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Forum "Uni-Analysis" - Umkehrfunktion aufgabe
Umkehrfunktion aufgabe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Umkehrfunktion aufgabe: Lösung - richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Sa 14.05.2005
Autor: rotespinne

Ich habe folgende Aufgabe : Geben sie f ( x ) an, wenn gilt :

f ( x +  [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] x^2 +\bruch{1}{x^2} [/mm]  , für x ungleich null

Ich habe mir gedacht ich setze einfach in f ( x ) die Umkehrfunktion ein, also x - [mm] \bruch{1}{x} [/mm]  , oder?

Aber dann bekomme ich ganz blöde Probleme beim Auflösen. Ich stehe da gerade völliga uf dem Schlauch .
Bei mir würde dann stehen : f ( x - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ) = ( x - [mm] \bruch{1}{x})^2 [/mm] + ..... ? Hier weiß ich schon nicht weiter :( Bitte helft mir!

Wie sieht das ganze denn dann aufgelöst aus? Oder bin ich da schon falsch? und noch eine Frage : WAs ist die Umkehrfunktion von : [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

        
Bezug
Umkehrfunktion aufgabe: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Sa 14.05.2005
Autor: MathePower

Hallo,

> Ich habe folgende Aufgabe : Geben sie f ( x ) an, wenn gilt
> :
>  
> f ( x +  [mm]\bruch{1}{x})[/mm] = [mm]x^2 +\bruch{1}{x^2}[/mm]  , für x
> ungleich null

so wie das aussieht, ist das das quadrierte Argument minus einem konstanten Anteil.

[mm]f\left( {x\; + \;\frac{1} {x}} \right)\; = \;x^{2} \; + \;\frac{1} {{x^{2} }}\; = \;\left( {x\; + \;\frac{1} {x}} \right)^{2} \; - 2[/mm]

Gruß
MathePower

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Umkehrfunktion aufgabe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Sa 14.05.2005
Autor: rotespinne

Was ist das denn bitte? Oder kann mit jemand erläutern wie ich darauf komme???

DANKE :)

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Umkehrfunktion aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Sa 14.05.2005
Autor: Stefan

Hallo rotespinne!

Dein Fehler war zunächst, dass

$h(x) = x - [mm] \frac{1}{x}$ [/mm]

nicht die Umkehrfunktion von $g(x) = x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] ist.

Weiterhin, um deine letzte Frage zu beantworten:

Die Umkehrfunktion von [mm] $g(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] ist $h(x) = [mm] \frac{1}{x}$, [/mm] denn

[mm] $\frac{1}{\frac{1}{x}} [/mm] = x$.

So, jetzt aber zu dem Problem selbst, das Michael sehr gut gelöst hat. [ok]

Mit der Umkehrfunktion kommt man hier nicht weiter, da $x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] keine Umkehrfunktion hat.

Man muss hier klüger vorgehen, so wie Michael.

Wir haben ja:

[mm] $f\left( x + \frac{1}{x} \right) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2}$. [/mm]

Jetzt versuchen wir mal auf die rechte Seite "künstlich" als Funktion von $x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] zu schreiben (um dann abschließend $x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] durch $x$ zu ersetzen!).

Wir schreiben :

[mm] $x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] = [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] - [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2}$. [/mm]

Wie sind nun die Punkte zu ersetzen? Wir müssen alles abziehen, was wir "unerlaubterweise" vorher dazuaddiert haben!

Gemäß der binomischen Formel gilt:

[mm] $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2 + [mm] \frac{1}{x^2}$. [/mm]

Also müssen wir $2 + [mm] \frac{1}{x^2}$ [/mm] abziehen, denn das ist ja gegenbüber [mm] $x^2$ [/mm] dazugekommen.

Somit erhalten wir:

$f [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] =   [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] -   [mm] \left(2 + \frac{1}{x^2} \right) [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2} [/mm] = [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] - 2$.

Wir haben also, wie Michael geschrieben hat:

$f [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right) [/mm] = [mm] \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 [/mm] - 2$.

Nun können wir $x + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] durch $x$ ersetzen und erhalten:

$f(x) = [mm] x^2-2$. [/mm]

Viele Grüße
Stefan

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Umkehrfunktion aufgabe: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Sa 14.05.2005
Autor: rotespinne

Ach so :) Das klingt logisch :) DANKE !!!!
Dennoch wüsste ich noch gerne ob es eine einfach Formel gibt mit der ich ganz sicher immer die richtige Umkehrfuntion bekomme?

Bezug
                                        
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Umkehrfunktion aufgabe: Nicht immer eindeutig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Sa 14.05.2005
Autor: Loddar

Hallo rotespinne!


> Dennoch wüsste ich noch gerne ob es eine einfach Formel
> gibt mit der ich ganz sicher immer die richtige
> Umkehrfunktion bekomme?

Das kann man ganz klar verneinen: diese "einfache Formel" gibt es nicht !!

Du kannst halt immer nur versuchen, die beiden Variablen zu vertauschen unddann wieder nach x umzustellen.

Aber so etwas scheitert ja schon an ziemlich simplen Funktionen, daß man eine eindeutige Umkehrfunktion bestimmen kann: $y \ = \ [mm] x^2$ [/mm]

Hier muß man ja schon eine Fallunterscheidung bzw. Einschränkung machen, daß man z.B. nur nicht-negative x-Werte betrachtet ($x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$).


Gruß
Loddar


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