Umkehrfunktion Ableitung, MWS < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | 1. Betrachen Sie die Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, f(x)=x^2+2x+3. [/mm] Zeigen Sie, dass f bijektiv ist und [mm] f^{-1} [/mm] differenzierbar ist. Bestimmen Sie ferner die Ableitung von [mm] f^{-1} [/mm] in x=0. |
Habe 3 verschiedene Aufgaben zu dem Thema, beginne mit der hier.
Zuerst will ich zeigen, dass f bijektiv, also surjektiv und injektiv ist.
FÜr Injektivität muss ich zeigen, dass für alle x,x' [mm] \in \IR [/mm] gilt:
f(x)=f(x')=>x=x' ist.
[mm] f(x)=f(x')<=>x^2+2x+3=x'^2+2x'+3<=>x^2+2x=x'^2+2x'
[/mm]
Bei hängt es hier leider schon, haben dies nie so ausführlich besprochen, bräuchte mal etwas Hilfe bitte.
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Hallo hubbel,
> 1. Betrachen Sie die Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR, f(x)=x^2+2x+3.[/mm]
> Zeigen Sie, dass f bijektiv ist und [mm]f^{-1}[/mm] differenzierbar
> ist. Bestimmen Sie ferner die Ableitung von [mm]f^{-1}[/mm] in x=0.
> Habe 3 verschiedene Aufgaben zu dem Thema, beginne mit der
> hier.
>
> Zuerst will ich zeigen, dass f bijektiv, also surjektiv und
> injektiv ist.
>
> FÜr Injektivität muss ich zeigen, dass für alle x,x' [mm]\in \IR[/mm]
> gilt:
>
> f(x)=f(x')=>x=x' ist.
>
> [mm]f(x)=f(x')<=>x^2+2x+3=x'^2+2x'+3<=>x^2+2x=x'^2+2x'[/mm]
>
Forme die Gleichung so um, daß die Form "=0" erreicht wird.
Klammere dann gemeinsame Faktoren aus.
> Bei hängt es hier leider schon, haben dies nie so
> ausführlich besprochen, bräuchte mal etwas Hilfe bitte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ah, du meinst sicherlich so:
[mm] x^2+2x-x'^2-2x'=0<=>(x^2-x'^2)+2(x-x')=0<=>((x-x')*(x+x'))+2(x-x')=0<=>x+x'=-2<=>x=-x'-2
[/mm]
Muss da am Ende nicht x=x' stehen? Oder gilt Injektivität auch so?
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Hallo hubbel,
> Ah, du meinst sicherlich so:
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> [mm]x^2+2x-x'^2-2x'=0<=>(x^2-x'^2)+2(x-x')=0<=>((x-x')*(x+x'))+2(x-x')=0<=>x+x'=-2<=>x=-x'-2[/mm]
>
> Muss da am Ende nicht x=x' stehen? Oder gilt Injektivität
> auch so?
Nein, die Injektivität gilt nicht "auch so".
Da es hier 2 mögliche Lösungen gibt, ist die Funktion nicht injektiv.
Es sei denn, der Definitiionsbereich der Funktion wird eingeschränkt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Dann ist doch die gesamte Aufgabe nicht machbar, da ich ja auch keine Umkehrfunktion finden kann.
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Hallo hubbel,
> Dann ist doch die gesamte Aufgabe nicht machbar, da ich ja
> auch keine Umkehrfunktion finden kann.
Auf ganz [mm]\IR[/mm] wirst du keine UKF finden können, da musst du schon den Definitions- und Wertebereich geeignet einschränken.
Wie schon erkannt, ist die Funktion auf [mm]\IR[/mm] nicht injektiv, etwa [mm]f(0)=f(-2)=3[/mm] - hier müsstest du den Definitionsbereich einschränken, um [mm]f[/mm] "injektiv zu machen"
Surjektiv ist sie auch nicht, denn etwa zu [mm]y=0[/mm] gibt es kein [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]f(x)=0[/mm] - hier müsstest du entspr. den Zielbereich einschränken, um Surjektivität zu bekommen ...
So, wie die Aufgabe gestellt ist, ist sie nicht lösbar.
Wie sähe denn eine entsprechende Einschränkung aus?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich würde sagen, wenn f: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Di 20.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo hubbel!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht. Bildet denn die obige Funktion wirklich in ganz [mm] $\IR$ [/mm] ab?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Nicht in negativen Bereich, aber das tut es eh in keinem Fall wegen dem Quadrat oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 20.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo hubbel!
Forme doch mal um in die Scheitelpunktsform [mm]f(x) \ = \ a*(x-x_s)^2+y_s[/mm] einer Parabel. Dann kannst Du den Wertebereich dieser Funktion direkt ablesen!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
[mm] x^2+2x+3
[/mm]
[mm] (x^2+2x+1)+3-1
[/mm]
[mm] f(x)=(x+1)^2+2
[/mm]
Was bringt mir das nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Di 20.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo hubbel!
> Was bringt mir das nun?
Dass der Wertebereich dieser Funktion durch [mm]W_f \ = \ \left\{ \ x\in\IR \ | \ x\ge 2 \ \right\}[/mm] beträgt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Verstehe, aber wie müsste ich die Funktion nun einschränken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Di 20.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Ist ja nun eigentlich hinfällig ... aber der Vollständigkeit halber.
Der Wertebereich müsste beschränkt werden wie oben angegeben. Und der Definitionsbereich dürfte hier nur den Bereich links oder rechts des Scheitelpunktes umfassen.
Gruß
Loddar
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:39 Di 20.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
> Hallo!
>
>
> Ist ja nun eigentlich hinfällig ... aber der
> Vollständigkeit halber.
>
> Der Wertebereich müsste beschränkt werden wie oben
> angegeben. Und der Definitionsbereich dürfte hier nur den
> Bereich links oder rechts des Scheitelpunktes umfassen.
nein. Das sind nur mögliche Beschränkungen (die in gewissem Sinne maximal sind - und dabei auch den Definitionsbereich etwa "zusammenhängend lassen") - auch, wenn fast jeder automatisch diese im Kopf hat!
Was ich damit meine:
Auch $f: [mm] (-\infty,-1] \to [1,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ist bijektiv und differenzierbar (etc. pp.).
Aber ich kann auch viel "komplizierteres" zusammenbasteln:
$$g: [mm] (-\infty,-2] \cup [/mm] (1,2) [mm] \cup [/mm] (-1,0] [mm] \to [0,\infty)\setminus\{1\}$$
[/mm]
mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] ginge auch etc. pp.
Und man kann natürlich noch viel mehr die Phantasie spielen lassen (den Definitionsbereich mit isolierten Punkten ausstatten etc. pp.).
Und da kann man natürlich "den Scheitelpunkt" (ich denke, es ist klar, was ich bei solchen Funktionen damit meine?) verschieben!!
(Streckungs-/Stauchungsfaktoren lassen wir mal außer acht, wir betrachten nur (nach oben geöffnete) "Normalparabeln", da das auch eigentlich reicht!)
P.S.
Genaugenommen stört mich an Deiner Antwort eigentlich nur eines: Dass da angeblich etwas gemacht werden muss. Das, was da eigentlich steht, ist etwas, was gemacht werden kann - und das sind dann sozusagen die "zwei schönsten Methoden zur Lösung der Aufgabe" (was immer das auch mathematisch heißen könnte), wenn man das irgendwie so sehen will...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 20.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hubbel,
> [mm]x^2+2x-x'^2-2x'=0<=>(x^2-x'^2)+2(x-x')=0<=>((x-x')*(x+x'))+2(x-x')=0<=>x+x'=-2<=>x=-x'-2[/mm]
Beim vorletzten Äquivalenzzeichen müsste es heißen:
$((x-x')*(x+x'))+2(x-x')=0 [mm] \gdw [/mm] x-x'=0 [mm] \mbox{ oder }x+x'=-2$,
[/mm]
denn durch $x-x'$ darfst du nur für [mm] x-x'\not=0 [/mm] dividieren.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Das verstehe ich nicht, wie kommst du auf x-x'=0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Di 20.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Das verstehe ich nicht, wie kommst du auf x-x'=0?
Es gilt
$ [mm] ((x-x')\cdot{}(x+x'))+2(x-x')=0$
[/mm]
$ [mm] \gdw (x-x')\cdot((x+x')+2)=0$
[/mm]
Das Produkt auf der linken Seite ist nun genau dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, ja sehe ich ein, was heißt das nun konkret für meine Aufgabe? Dass f nur injektiv ist, wenn...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Di 20.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ok, ja sehe ich ein, was heißt das nun konkret für meine
> Aufgabe? Dass f nur injektiv ist, wenn...?
... wenn für alle [mm] x,x'\in\IR [/mm] aus
[mm] $x-x'=0\mbox{ oder }x+x'=-2$
[/mm]
stets x=x' folgt. Das Beispiel x=0, x'=-2 zeigt aber, dass das nicht der Fall ist.
Du hast ja mit f(x)=f(x') begonnen. Natürlich trifft das zu, wenn x=x'. Aber eben auch, wenn x+x'=-2 ist.
Dass f nicht injektiv ist, kann man ohne Rechnung bereits daran erkennen, dass es sich um eine quadratische Funktion, also die Funktion zu einer Parabel handelt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich Idiot,
das steht nicht [mm] x^2 [/mm] sondern [mm] x^3:
[/mm]
[mm] f(x)=x^3+2x+3
[/mm]
Sorry an der Stelle für die Aufregung.
