D:\;\; \tilde{x} \in Z\}\,.$
[/mm]
Für [mm] $\tilde{x} \in [/mm] Z$ gibt es aber genau ein $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $f(x)=\tilde{x}$ ($\iff$ $x=g(\tilde{x})$), [/mm]
überlege Dir, dass damit folgt
[mm] ($\*\*$) $G_g=\{(f(x),x):\;\;x \in D\}\,.$
[/mm]
Vergleiche [mm] ($\*$) [/mm] mit [mm] ($\*\*$).
[/mm]
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So, jetzt mal eine weniger formale Herleitung: Gegeben sei [mm] $f\,$ [/mm] wie oben.
Betrachte den Punkt
[mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] bzw. [mm] $(x_0,f(x_0))$
[/mm]
des Graphen von [mm] $f\,.$ [/mm] Dieser erfüllt ja gerade
[mm] $y_0=f(x_0)\,.$
[/mm]
Diese Gleichung kannst Du nach [mm] $x_0$ [/mm] auflösen:
[mm] $x_0=f^{-1}(y_0)\,.$
[/mm]
Die Variable bzgl. [mm] $f^{-1}$ [/mm] heißt nun aber [mm] $y_0\,,$ [/mm] d.h., der entsprechende
Punkt des Graphen von [mm] $f^{-1}$ [/mm] sieht so aus:
[mm] $(y_0,f^{-1}(y_0))\,.$
[/mm]
Nun war [mm] $y_0=f(x_0)\,,$ [/mm] und es ist [mm] $f^{-1}(y_0)=x_0\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $(f(x_0),x_0)$ [/mm] bzw. [mm] $(y_0,x_0)$
[/mm]
ist der Punkt des Graphen von [mm] $f^{-1}\,,$ [/mm] gebildet mit dem Ausgangspunkt
[mm] $(x_0,y_0)=(x_0,f(x_0))\,.$
[/mm]
Zusammengefasst:
Für jeden Punkt
$(x,y)=(x,f(x)) [mm] \in G_f$
[/mm]
des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] findet man "seinen zugehörigen" Punkt des Graphen
der Umkehrfunktion, indem man die [mm] $x\,$-Koordinate [/mm] gegen die [mm] $y\,$-Koordinate
[/mm]
vertauscht:
$(y,x)=(f(x),x) [mm] \in G_{f^{-1}}\,.$
[/mm]
Jetzt überlege Dir mal, welche Bedeutung der Punkt
[mm] $\frac{1}{2}*(\;\;(x,y)+(y,x)\;\;)=\frac{1}{2}(x+y,\;y+x)$
[/mm]
bzgl.
[mm] $D:=\{(r,r):\;\;r \in \IR\}$ [/mm] (45° Ursprungsgerade im kartesischen [mm] $\IR^2$!)
[/mm]
hat.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:38 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S. Ergänzend: Betrachte ruhig mal $f [mm] \colon [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2\,.$
[/mm]
Suche die "bzgl. [mm] $f^{-1}$ [/mm] korrespondierenden Punkte" zu
$(1,1) [mm] \in G_f\,,$
[/mm]
$(2,4) [mm] \in G_f\,,$
[/mm]
$(3,9) [mm] \in G_f\,.$
[/mm]
Mache das wie folgt: Wenn [mm] $(x_0,y_0) \in G_f\,,$ [/mm] dann trage neben [mm] $P_1=(x_0,y_0)$ [/mm] auch
den Punkt [mm] $P_2=(y_0,x_0)$ [/mm] in den kartesischen [mm] $\IR^2$ [/mm] ab. Verbinde danach
[mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] und halbiere diese Verbindungsstrecke. Dieser Punkt
liegt auf der Diagonalen.
Übrigens, umgekehrt: Was passiert mit einem Punkt [mm] $(x_0,y_0)\,,$ [/mm] wenn Du ihn
bzgl. der (erwähnten 45° Ursprungs-)Diagonalen spiegelst?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Fr 29.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Aufgrund der Aufgabenstellung vermute ich, dass Ihr in der Vorlesung folgenden Satz hattet:
SATZ: I und J seien Intervalle in [mm] \IR, [/mm] es sei f:I [mm] \to [/mm] J bijektiv und differenzierbar. Ist dann [mm] x_0 \in [/mm] I und [mm] f'(x_0) \ne [/mm] 0, so ist
[mm] f^{-1}:J \to [/mm] I differnzierbar in [mm] y_0=f(x_0) [/mm] und ( [mm] f^{-1})'(y_0)=\bruch{1}{f'(x_0)}.
[/mm]
So, nun zu Deiner Aufgabe. Dort haben wir [mm] I=J=\IR [/mm] und [mm] f(x)=x^3. [/mm] Klar dürfte sein, das f bijektiv ist. Da ich schreibfaul bin schreibe ich im Folgenden g statt [mm] f^{-1}, [/mm] also g: [mm] \IR \to \IR.
[/mm]
Nun wollen wir g auf Differenzierbarkeit untersuchen. Dazu sei [mm] y_0 \in \IR. [/mm] Dann gibt es genau ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit [mm] x_0^3=f(x_0)=y_0, [/mm] also [mm] x_0=g(y_0).
[/mm]
Fall 1: [mm] y_0 \ne [/mm] 0. Dann ist auch [mm] x_0 \ne [/mm] 0 und es ist [mm] f'(x_0)=3x_0^2 \ne [/mm] 0.
Nach obigem Satz ist g differenzierbar in [mm] y_0.
[/mm]
Fall 2: [mm] y_0=0. [/mm] Dann ist [mm] x_0=0, [/mm] also [mm] f'(x_0)=0. [/mm] Obiger Satz hilft uns also nicht weiter.
Dann machen wir eben zu Fuß weiter: dazu nehmen wir uns eine Folge [mm] (y_n) [/mm] in [mm] \IR \setminus \{0\} [/mm] her mit der Eigenschaft [mm] y_n \to y_0=0 [/mm] und betrachten den Differenzenquotienten
[mm] \bruch{g(y_n)-g(y_0)}{y_n-y_0}.
[/mm]
Setzen wir [mm] x_n:=g(y_n), [/mm] so ist jedes [mm] x_n \ne [/mm] 0, es ist [mm] y_n=f(x_n)=x_n^3 [/mm] und damit
[mm] |x_n|^3=|y_n| [/mm] für jeds n [mm] \in \IN.
[/mm]
Somit haben wir: [mm] |x_n|= \wurzel[3]{|y_n|} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Fazit: [mm] (x_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
Also bekommen wir
[mm] \bruch{g(y_n)-g(y_0)}{y_n-y_0}= \bruch{g(y_n)}{y_n}= \bruch{x_n}{x_n^3}= \bruch{1}{x_n^2}.
[/mm]
Da [mm] (x_n) [/mm] eine Nullfolge ist, hat die Folge der Quotienten [mm] (\bruch{g(y_n)-g(y_0)}{y_n-y_0}) [/mm] keinen Grenzwert in [mm] \IR.
[/mm]
Damit ist g in [mm] y_0=0 [/mm] nicht differenzierbar.
Du siehst also, dass Du die Umkehrfunktion gar nicht berechnen mußt, um ihre Differenzierbarkeitseigenschaften zu erkennen.
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Sa 30.11.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Vielen Dank fürs Aufzeigen dieses Lösungsweges!
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