Neuer Versuch:
[mm] x^3+2x=x'^3+2x
[/mm]
[mm] (x^3-x'^3)-2(x-x')=
[/mm]
Hier habe ich nun ein Problem bei der Zerlegung, damit ich auf x=x' komme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Di 20.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo hubbel!
Es gilt: [mm]a^3-b^3 \ = \ (a-b)*\left(a^2+ab+b^2\right)[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
[mm] (x^3-x'^3)-2(x-x')=0<=>(x-x')*((x^2+xx'+x'^2)+2)=0
[/mm]
Jetzt kann ich sagen, dass die zweite Klammer nie 0 wird und nur (x-x')=0 sein kann und somit x=x' gilt.
Passt das so?
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Hallo hubbel,
> [mm](x^3-x'^3)-2(x-x')=0<=>(x-x')*((x^2+xx'+x'^2)+2)=0[/mm]
>
> Jetzt kann ich sagen, dass die zweite Klammer nie 0 wird
> und nur (x-x')=0 sein kann und somit x=x' gilt.
>
> Passt das so?
Dass die zweite Klammer nie 0 wird, musst Du erst noch zeigen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Zu zeigen:
[mm] x^2+xx'+x'^2=-2
[/mm]
Also [mm] x^2 [/mm] und x'^2 sind immer größer als 0. Es geht Ansich nur noch um xx'
Ich weiß nicht, wie ich das beweisen sollte, würde einfach argumentieren.
Wobei, ich könnte anführen:
[mm] x^2+xx'+x'^2=x^2+2xx'+x'^2-xx'=(x+x')^2-xx'=-2
[/mm]
Weiß aber nicht, ob das was bringt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Di 20.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu zeigen:
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> [mm]x^2+xx'+x'^2=-2[/mm]
nein. Du willst doch gerade zeigen, dass diese Gleichheit NIE gelten kann!!
> Also [mm]x^2[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und x'^2 sind immer größer als 0. Es geht Ansich
> nur noch um xx'
>
> Ich weiß nicht, wie ich das beweisen sollte, würde
> einfach argumentieren.
??
Ich kann Dir mal einen Weg weisen: Erinnerst Du Dich dunkel an sowas wie quadratische Ergänzung?
$$x^2+xx'+x'^2+2=\left(x+\frac{x'}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x'^2+2\,.$$
Warum kann das nun nie $=0\,$ werden?
Alternativ:
Für jedes $x'$ kannst Du einfach
$$f_{x'}(x):=x^2+xx'+x'^2+2$$
setzen. Dann ist
$$\left.\frac{df_{x'}}{dx}\right|_{x}=2x+x'\,,$$
und
$$\left.\frac{d}{dx}\left(\frac{df_{x'}}{dx}\right)\right|_{x}=\left.\frac{d^2f_{x'}}{dx^2}\right|_x=2 > 0\,.$$
(Insbesondere ist die zweite Ableitung an der Stelle $x=-x'/2$ auch $>0\,.$)
Also hat $f_{x'}$ an der Stelle $x=-x'/2$ eine (lokale) Extremstelle, und es ist nicht schwer, einzusehen, dass diese eine lokale und auch sogar globale Minimalstelle ist. Wegen $f_{x'}(-x'/2)=\frac{x'^2}{4}-\frac{x'^2}{2}+x'^2+2=\frac{3}{4}x'^2+2 > 0$ bist Du dann auch fertig.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Di 20.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Einfacherer Weg:
Zeige, dass f streng monoton ist.
Daraus folgt die Injektivität.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Wir hatten sogar die Regel, dass f injektiv ist und somit die Abbildung D->f(D) bijektiv ist, kann man das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Di 20.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wir hatten sogar die Regel, dass f injektiv ist und somit
> die Abbildung D->f(D) bijektiv ist, kann man das so machen?
Das bringt leider keine Vereinfachung mit sich, da du dann noch [mm] f(D)=\IR [/mm] zeigen müsstest, was letztlich das gleiche wie die Surjektivität von f als Funktion nach [mm] \IR [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Für streng monoton muss gelten:
f'(x)>0
Oder
f'(x)<0
[mm] f'(x)=3x^2+2
[/mm]
Was offentsichtlich ist oder muss ich da noch zeigen? Bzw. wie soll ich das machen? Meiner Meinung nach müsste das so reichen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 20.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für streng monoton muss gelten:
>
> f'(x)>0
>
> Oder
>
> f'(x)<0
nein, das muss nicht gelten. Noch nichtmal für streng monotone Funktionen muss das (überall) gelten, wie [mm] $g(x)=x^3$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] zeigt. Denn notwendig ist das nicht.
ABER:
Nach Korollar 14.15 ii). ist folgendes hinreichend dafür, dass [mm] $f\,$ [/mm] streng wächst:
Es reicht, zu wissen, dass [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar ist und stets $f'(x) > [mm] 0\,$ [/mm] gilt (d.h. hier: für alle $x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Wichtig ist aber: Du musst explizit die Diff'barkeit von [mm] $f\,$ [/mm] (hier: für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] - bzw. im betrachteten Intervall) begründen!
> [mm]f'(x)=3x^2+2[/mm]
>
> Was offentsichtlich ist oder muss ich da noch zeigen?
Naja, das ist Schulwissen. Du kannst es bei Dir aber begründen mit 14.5 Beispiel (Monome sind diff'bar) und 14.4 Satz (Ableitungsregeln für Summen diff'barer Funktionen etc.).
> Bzw.
> wie soll ich das machen? Meiner Meinung nach müsste das so
> reichen.
Ich weiß nicht, wie penibel ihr korrigiert werdet. Wenn Du mit Deinem Skript arbeitest, dann etwa so, wie ich es angedeutet habe (leider finde ich da nicht einen Satz, der direkt besagt, dass "Polynomfunktionen" stetig differenzierbar sind - und wie deren Ableitung aussieht).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Di 20.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo hubbel,
verwende Korrollar 14.15 ii), nachdem Du die Differenzierbarkeit von [mm] $f\,$ [/mm] begründet hast (für alle anderen: das ist der Bezug zwischen strenger Monotonie mit der Ableitung).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 20.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, das meinte ich, Stetigkeit brauche ich nich zeigen, das wir dies bereits für Polynomfunktionen bewiesen haben.
Ableitung könnte ich mir ansich auch sparen, da wir die ebenfalls für Polynomfunktionen gezeigt haben.
Ich könnte das ganze natürlich mit dem Differenzenquotienten machen, aber ich lass es mal, ich weiß wie es geht.
Ich verstehe nun aber nicht, warum ich f'(x)>0 nicht hernehmen soll, bzw. ich verstehe deinen Einwurf nicht, denn damit kann ich strenge Monotonie zeigen und somit Injektivität. Oder sehe ich das falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Di 20.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, das meinte ich, Stetigkeit brauche ich nich zeigen, das
> wir dies bereits für Polynomfunktionen bewiesen haben.
>
> Ableitung könnte ich mir ansich auch sparen, da wir die
> ebenfalls für Polynomfunktionen gezeigt haben.
>
> Ich könnte das ganze natürlich mit dem
> Differenzenquotienten machen, aber ich lass es mal, ich
> weiß wie es geht.
das ist die Hauptsache.
> Ich verstehe nun aber nicht, warum ich f'(x)>0 nicht
> hernehmen soll, bzw. ich verstehe deinen Einwurf nicht,
> denn damit kann ich strenge Monotonie zeigen und somit
> Injektivität. Oder sehe ich das falsch?
Nein, das siehst Du richtig. Deine Formulierung war nur falsch: Wenn Du sagst, dass Du zeigen MUSST, dass $f'(x) > 0$ für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt, um zu zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] streng monoton wächst, dann ist das eine falsch formulierte Aussage:
Denn für eine (auf einem Intervall [mm] $I\,$ [/mm] definierte) diff'bare Funktion, die streng monoton wächst, gilt nicht notwendig $f'(x) > [mm] 0\,.$ [/mm] (Beispiel:$x [mm] \mapsto x^3$ [/mm] ist streng monoton wachsend auf [mm] $\IR$ [/mm] und die Ableitung verschwindet an der Stelle [mm] $x_0=0\,.$)
[/mm]
Also:
$$f [mm] \text{ wächst streng monoton }\not\Rightarrow [/mm] f'(x) > 0 [mm] \text{ für alle }x \in I\,.$$
[/mm]
Diese Folgerung (wenn sie gelten WÜRDE) willst Du aber auch gar nicht benutzen. Was Du machen willst, ist die andere Folgerung benutzen (und die GILT ja):
[mm] $$(\star)\;\;\;f'(x) [/mm] > 0 [mm] \text{ für alle }x \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \text{ wächst streng monoton.}$$
[/mm]
Natürlich sollst Du nun zeigen, dass $f'(x) > 0$ auf [mm] $\IR$ [/mm] gilt, denn dann kannst Du [mm] $(\star)$ [/mm] benutzen. Aber achte einfach auf Deine Ausdrucksweise.
(Leider machen das sogar die besten Profs. manchmal falsch: Oft sagen sie innerhalb eines Beweises: "Nun müssen wir zeigen, dass gilt..." - wobei sie mich oft verwirrt haben. Denn korrekt hätten sie sagen müssen: "Es ist nun hinreichend, zu zeigen, dass gilt: ...". Denn oft zeigen sie dann nur eine Aussage, die auch i.a. wirklich nur hinreichend für das ist, was sie zeigen wollen - aber nicht auch notwendig.)
Ein einfaches Beispiel:
Wenn ich z.B. sage: "Um [mm] $x^2 [/mm] > 4$ einzusehen, muss ich zeigen, dass $x > 2$ ist." bedeutet das doch eigentlich:
[mm] $$x^2 [/mm] > 4 [mm] \Rightarrow [/mm] x > [mm] 2\,.$$
[/mm]
Das ist falsch (jedenfalls für $x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Wenn ich aber sage: "Um [mm] $x^2 [/mm] > 4$ einzusehen, ist es hinreichend, $x > 2$ zu zeigen.", dann bedeutet das
$$x > 2 [mm] \Rightarrow x^2 [/mm] > [mm] 4\,.$$
[/mm]
Auf sowas wollte ich Dich aufmerksam machen.
Also nach wie vor:
Natürlich kannst (und solltest) Du nun $f'(x) > 0$ begründen und damit folgern, dass dann [mm] $f\,$ [/mm] streng wächst.
Aber so hast Du das halt nicht ausgedrückt (obwohl ich mir sicher bin, dass Du das auch so meintest)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, das sehe ich ein, ganz besonders in der Mathematik muss darauf wert gelegt werden, alles korrekt auszudrücken. Das fällt mir als Erstsemester noch ziemlich schwer, aber ich besser mich, bei meinem ersten Klausurversuch bin ich noch dermaßen schwammig mit "für alle" "und es ex. ein" umgegangen, dass es nur geraucht hat, aber es wird.
Ich bin mir auch ziemlich sicher, dass man Schulbegründung, warum [mm] 3x^2+2>0 [/mm] gilt, für uns gereicht hätte. Ich will mich jetzt nich zu sehr fest beißen darin. Deswegen mal weiter und zwar möchte ich nun die Surjektivität zeigen:
f ist surjektiv, wenn für alle y [mm] \in \IR [/mm] mindestens ein x [mm] \in \IR [/mm] mit f(x)=y ex.
Somit müsste ich dieshier zeigen:
[mm] x^3+2x+3=y<=>x(x^2+2)=y-3
[/mm]
Irgendwie komme ich hier nicht weiter, auf welche Form muss ich am Ende überhaupt kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, das sehe ich ein, ganz besonders in der Mathematik muss
> darauf wert gelegt werden, alles korrekt auszudrücken. Das
> fällt mir als Erstsemester noch ziemlich schwer, aber ich
> besser mich, bei meinem ersten Klausurversuch bin ich noch
> dermaßen schwammig mit "für alle" "und es ex. ein"
> umgegangen, dass es nur geraucht hat, aber es wird.
>
> Ich bin mir auch ziemlich sicher, dass man meine?
> Schulbegründung, warum [mm]3x^2+2>0[/mm] gilt, für uns gereicht
> hätte.
natürlich. In der Schule lernt man ja, dass man das so machen darf (bei einem guten Lehrer bzw. im LK mit Beweis oder wenigstens Beweisskizze). An der Uni habt ihr nun ganz detailliert gelernt, wann und warum man das darf.
> Ich will mich jetzt nich zu sehr fest beißen
> darin. Deswegen mal weiter und zwar möchte ich nun die
> Surjektivität zeigen:
>
> f ist surjektiv, wenn für alle y [mm]\in \IR[/mm] mindestens ein x
> [mm]\in \IR[/mm] mit f(x)=y ex.
Korrekt!
> Somit müsste ich dieshier zeigen:
>
> [mm]x^3+2x+3=y<=>x(x^2+2)=y-3[/mm]
>
> Irgendwie komme ich hier nicht weiter, auf welche Form muss
> ich am Ende überhaupt kommen?
Naja, Du müsstest ein [mm] $x\,$ [/mm] so finden, dass $f(x)=y$ gilt - anders gesagt: Weil die Funktion ja injektiv ist, und wenn sie nun auch surjektiv sein soll, müsstest Du versuchen, diese Gleichung nach [mm] $x\,$ [/mm] aufzulösen - und dieses sollte dann hoffentlich im Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] hier also in [mm] $\IR\,,$ [/mm] liegen.
(Allgemein (bei nicht notwendig inj. Funktionen): Man muss halt ein [mm] $x\,$ [/mm] finden, dass zu vorgegebenem [mm] $y\,$ [/mm] halt [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] erfüllt - auf welchem Wege auch immer man an sowas rangekommen ist!)
Das kann man hier auch noch machen: "Cardanische Formel" wäre dann das Stichwort.
Aber das ist viel zu kompliziert. Denk' einfach mal an den Zwischenwertsatz, damit kann man viel schneller zum Ziel kommen (Du hast eine stetige Funktion $f : [mm] \IR \to \IR\,,$ [/mm] die streng monoton wächst und zudem [mm] $\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$ [/mm] erfüllt (anders gesagt: die stetige und streng monoton wachsende Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ist nach oben und unten unbeschränkt))...
P.S.
Damit das mit der Surjektivität, wie man sie meist etwa auch anders zeigt, nochmal in Erinnerung kommt:
Betrachten wir $g: [mm] \IR \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $g\,$ [/mm] surjektiv:
Sei dazu $y [mm] \in [0,\infty)\,.$ [/mm] Wir suchen [mm] $x\,$ ($\in \IR$) [/mm] mit [mm] $g(x)=y\,,$ [/mm] also
[mm] $$y=x^2\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $y=x^2 \gdw y-x^2=0 \gdw (\sqrt{y}-x)*(\sqrt{y}+x)=0$ [/mm] sehen wir, dass etwa [mm] $x:=-\sqrt{y}$ (beachte:$x\,$ [/mm] ist definiert, da $y [mm] \ge [/mm] 0$) geeignet ist.
Im Beweis selber würden wir diese Vorüberlegung vielleicht sogar unterschlagen, denn für den Beweis reicht eigentlich das folgende:
Für $y [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] setzen wir [mm] $x:=-\sqrt{y}\,,$ [/mm] wobei [mm] $x\,$ [/mm] wegen $y [mm] \ge [/mm] 0$ dann definiert ist (wäre $y < [mm] 0\,,$ [/mm] so hätten wir ja "Probleme") und es ist [mm] $x=-\sqrt{y} \in (-\infty,0] \subseteq \IR=D_g\,.$
[/mm]
Ferner gilt dann
[mm] $$g(x)=g(-\sqrt{y})=(-\sqrt{y})^2=(-1)^2*\sqrt{y}^2=y\,.$$
[/mm]
Damit ist [mm] $g\,$ [/mm] surjektiv!
P.P.S.
Das Auffinden eines [mm] $x\,$ [/mm] zu vorgegebenem [mm] $y\,$ [/mm] macht man in der Schule meist ein wenig anders - vor allem auch meist nur bei bijektiven Funktionen:
Um Umkehrfunktionen aufzufinden, sagt man dann ja meistens: "Vertausche $x [mm] \longleftrightarrow [/mm] y$ und löse dann nach [mm] $y\,$ [/mm] auf."
Leider schlagen manche Lehrer sowas auch bei nicht-bijektiven, vor allem nicht-injektiven Funktionen vor. Deshalb "vertausche" ich nicht gerne Variablen, weil: Dann muss man sich immer klar machen, aus welchem Bereich sie gekommen sind. (Die muss man beim Tausch i.a. auch passend mitnehmen!)
Beispiel:
$h: [-1,1] [mm] \to [/mm] [0,1]$ mit [mm] $h(x)=x^2\,.$
[/mm]
Bzgl. der Surjektivität würde ich etwa ein $y [mm] \in [/mm] [0,1]$ vorgeben und nun [mm] $h(x)=y\,$ [/mm] bzw. [mm] $x^2=y\,$ [/mm] nach [mm] $x\,$ [/mm] auflösen versuchen.
Wenn ich nun $x [mm] \longleftrightarrow [/mm] y$ vertausche, dann ist man versucht, [mm] $y^2=x$ [/mm] nun nach [mm] $y\,$ [/mm] "aufzulösen", aber nun muss man $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ und $y [mm] \in [/mm] [-1,1]$ verlangen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:34 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Zwischenwertsatz? Sehr schön, kann die Definition, aber die Anwendung müsste ich üben:
Def.:
Sei f:I [mm] ->\IR [/mm] stetig und s [mm] \in \IR, [/mm] gilt weiter f(b)<s<f(a) oder f(b)>s>f(a), dann ex. ein c [mm] \in [/mm] (a,b) wofür gilt f(c)=s.
Wie wende ich den an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zwischenwertsatz? Sehr schön, kann die Definition,
Sätze sind keine Definitionen!!
> aber
> die Anwendung müsste ich üben:
>
> Def.:
>
> Sei f:I [mm]->\IR[/mm] stetig und s [mm]\in \IR,[/mm] gilt weiter f(b)<s<f(a)
> oder f(b)>s>f(a), dann ex. ein c [mm]\in[/mm] (a,b) wofür gilt
> f(c)=s.
>
> Wie wende ich den an?
etwa so:
Sei $y [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest. Wegen [mm] $\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$ [/mm] sowie [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$ [/mm] (Beweis für die letzten beiden Grenzwertaussagen?) existieren $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $f(a) < y$ sowie $f(b) > [mm] y\,,$ [/mm] insbesondere gilt, weil [mm] $f\,$ [/mm] streng wächst, somit notwendigerweise $a < [mm] b\,.$
[/mm]
Betrachte nun [mm] $f_{|[a,b]}$ [/mm] (die Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf $[a,b]$) und begründe, dass folgendes gilt:
$$y [mm] \in f_{|[a,b]}([a,b])=f([a,b])\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Begründung? Verdammt gute Frage. Ich würde sagen, dadurch, dass die Funktion eben nicht berschränkt, also gegen [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] divergiert, existiert zu jedem y mindestens ein x.
Es gilt also:
y [mm] \in f_{|[a,b]}([a,b])=f([a,b])
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Begründung? Verdammt gute Frage. Ich würde sagen,
> dadurch, dass die Funktion eben nicht berschränkt, also
> gegen [mm]-\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] divergiert, existiert zu jedem y
> mindestens ein x.
Nein. Wir haben doch
f(a)<y<f(b).
Jetzt bemühe den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
FRED
>
> Es gilt also:
>
> y [mm]\in f_{|[a,b]}([a,b])=f([a,b])[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Der Satz besagt nun, dass ein x [mm] \in [/mm] (a,b) ex. mit f(x)=y, damit hätten wir es doch oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Noch eine Sache und zwar soll ich ja noch die Ableitung der Umkehrfunktion in x=0 bilden.
Habe da den Satz:
Sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall, [mm] f:I->\IR [/mm] streng monoton und a [mm] \in [/mm] I so, dass f in a diffbar ist mit f'(a) [mm] \not= [/mm] 0. Dann ist [mm] f^{-1}:f(I)->I [/mm] in y:=f(a) diffbar mit [mm] (f^{-1})(y)=\bruch{1}{f'(a)}
[/mm]
Wollte das nun anwenden und habe mir dies dazu angesehen:
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/umkehrfunktion-inverse-funktion-ableitung-video.html
Aber irgendwie klappt es nicht bei mir, bräuchte da mal Hilfe.
Vorallem, weil ich ein Problem damit habe [mm] x^3+2x+3=y [/mm] nach x umzustellen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Noch eine Sache und zwar soll ich ja noch die Ableitung der
> Umkehrfunktion in x=0 bilden.
>
> Habe da den Satz:
>
> Sei I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall, [mm]f:I->\IR[/mm] streng monoton
> und a [mm]\in[/mm] I so, dass f in a diffbar ist mit f'(a) [mm]\not=[/mm] 0.
> Dann ist [mm]f^{-1}:f(I)->I[/mm] in y:=f(a) diffbar mit
> [mm](f^{-1})(y)=\bruch{1}{f'(a)}[/mm]
>
> Wollte das nun anwenden und habe mir dies dazu angesehen:
>
> http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/umkehrfunktion-inverse-funktion-ableitung-video.html
>
> Aber irgendwie klappt es nicht bei mir, bräuchte da mal
> Hilfe.
>
> Vorallem, weil ich ein Problem damit habe [mm]x^3+2x+3=y[/mm] nach x
> umzustellen...
Das brauchst Du doch gar nicht !
Es ist
f(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=-1, also ist
[mm] f^{-1}(0)=-1.
[/mm]
Damit: [mm] (f^{-1})'(0)=\bruch{1}{f'(-1)}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, das sehe ich ein, aber wie würde ich dann die Ableitung der Umkehrfuntkion allgemein bestimmen damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo hubbel,
> Ok, das sehe ich ein, aber wie würde ich dann die
> Ableitung der Umkehrfuntkion allgemein bestimmen damit?
im allgemeinen musst Du halt zu [mm] $y\,$ [/mm] in der Tat auch [mm] $x=f^{-1}(y)$ [/mm] berechnen und das in
[mm] $$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$
[/mm]
einsetzen!
Bei der hier gestellten Aufgabe wäre die Gleichung [mm] $x^3+2x+3=y \gdw x^3+2x+(3-y)=0$ [/mm] halt i.a. etwa nach der Cardanischen Formel zu lösen - speziell für [mm] $y=0\,$ [/mm] sollte dann wie bei Fred [mm] $x=-1\,$ [/mm] herauskommen.
FRED hat Dir's aber schon gesagt:
Wenn man nun für [mm] $y\,$ [/mm] speziell [mm] $y=0\,$ [/mm] hat, so "vereinfacht" sich halt
[mm] $$x^3+2x+(3-y)=0$$
[/mm]
zu
[mm] $$x^3+2x+3=0\,.$$
[/mm]
Das ist schonmal nur eine Gleichung in einer Variablen!
Wie hätte Fred nun geschickt raten können, wenn er nicht DEN BLICK gehabt hätte? Etwa so:
[mm] $f(x)=x^3+2x+3$ [/mm] haben wir ja schon als streng monoton wachsend erkannt. Daher ist wegen [mm] $f(2)=2^3+2*2+3=15 [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] die Nullstelle von [mm] $f\,$ [/mm] sicher kleiner als [mm] $2\,.$ [/mm] $f(0)=3 > 0$ zeigt, dass die Nullstelle auch kleiner als [mm] $0\,$ [/mm] sein muss. Wegen $f(-2)=-8-4+3=-9$ liegt - mit den vorherigen Erkenntnissen - daher die Nullstelle zwischen [mm] $-2\,$ [/mm] und [mm] $0\,.$ [/mm] Das Berechnen von [mm] $f(-1)=0\,$ [/mm] zeigt, dass [mm] $-1\,$ [/mm] die gesuchte Nullstelle ist!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, ok, dann nehme ich das mal so hin, danke.
Eine andere Sache, einfachmal zum Interesse und zwar bin ich gerade bei Stetigkeit und ich würde gerne zur Übung einfach mal zeigen, dass
[mm] f(x)=x^3+2x+3 [/mm] stetig ist in z=0.
Ich mache das mit dem [mm] \epsilon-\delta-Verfahren.
[/mm]
[mm] |f(x)-f(z)|=|x^3+2x+3-3|=|x^3+2x|=|x(x^2+2)|
[/mm]
Habe soweit in meinem Buch gelesen, dass ich das ganze so umformen muss, dass ich |x-3| habe und dann dafür [mm] \delta [/mm] einsetze, um dann weiter zu machen, da ja [mm] |x-3|<\delta [/mm] gelten muss. Außerdem muss ich ein [mm] \delta [/mm] wählen.
Wie würde ich hierbei vorgehen, ohne zu wissen, dass Polynomfunktionen stetig sind? Wär mir ganz liebt, wenn die Erklärung halbwegs "erstsemester gerecht" verpackt wäre.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo hubbel,
> Ja, ok, dann nehme ich das mal so hin, danke.
>
> Eine andere Sache, einfachmal zum Interesse und zwar bin
> ich gerade bei Stetigkeit und ich würde gerne zur Übung
> einfach mal zeigen, dass
>
> [mm]f(x)=x^3+2x+3[/mm] stetig ist in z=0.
>
> Ich mache das mit dem [mm]\epsilon-\delta-Verfahren.[/mm]
>
> [mm]|f(x)-f(z)|=|x^3+2x+3-3|=|x^3+2x|=|x(x^2+2)|[/mm]
>
> Habe soweit in meinem Buch gelesen, dass ich das ganze so
> umformen muss, dass ich |x-3| habe und dann dafür [mm]\delta[/mm]
> einsetze, um dann weiter zu machen, da ja [mm]|x-3|<\delta[/mm]
> gelten muss. Außerdem muss ich ein [mm]\delta[/mm] wählen.
was hast Du denn da gelesen: [mm] $|x-3|\,$ [/mm] hast Du?
Nö. Pass' auf:
Du willst die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $0\,$ [/mm] zeigen. Per Definitionem ist also zu zeigen:
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, dann gibt es ein zu [mm] $x_0=0$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] passendes [mm] $\delta [/mm] > 0$ so, dass wir aus $|x-0| < [mm] \delta$ [/mm] sodann $|f(x)-f(0)| < [mm] \epsilon$ [/mm] ablesen können.
Lasse zunächst [mm] $\delta$ [/mm] unbestimmt, aber fordere [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Für Dein obiges [mm] $f\,$ [/mm] ist speziell [mm] $f(x)=x^3+2x+3$ [/mm] und damit [mm] $f(0)=3\,.$
[/mm]
Dass nun $|f(x)-f(0)| < [mm] \epsilon$ [/mm] sein soll (wenn nur $|x-0|=|x| < [mm] \delta$ [/mm] ist), heißt dann, dass wir
[mm] $$|x^3+2x| [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
erkennen wollen.
Das heißt, dass
[mm] $$|x|*|x^2+2| [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
sein soll.
Nun ist aber, wenn wir o.E. [mm] $\delta \le [/mm] 1$ annehmen, doch sicherlich
[mm] $$|x^2+2| \le 3\,.$$
[/mm]
(Beachte dabei, dass [mm] $\delta [/mm] > 0$ gefordert wird!)
Also sehen wir
[mm] $$(\star)\;\;\;|x|*|x^2+2| \le [/mm] |x|*3 < [mm] \delta*3\,,$$
[/mm]
weil wir ja nur die [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-0|=|x| < [mm] \delta$ [/mm] betrachten.
Aus [mm] $(\star)$ [/mm] ist aber ersichtlich:
Wenn nun [mm] $3*\delta \le \epsilon$ [/mm] gewählt wird, dann folgt auch
[mm] $$|x|*|x^2+2| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Also: Wie kann man [mm] $\delta [/mm] > 0$ wählen?
Tipp:
Um die Voraussetzung "o.E. sei $0 < [mm] \delta \le [/mm] 1$" geschickt "zu verpacken", kann man am Ende einfach $0 < [mm] \delta$ [/mm] mit [mm] $\delta=\min\{1,\;\text{hier ist Deine Wahl von }\delta \text{ von oben einzutragen}\}$ [/mm] setzen.
P.S.
Man kann sich hier sogar das Ergebnis mit den Graphen zweier Funktionen veranschaulischen - etwa:
Plotte mal neben [mm] $f(x)=x^3+2*x+3\,,$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $[-1,1]\,,$ [/mm] auch die Funktion [mm] $g(x)=3*x+3\,$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $[-1,1]\,.$
[/mm]
(Natürlich kann man auch $x [mm] \mapsto |x^3+2*x|$ [/mm] und $x [mm] \mapsto |3*x|\,,$ [/mm] jeweils auf [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] eingeschränkt, plotten und damit argumentieren - letzteres passt vielleicht besser zu den Abschätzungen).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich würde [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\epsilon}{3} [/mm] wählen.
Das mit dem [mm] \delta=min{...} [/mm] kommt bei uns auch vor, aber was genau bedeutet das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo hubbel,
> Ich würde [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\epsilon}{3}[/mm] wählen.
genau. (Wobei ich besser sagen sollte: Jede Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] mit $0 < [mm] \delta \le \epsilon/3$ [/mm] ist geeignet: Also auch [mm] $\delta=\epsilon/(\pi*3)$ [/mm] wäre eine gute Wahl!)
> Das mit dem [mm]\delta=min{...}[/mm] kommt bei uns auch vor, aber
> was genau bedeutet das?
Was ist denn [mm] $\min [/mm] M$ für eine ENDLICHE Menge [mm] $M\,$?
[/mm]
Und warum das gemacht wird:
Bei Dir ist [mm] $M=M_{\epsilon}=\{1,\epsilon/3\}\,.$ [/mm] Was ist dann [mm] $\delta=\min M=\min M_\epsilon$ [/mm] für
1.) [mm] $\epsilon=10\,,$
[/mm]
2.) [mm] $\epsilon=4\,,$
[/mm]
3.) [mm] $\epsilon=3\,,$
[/mm]
4.) [mm] $\epsilon=2\,,$
[/mm]
5.) [mm] $\epsilon=1/5\,,$
[/mm]
6.) [mm] $\epsilon=\pi*\sqrt{2}/256.7\,,$
[/mm]
7.) [mm] $\epsilon=2/19\,$
[/mm]
?
Überlege Dir: Kann mit dieser Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] dann [mm] $\delta [/mm] > 1$ gelten? (Egal, welches auch 'noch so große [mm] $\epsilon$' [/mm] man vorgibt!) Ist's nun klarer?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 21.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Mir ist schon klar, was ein Minimum von einer Menge ist, aber wie kommst du auf diese 1?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mir ist schon klar, was ein Minimum von einer Menge ist,
> aber wie kommst du auf diese 1?
ist jetzt nicht böse gemeint, aber: liest Du die Antworten nicht richtig? Manchmal kann ich das auch nicht glauben, dass Du das alles schon gelesen hast, so schnell wie die nächste Frage erscheint... Wenn Du sie also nur überfliegst, bringt uns das nicht viel! Aber musst Du wissen...
Zurück zur Aufgabe:
Ich hatte es in der Antwort geschrieben:
Wir hatten dort (neben $0 < [mm] \delta$) [/mm] o.E. [mm] $\delta \le [/mm] 1$ angenommen. Das haben wir gebraucht, um [mm] $|x^2+2| \le [/mm] 3$ zu bekommen. Natürlich ist das nicht automatisch die beste oder einzig mögliche Wahl. Wichtig ist nur, dass wir halt [mm] $|x^2+2|$ [/mm] "beschränkt halten", und das klappt halt, wenn wir auch [mm] $\delta$ [/mm] direkt "o.E. kleiner als eine gewisse Zahl $> [mm] 0\,$ [/mm] halten".
Schau' doch mal, wie sich der ganze Beweis ändert, wenn ich neben $0 < [mm] \delta$ [/mm] hier o.E. [mm] $\delta \le [/mm] 2$ gefordert hätte. Dann stünde am Ende da:
Wahl mit [mm] $\delta:=\min\{2,\;\text{anderer Ausdruck mit }\epsilon\} [/mm] > 0$ zeigt die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $x_0=0\,.$
[/mm]
Hier ist das ganze egal. Bei (vielen) anderen Funktionen ist es wichtig, "dass man das [mm] $\delta$ [/mm] stets klein genug hält". Nimm' mal $x [mm] \mapsto x*\sin(x^2)$ [/mm] und stelle Dir vor, Du wolltest von Hand (im Sinne von [mm] $\epsilon-\delta$) [/mm] untersuchen,ob die Funktion für eine ziemlich große Nullstelle stetig ist. Je "weiter Du rausgehst, desto stärker oszilliert diese Funktion da rum, mit immer weiter auseinanderliegenden Funktionswerten aufeinanderfolgender Extremstellen".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Do 22.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Was heißt überfliegen, die Sache ist halt die, dass ich genau solche Aufgaben vor mir habe und einfach nicht auf die Idee mit dem Minimum kommen würde, da ich das ganze bereits gesehen habe, frage ich natürlich sofort nach den Kerndingen, die mir unklar sind. Habe in meinem Buch eine ähnliche Aufgabe gefunden, Beispiel 94.
http://www.myimg.de/?img=img010858cb.jpg
Da kommt eben auch [mm] \delta=min(1,2\epsilon) [/mm] vor. Kommt diese Schreibweise immer vor und wonach richtet sich der erste Wert in der Klammer? Der anscheinend nicht immer 1 ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Was heißt überfliegen, die Sache ist halt die, dass ich
> genau solche Aufgaben vor mir habe und einfach nicht auf
> die Idee mit dem Minimum kommen würde, da ich das ganze
> bereits gesehen habe, frage ich natürlich sofort nach den
> Kerndingen, die mir unklar sind. Habe in meinem Buch eine
> ähnliche Aufgabe gefunden, Beispiel 94.
>
> http://www.myimg.de/?img=img010858cb.jpg
>
> Da kommt eben auch [mm]\delta=min(1,2\epsilon)[/mm] vor. Kommt diese
> Schreibweise immer vor
immer sicher nicht. Betrachte doch mal [mm] $f(x)=x\,.$ [/mm] (Diese Funktion ist sogar glm. stetig.) Dort braucht man nur [mm] $\delta=\epsilon$ [/mm] zu setzen!
> und wonach richtet sich der erste
> Wert in der Klammer? Der anscheinend nicht immer 1 ist.
Das oben ist nur eine andere Notation für [mm] $\min\{1,\;2\epsilon\}\,.$ [/mm] Du sagtest, dass Du weißt, was das bedeutet. Und natürlich steht da nicht immer [mm] $1\,.$ [/mm] Dort könnte auch [mm] $\min(2,3,\epsilon,1/4)\;\;(=\min\{1/4,2,\epsilon,3\})$ [/mm] stehen, wenn das passen würde!
Also merke:
[mm] $$\min(a_1,...,a_n)$$
[/mm]
bedeutet
[mm] $$\min\{a_i: i=1,...,n\}\,.$$
[/mm]
Und das Minimum einer (endlichen) Menge: Damit kennst Du Dich aus, wie Du selbst sagtest!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 Do 22.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Nicht, dass ich hier was falsch verstehe, aber das Minimum von [mm] (1,2\epsilon) [/mm] ist meiner Meinung nach [mm] 2\epsilon.
[/mm]
Ich verstehe aber nicht woher die 1 in meinem Beispiel kommt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:29 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nicht, dass ich hier was falsch verstehe, aber das Minimum
> von [mm](1,2\epsilon)[/mm] ist meiner Meinung nach [mm]2\epsilon.[/mm]
da bin ich anderer Meinung!!
> Ich verstehe aber nicht woher die 1 in meinem Beispiel
> kommt.
In welchem nun? Bei [mm] $f(x)=x^3+2x+3$ [/mm] habe ich's nun wirklich schon bestimmt fünfmal gesagt, wo das herkommt... (Das verlinkte Bild habe ich mir nicht angeguckt, weil wir Deine 'Problematik' bzgl. [mm] $f(x)=x^3+2x+3$ [/mm] eh noch nicht komplett beseitigt haben, und es keinen Sinn macht, dauernd zwischen Aufgaben "hin- und her zu springen"!)
P.S.
Du hättest doch die Beispielmengen [mm] $M_\epsilon$ [/mm] für verschiedene [mm] $\epsilon$ [/mm] durchgehen sollen - ich hatte mir dabei schon was gedacht. Und hättest Du das getan, so wäre Deine obige Aussage hier auch gar nicht erst entstanden.
Fakt:
Es ist [mm] $\min(1,2\epsilon)=1$ [/mm] genau dann, wenn $ [mm] \epsilon \ge [/mm] 1/2$ und es ist [mm] $\min(1,2\epsilon)=2\epsilon$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $\epsilon \le [/mm] 1/2$ (beachte, dass stets [mm] $\epsilon [/mm] > 0$).
Warum sollte man auch [mm] $\delta=\min(1,2\epsilon)$ [/mm] schreiben, wenn man dann auch direkt hätte [mm] $2\epsilon$ [/mm] schreiben können?
Wie gesagt: Durch reines Lesen/Überfliegen von Antworten kommst Du nicht weit. Du musst Dir schon ein paar Gedanken mehr zu dem Zeugs machen, nicht einfach nur (intuitive) Schnellschüsse abfeuern!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 22.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, in Abhängigkeit von [mm] \epsilon [/mm] ist das zu sehen, sehe ich ein.
Kannst du mir vielleicht einfach mal eine Übungsaufgabe geben, wo ich Stetigkeit in einem Punkt zeigen muss, ich fühle mich nämlich noch unsicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, in Abhängigkeit von [mm]\epsilon[/mm] ist das zu sehen, sehe
> ich ein.
>
> Kannst du mir vielleicht einfach mal eine Übungsaufgabe
> geben, wo ich Stetigkeit in einem Punkt zeigen muss, ich
> fühle mich nämlich noch unsicher.
dann beweis' mal, dass die folgende Funktion stetig ist genau im Punkte [mm] $x_0=0$:
[/mm]
$$f: [mm] \IR \to \IR$$
[/mm]
definiert durch
[mm] $$f(x):=x^2*1_{\IR \setminus \IQ}(x)\,.$$
[/mm]
Zur Erinnerung:
[mm] $$1_{M}(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in M \\ 0, & \mbox{für } x \notin M \end{cases}\,,$$
[/mm]
also oben
[mm] $$1_{\IR\setminus \IQ}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IR \wedge x \notin \IQ \\ 0, & \mbox{für } x \in \IQ\end{cases}\,.$$
[/mm]
Und nein, ich habe mich nicht vertan: [mm] $1_{\IR \setminus \IQ}$ [/mm] sieht wirklich so aus!!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Do 22.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Hast du vielleicht etwas "einfacheres"? Ich will mich nicht herumdrücken, aber das ganze wirft mehr Fragen auf, als das ich damit zurechtkomme und ich will mich so kurz vor der Klausur echt nicht noch verunsichern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hast du vielleicht etwas "einfacheres"? Ich will mich nicht
> herumdrücken, aber das ganze wirft mehr Fragen auf, als
> das ich damit zurechtkomme
die Aufgabe ist eigentlich sehr einfach, wenn man die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] benutzt. Und die Stetigkeit in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist fast eine Banalität - weil sie prinzipiell hier fast genauso bewiesen wird wie bei der auf [mm] $\IR$ [/mm] definierten Funktion $x [mm] \mapsto x^2\,.$
[/mm]
> und ich will mich so kurz vor
> der Klausur echt nicht noch verunsichern.
Okay, aber ganz banale Beispiele sind langweilig:
Die Stetigkeit von jeder Funktion [mm] $f_n(x):=x^n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist fast banal - exemplarisch kannst Du sie ja mal für [mm] $n=2,\;n=3$ [/mm] und [mm] $n=7\,$ [/mm] nachweisen.
Danach zeige die Stetigkeit von
[mm] $$f(x)=\begin{cases} 10*\pi*x, & \mbox{für } x \le 10 \\ \sin(x), & \mbox{für } x > 10\end{cases}$$
[/mm]
an der Stelle [mm] $x_0=4*\pi\,.$
[/mm]
Und nein: Das ist keine komplizierte Aufgabe. Du sollst nur etwas lernen:
Hier ist es sinnvoll, [mm] $\delta$ [/mm] "anfangs geschickt klein genug zuwählen":
Also [mm] $\delta=\min\{...\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Do 22.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, die Aufgabe ist gut, nur stehe ich wieder direkt vor einem Problem und zwar für [mm] 4\pi [/mm] ist es klar, dass ich f(x)=sin(x) nehmen muss. Nur bei f(z) weiß ich es nicht, da ich ja kein konretes z nehme, deswegen weiß ich ja auch nicht ob es größer oder kleiner gleich 10 ist also ob ich da sin(z) oder doch [mm] 10*\pi*z [/mm] wählen muss. Verrate bitte nicht zu viel, nur bin ich gerade leicht (wie so oft) verwirrt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, die Aufgabe ist gut, nur stehe ich wieder direkt vor
> einem Problem und zwar für [mm]4\pi[/mm] ist es klar, dass ich
> f(x)=sin(x) nehmen muss. Nur bei f(z) weiß ich es nicht,
> da ich ja kein konretes z nehme, deswegen weiß ich ja auch
> nicht ob es größer oder kleiner gleich 10 ist also ob ich
> da sin(z) oder doch [mm]10*\pi*z[/mm] wählen muss. Verrate bitte
> nicht zu viel, nur bin ich gerade leicht (wie so oft)
> verwirrt.
vor allen Dingen ist Deine Frage total unverständlich: Was ist nun [mm] $z\,$?
[/mm]
Und nebenbei: [mm] $f\,$ [/mm] ist stückweise definiert. Da gibt's nicht zwei Funktionen. Willst Du die Stetigkeit von ganz [mm] $f\,$ [/mm] beweisen? Das wird Dir nicht gelingen - an (genau) einer Stelle geht's schief.
Bevor Du Dich aber mit mehr beschäftigst:
Zeige erstmal die Stetigkeit an der Stelle [mm] $4*\pi\,.$ [/mm] Das kann man wirklich, wie Du vermutest, fast genauso wie die Stetigkeit des Sinus (an irgendeiner seiner Nullstellen) nachweisen.
Tipp:
Berechne mal [mm] $d:=4*\pi-10\,.$ [/mm] Warum ist es sinnvoll, [mm] $\delta \le [/mm] d$ zu fordern (und wie kann man das in die Minimumschreibweise schonmal verpacken)?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Do 22.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Gut ok, ich beginne hiermit:
a=4 [mm] \pi
[/mm]
[mm] |f(z)-f(a)|=|10*\pi*z-sin(4 \pi)|=|10*\pi*z|
[/mm]
Meine Frage halt ob das so wie oben aussieht der Anfang oder doch so:
|f(z)-f(a)|=|sin(z)-sin(4 [mm] \pi)|=|sin(z)|
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gut ok, ich beginne hiermit:
>
> a=4 [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]|f(z)-f(a)|=|10*\pi*z-sin(4 \pi)|=|10*\pi*z|[/mm]
>
> Meine Frage halt ob das so wie oben aussieht der Anfang
> oder doch so:
>
> |f(z)-f(a)|=|sin(z)-sin(4 [mm]\pi)|=|sin(z)|[/mm]
na Mensch - wofür habe ich Dir denn gesagt, dass Du [mm] $d:=4*\pi-10 [/mm] > 0$ berechnen sollst?
Pass' auf: Ein Beispiel, wo das gleiche Prinzip vorherrscht:
Sei [mm] $g\,$ [/mm] die Signum-Funktion, also $g(x)=-1$ für $x < [mm] 0\,,$ [/mm] $g(0)=0$ und $g(x)=1$ für $x > [mm] 0\,.$ [/mm]
Wir wollen zeigen, dass [mm] $g\,$ [/mm] stetig in [mm] $x_0=1.5$ [/mm] ist. Im Folgenden sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, und wir suchen ein zu [mm] $x_0=0$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] "passendes [mm] Stetigkeits-$\delta$" [/mm] - wir fordern nur direkt schonmal [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
1.) Wann wird das (unnötig) kompliziert? Wenn wir "zu große Umgebungen um [mm] $x_0=1.5$ [/mm] betrachten". (Etwa [mm] $\delta=10\,$ [/mm] wäre ungünstig!)
2.) Wie bekommen wir das einfach? Naja, wenn wir [mm] $\delta [/mm] < [mm] |x_0-0|=|x_0|$ [/mm] haben, dann gilt doch:
Jedes [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] muss notwendigerweise auch $z > 0$ erfüllen. Damit wird das ganze trivial.
Wir können (HIER) also [mm] $\delta=\text{min}\{\epsilon,\;1.5\}$ [/mm] setzen (es war ja [mm] $x_0=1.5$) [/mm] (oder HIER: [mm] $\delta=\epsilon$).
[/mm]
Analoge Übertragung bei Dir:
Wenn Du nur noch die [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z-4*\pi| [/mm] < [mm] (4*\pi-10)=:d$ [/mm] betrachtest: Was gilt dann für [mm] $f(z)\,$?
[/mm]
(Beim Beweis kann man also sinnvollerweise schonmal [mm] $\delta:=\min\{d,...\}$ [/mm] schreiben, wobei die [mm] $...\,$ [/mm] später ergänzt werden sollten!)
Tipp:
Um das alles besser zu verstehen: Skizziere Dir mal den Graphen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Bei mir raucht's gerade, an der Stelle schonmal danke, dass du nicht verzweifelst, bei mir dauert das ganze immer etwas.
Also, der Graph ist bis x=10 eine ziemlich steile Gerade. Ab x=10 geht das ganze in die Sinusfunktion über.
Wenn ich das nun analog übertrage, dann sollte [mm] \delta [/mm] < |4 [mm] \pi-10| [/mm] Also [mm] \delta [/mm] sollte kleiner sein als circa. 2,5663... weil ich sonst in den Bereich der Geraden kommen und es unnötig kompliziert wird. (In x=10 ist die Funktion unstetig oder?)
Das heißt im Klartext ich beginne so:
[mm] |f(z)-f(a)|=|10\cdot{}\pi\cdot{}z-sin(4 \pi)|=|10\cdot{}\pi\cdot{}z|
[/mm]
Stimmt das bis hierhin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bei mir raucht's gerade, an der Stelle schonmal danke, dass
> du nicht verzweifelst, bei mir dauert das ganze immer
> etwas.
>
> Also, der Graph ist bis x=10 eine ziemlich steile Gerade.
> Ab x=10 geht das ganze in die Sinusfunktion über.
>
> Wenn ich das nun analog übertrage, dann sollte [mm]\delta[/mm] < |4
> [mm]\pi-10|[/mm] Also [mm]\delta[/mm] sollte kleiner sein als circa.
> 2,5663...
das brauchst Du nicht abschätzen, es reicht [mm] $\delta \le |4*\pi-10|=4\pi-10$ [/mm] zu fordern - beachte auch, dass [mm] $4\pi-10 [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
> weil ich sonst in den Bereich der Geraden kommen
> und es unnötig kompliziert wird. (In x=10 ist die Funktion
> unstetig oder?)
>
> Das heißt im Klartext ich beginne so:
>
> [mm]|f(z)-f(a)|=|10\cdot{}\pi\cdot{}z-sin(4 \pi)|=|10\cdot{}\pi\cdot{}z|[/mm]
>
> Stimmt das bis hierhin?
Na: Du hast gerade gesagt, dass, wenn Du [mm] $\delta \le 4*\pi-10$ [/mm] verlangst, dann die [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z-4*\pi| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] alle in dem Bereich der Funktion liegen, "wo der Sinus tanzt". Und dann schreibst Du oben doch [mm] $|f(z)-f(a)|=|\red{10*\pi*z}-0|$?
[/mm]
Also:
Schreibe halt dazu, dass nur die [mm] $z\,$ [/mm] mit $|z-a| < [mm] \delta \le 4*\pi-10$ [/mm] betrachtet werden, und dann denke nochmal über den rotmarkierten Teil nach, was dann da sinnvollerweise hingehört...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:52 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja klar, sorry, was schreib ich da fürn blödsinn, ist schon spät deswegen wohl.
Es muss natürlich lauten:
|sin(z)-0|=|sin(z)| [mm] \le [/mm] 1
Das ist ja schonmal was.
Noch eine Sache zu dem min{...}, da hakt es immernoch bei mir. Jetzt müsste bis zu dem Zeitpunkt doch [mm] \delta=min(1,...) [/mm] da stehen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja klar, sorry, was schreib ich da fürn blödsinn, ist
> schon spät deswegen wohl.
>
> Es muss natürlich lauten:
>
> |sin(z)-0|=|sin(z)| [mm]\le[/mm] 1
ja das stimmt, aber...
> Das ist ja schonmal was.
auch das stimmt. Nur: Was wolltest Du denn haben? Wir wollten [mm] $|\sin(z)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] sehen... soweit sind wir (noch) nicht. Du bist noch nicht fertig!!
> Noch eine Sache zu dem min{...}, da hakt es immernoch bei
> mir. Jetzt müsste bis zu dem Zeitpunkt doch
> [mm]\delta=min(1,...)[/mm] da stehen oder?
Nein. Das [mm] $\delta$ [/mm] "schränkt doch auf der x-Achse ein". Wir wollten $(0 [mm] \;<)\;\;\;\delta \le \blue{{\mathbf 4*\pi-10}}=:d$ [/mm] haben. Also denk' nochmal drüber nach, was dann bei [mm] $\delta:=\min \{\blue{\text{?}},\;...\}$ [/mm] wohl schonmal einzutragen ist (und mach' Dir klar, wieso!)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Bitte nicht den Kopf abreißen, dass ich so schnell antworte.
[mm] \delta:=\min (4*\pi-10\;...)
[/mm]
Meiner Meinung nach, da ich ja mit diesem [mm] \delta [/mm] mich weiterhin "im Sinus" bewege und nicht in den Bereich der Geraden komme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bitte nicht den Kopf abreißen, dass ich so schnell
> antworte.
wenn Du Dir mal richtig Gedanken gemacht hast oder glaubst, schon "sicher im Umgang mit den Sachen, die Du behandelst, zu sein", ist das ja auch okay. Aber wenn permanent "Schnellschüsse" ins Leere laufen, dann musst Du doch selbst merken, dass Du nicht lange genug über die Sachen nachdenkst!
> [mm]\delta:=\min (4*\pi-10\;...)[/mm]
>
> Meiner Meinung nach, da ich ja mit diesem [mm]\delta[/mm] mich
> weiterhin "im Sinus" bewege und nicht in den Bereich der
> Geraden komme.
Richtig! (Du merkst aber auch schon, dass das, was wir machen, was bringt, oder? Jetzt war Deine Begründung absolut korrekt!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, das habe ich damit schonmal verstanden.
Bei Funktionen die nicht Stückweise definiert sind, wähle ich es meistens [mm] \delta=(1,...) [/mm] oder?
Jetzt aber zurück zur Aufgabe:
Ich will ja zeigen, dass:
[mm] |sin(z)|<\epsilon [/mm] gilt mit [mm] |z-4*\pi|<\delta
[/mm]
Normal müsste ich das ganze ja irgendwie ineinander einsetzen um weiter zu machen, das geht hier aber schlecht, wie könnte ich hier weitermachen bzw. ein passendes [mm] \delta [/mm] wählen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, das habe ich damit schonmal verstanden.
>
> Bei Funktionen die nicht Stückweise definiert sind, wähle
> ich es meistens [mm]\delta=(1,...)[/mm] oder?
eben stand doch nicht [mm] $1\,,$ [/mm] sondern [mm] $4\pi-10$ [/mm] da... mach' Dir jetzt mal klar, was da bei stückweise definierten Funktionen schonmal oft ein sinnvoller Kandidat sein kann...
> Jetzt aber zurück zur Aufgabe:
>
> Ich will ja zeigen, dass:
>
> [mm]|sin(z)|<\epsilon[/mm] gilt mit [mm]|z-4*\pi|<\delta[/mm]
>
> Normal müsste ich das ganze ja irgendwie ineinander
> einsetzen um weiter zu machen, das geht hier aber schlecht,
> wie könnte ich hier weitermachen bzw. ein passendes [mm]\delta[/mm]
> wählen?
Benutze schonmal direkt die Periodizität des Sinus (dann führst Du die ganze Aufgabe darauf zurück, die Stetigkeit des Sinus in [mm] $0\,$ [/mm] zu zeigen)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Der Sinus liegt ja zwischen -1 und 1, warum soll ich denn nun die Stetigkeit in 0 zeigen, es geht doch um [mm] 4*\pi, [/mm] ich blick nicht mehr durch...
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Hallo,
ich hoffe so sehr, daß Du bald alles verstehst! Ich hab' nämlich etwas Angst davor, daß es einen Knall gibt und mein Bildschirm von diesem überbreiten Thread gesprengt wird.
Es geht hier also darum, daß für
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 10\cdot{}\pi\cdot{}x, & \mbox{für } x \le 10 \\ \sin(x), & \mbox{für } x > 10\end{cases} [/mm] $
an der Stelle $ [mm] x_0=4\cdot{}\pi\$ [/mm] die Stetigkeit gezeigt werden soll.
> Der Sinus liegt ja zwischen -1 und 1,
Die Funktionswerte liegen zwischen -1 und 1, was einen aber nicht daran hindert, die Stetigkeit der Sinusfunktion an der Stelle [mm] x_1=4711 [/mm] nachweisen zu können.
Das machen wir aber nicht!
> warum soll ich denn
> nun die Stetigkeit in 0 zeigen, es geht doch um [mm] $4*\pi,$ [/mm] ich
> blick nicht mehr durch...
Willst Du den armen Marcel, der Dir aufopferungsvoll hilft, ins Grab bringen?
Du mußt schon richtig lesen, also langsam und gründlich, und nicht irgendwelche Triggerwörter aufschnappen und was Eigenes und leider völlig anderes daraus basteln!
Also, tief durchatmen:
natürlich sollst Du weiterhin die Stetigkeit an der Stelle [mm] x_0=4\pi [/mm] zeigen.
Nun ist die Sinusfunktion ja periodisch. Marcel schrieb, daß Du die Aufgabe auf die Stetigkeit an der Stelle 0 "zurückführen" kannst.
Sagen wir's ander: laß Dich vom Beweis der Stetigkeit an der Stelle 0 inspirieren.
Daß das [mm] \delta [/mm] sinnigerweise kleiner sein sollte als der Abstand von [mm] x_0=4\pi [/mm] zur Stelle 10 hast Du ja schon herausgefunden.
Daß, was beim Stetigkeitsbeweis der Sinusfunktion an der Stelle 0 ansonsten so passiert, kannst Du nun um [mm] 4\pi [/mm] nach rechts verlegen.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Sa 24.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ah, ich bin ja bescheuert, es gilt ja:
[mm] sin(n*\pi)=0
[/mm]
Und nein, ich will niemanden in's Grab bringen, ich brauche halt meine Zeit.
Wir waren ja dabei zu zeigen:
[mm] |sin(z)-sin(4*\pi)|=|sin(z)|<\epsilon [/mm] mit [mm] |z-4*\pi|<\delta
[/mm]
Ich kann nun genauso so gut auch folgendes zeigen:
[mm] |sin(z)-sin(0)|=|sin(z)|<\epsilon [/mm] mit [mm] |z-0|=|z|<\delta
[/mm]
[mm] |sin(z)+z-z|\le [/mm] |sin(z)| + |z+(-z)| [mm] \le |sin(z)|+|z|+|-z|=|sin(z)|+2|z|<\epsilon
[/mm]
Kann ich das bis dahin so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Sa 24.03.2012 | | Autor: | leduart |
ahallo
Nein, dann musst du ne lange Rede verfassen warum du die stetigkeit bei 0 und nicht bei [mm] 4\pi [/mm] zeigst. es geht schon um [mm] |z-4\pi|< [/mm] delta, nur dass es genauso läuft wie bei 0-
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 So 25.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich bekomme es nichtmal für 0 gezeigt... tut mir Leid, dass ich eure Zeit verschwendet habe, aber es hat hier keinen Sinn mehr, da ich mich nur im Kreis drehe, dennoch danke.
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> Ich bekomme es nichtmal für 0 gezeigt... tut mir Leid,
> dass ich eure Zeit verschwendet habe, aber es hat hier
> keinen Sinn mehr, da ich mich nur im Kreis drehe, dennoch
> danke.
Hallo,
mach keine Witze!
Hier wird seit Tagen daran gearbeitet, den größten Thread aller Zeiten zu erzeugen, und Du willst einfach aufhören?
Das kannst Du uns nicht antun!
Verrätst noch nicht einmal, warum Du die Stetigkeit der Sinusfunktion im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] nicht zeigen kannst?
Wir zeigen (=ich zeige) jetzt mal die Stetigkeit des sin in [mm] x_0=0:
[/mm]
Es sei [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Wir müssen nun ein [mm] \delta>0 [/mm] finden, so daß für alle x, die nicht weiter als [mm] \delta [/mm] von [mm] x_0=0 [/mm] entfernt sind gilt: [mm] |sin(x)-sin(0)|<\varepsilon.
[/mm]
Beispiel, damit ich verstehe, was zu tun ist:
Ich gebe mir mal ein [mm] \varepsilon [/mm] vor, etwa [mm] \varepsilon=0.75.
[/mm]
Jetzt muß ich gucken, an welchen x-Stellen um die Funktionswerte
nicht weiter als 0.75 von sin(0) abweichen, damit ich später ein passendes [mm] \delta [/mm] angeben kann.
Der Bereich geht ungefähr von -0.8 bis 0.8.
Verdacht: sollte ich Glück haben und womöglich auch [mm] \delta=0.75 [/mm] wählen können?
Ich schaue mir den Graphen von sin(x) in der Nähe der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] an und stelle fest: der verläuft für x>0 immer unterhalb der Winkelhalbierenden, für x<0 oberhalb, es gilt hier also: |sin(x)|<|x|.
Allein der Augenschein aufgrund eines Bildchens reicht natürlich noch nicht. Ich muß die Erkenntnis, daß im pos. Bereich der x-Achse sin(x)<x gilt, noch durch Blättern in meinen Unterlagen untermauern. Blätter, blätter - gefunden!
So, zu [mm] \varepsilon:=0.75 [/mm] wähle ich [mm] \delta:=0.75. [/mm] Für alle [mm] x\in [/mm] ]-0.75, 0.75[ gilt
[mm] |sin(x)-sin(0)|=|sin(x)|\le |x|<0.75=\varepsilon.
[/mm]
Experiment geglückt.
Man kann mutig werden und nun den Beweis versuchen. Nur diesen schreibt man im Endeffekt auf. So machen die Chefs das auch, und deshalb ist man manchmal so verblüfft und fragt ich: woher kommt da alles?
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Wähle [mm] \delta :=\varepsilon.
[/mm]
Für alle x mit [mm] |x-0|<\delta [/mm] gilt
[mm] |sin(x)-sin(0)|=|sin(x)|<|x|<\delta [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also ist sin(x) an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] stetig.
---
So, für Deine Zwecke muß das ganze nun um [mm] 4\pi [/mm] nach rechts verlegt werden. Warnung: ohne Skizze brauchst Du gar nicht anzufangen!
Wir lassen jetzt erstmal die stückweise definierte Funktion, um die es eigentlich geht, weg und zeigen bloß, daß sin(x) ander Stelle [mm] x_0=4\pi [/mm] stetig ist.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 und [mm] \delta:= [/mm] ...
Nun überlege Dir mal ausgehenden von dem, was oben überlegt wurde, wie breit wir das Intervall um [mm] x_0=4\pi [/mm] wählen könnten.
Führe dann den Beweis.
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Nun zur stückweise definierten Funktion. Auch hier brauchst Du eine Zeichnung, ungefähr für den Bereich von 9 bis 15.
Sei [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Ihr hattet zuvor schon gesagt, daß es unsinnig wäre, [mm] \delta [/mm] größer zu wählen als den Abstand zwischen [mm] x_0 [/mm] und der Stelle x=10.
Auf jeden Fall sollte also [mm] \delta< 4\pi-10 [/mm] sein.
Oben hast Du nun (hoffentlich) festgestellt, was man als [mm] \delta [/mm] nehmen kann. Ist dieses [mm] \delta [/mm] kleiner als [mm] 4\pi-10, [/mm] nimmst Du's, ansonsten nimmst Du halt lieber als [mm] \delta [/mm] die Zahl [mm] 4\pi-10.
[/mm]
Kurz: Du wählst [mm] \delta:=min\{...,...\}.
[/mm]
Und jetzt führe den Beweis.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Eine andere Sache, einfachmal zum Interesse und zwar bin
> ich gerade bei Stetigkeit und ich würde gerne zur Übung
> einfach mal zeigen, dass
>
> [mm]f(x)=x^3+2x+3[/mm] stetig ist in z=0.
>
> Ich mache das mit dem [mm]\epsilon-\delta-Verfahren.[/mm]
Es schadet sicher nicht, das [mm] "$\epsilon-\delta$-Verfahren" [/mm] einzuüben. In der Klausur würde ich dir allerdings raten, zunächst das Folgenkriterium der Stetigkeit zu versuchen. In den meisten Fällen (wie bei dem von dir genannten Polynom f) dürfte das deutlich einfacher sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Eine andere Sache, einfachmal zum Interesse und zwar bin
> > ich gerade bei Stetigkeit und ich würde gerne zur Übung
> > einfach mal zeigen, dass
> >
> > [mm]f(x)=x^3+2x+3[/mm] stetig ist in z=0.
> >
> > Ich mache das mit dem [mm]\epsilon-\delta-Verfahren.[/mm]
> Es schadet sicher nicht, das "[mm]\epsilon-\delta[/mm]-Verfahren"
> einzuüben. In der Klausur würde ich dir allerdings raten,
> zunächst das Folgenkriterium der Stetigkeit zu versuchen.
> In den meisten Fällen (wie bei dem von dir genannten
> Polynom f) dürfte das deutlich einfacher sein.
oder noch schneller:
Summen und Produkte (endlich vieler) stetiger Funktionen sind stetig! (Falls das schon benutzt werden darf!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, darf benutzt werden, aber die Sache würde ich trotzdem gerne mal probieren.
Definition:
Sei D [mm] \subset \IC [/mm] und f: [mm] D->\IC [/mm] eine Fkt.
f heißt stetig in einem Punkt a [mm] \in [/mm] D, falls für alle Folgen [mm] (z_n)_n [/mm] in D die Implikation gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_n=a=>\limes_{n\rightarrow\infty} f(z_n)=f(a)
[/mm]
Wie wende ich dies an bei meiner Funktion an? [mm] (f(x)=x^3+2x+3)
[/mm]
Muss ich da ein [mm] z_n [/mm] wählen oder wie muss ich mir das vorstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ja, darf benutzt werden, aber die Sache würde ich trotzdem
> gerne mal probieren.
>
> Definition:
>
> Sei D [mm]\subset \IC[/mm] und f: [mm]D->\IC[/mm] eine Fkt.
>
> f heißt stetig in einem Punkt a [mm]\in[/mm] D, falls für alle
> Folgen [mm](z_n)_n[/mm] in D die Implikation gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} z_n=a=>\limes_{n\rightarrow\infty} f(z_n)=f(a)[/mm]
>
> Wie wende ich dies an bei meiner Funktion an?
> [mm](f(x)=x^3+2x+3)[/mm]
>
> Muss ich da ein [mm]z_n[/mm] wählen oder wie muss ich mir das
> vorstellen?
Genau. Du wolltest die Stetigkeit an der Stelle 0 zeigen. Also nimmst du eine Folge [mm] z_n, [/mm] die gegen 0 konvergiert und folgerst, dass [mm] f(z_n) [/mm] gegen f(0) konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Also zum Beispiel die Folge [mm] (\bruch{1}{n})_n.
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0=>\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^3}+\bruch{2}{n}+3=3=f(0)
[/mm]
Verstehe, danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:30 Sa 24.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also zum Beispiel die Folge [mm](\bruch{1}{n})_n.[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0=>\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^3}+\bruch{2}{n}+3=3=f(0)[/mm]
>
> Verstehe, danke.
Ja, aber um die Stetigkeit mit dem Folgenkriterium zu zeigen, musst du für JEDE Folge [mm] $(z_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] z_n [/mm] konvergent gegen 0 zeigen, dass die Folge der [mm] f(z_n) [/mm] gegen f(0) konvergiert. Es reicht nicht, nur die Folge [mm] (\bruch1n)_{n\in\IN} [/mm] zu betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 24.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Wie soll das denn gehen? Es gibt doch unendlich viele Folgen, die gegen 0 konvergieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 24.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
manchmal gelingt es dass für eine allgemeine folge [mm] x_n->0 [/mm] zu zeigen, sonst ist [mm] \epsilon-\delta [/mm] stetigkeit meist einfacher um Stetigkeit zu beweisen, folgenstetigkeit leichter um Unstetgkeit zu zeigen, weil man da nur eine Folge braucht, um die unst. zu zeigen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 24.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wie soll das denn gehen? Es gibt doch unendlich viele
> Folgen, die gegen 0 konvergieren.
Zur Erinnerung: Es geht um die Stetigkeit von $ [mm] f(x)=x^3+2x+3 [/mm] $ im Punkte 0.
Sei [mm] (z_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge, die gegen 0 konvergiert. Nach den Rechenregeln für konvergente Folgen gilt:
[mm] $f(z_n)=z_n^3+2z_n+3=z_n\cdot z_n\cdot z_n+2\cdot z_n+3\longrightarrow_{n\to\infty}0\cdot0\cdot0+2\cdot0+3=0^3+2\cdot0+3=f(0)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Sa 24.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, das sehe ich ein, ich schreibe als einfach sei [mm] (z_n)_n [/mm] eine beliebige Folge, die gegen 0 konvergiert, ich denke ich habe es verstanden, danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Der Satz besagt nun, dass ein x [mm]\in[/mm] (a,b) ex. mit f(x)=y,
> damit hätten wir es doch oder?
Ja
FRED
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