Umkehrfunktion bei Komposition < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Sei f [mm] \in [/mm] Abb. (M, N). Beiweisen sie.
a) Gibt es ein g [mm] \in [/mm] Abb(N, M): f [mm] \circ g=id_N, [/mm] so ist f surjektiv
EDIT: b) Gibt es ein [mm]\tilde g[/mm] [mm] \in [/mm] Abb(N, [mm] M):\tilde{g} \circ [/mm] f = [mm] id_M [/mm] $ so ist f injektiv
c) Sind beide Bedingungen Erfüllt, so ist f bijektiv und g=[mm]\tilde g[/mm]=f^-1
d) In den ersten beiden Fällen sind g, [mm]\tilde g[/mm] nicht eindeutig bestimmt. |
N'abend,
a) und b) war nach ein bisschen knobeln nicht das Problem.
Das Problem liegt eher bei c) und d).
Zu c)
Erstmal grundlegend.
"Sind beide Bedingungen erfüllt" heiß ja, dass a) und b) gilt. Das f dann bijektiv wäre ist auch klar, nur wie kann eine Kompositon zweier Funktionen gleichzeitig [mm] id_M [/mm] und [mm] id_M [/mm] sein. Das sind ja die Voraussetzungen für die Injektivität und Surjektivität.
Oder bedeutet hier unter "beiden Bedingungen" einfach f ist surjektiv und injektiv? (Für mich sind das aber nicht die Bedingungen, sondern die zu Zeigenden Folgerungen)
Es erscheint mir logisch und ich kann es mir "bildlich" erklären. Nur mathematisch fehlt mir der Ansatz. (http://imageshack.us/f/33/unbenanntljq.jpg/)
Ich hoffe das ist verständlich. Man sieht ja, dass g und [mm]\tilde g[/mm] jeweils f umkehren.
Ich denke aber meine bescheidenen Malkünste mit Paint reichen als Beweis nicht aus 
Oder ich bin schon bei meinem Denkansatz vollkommen auf dem Holzweg.
zu d)
Was heißt denn genau "nicht eindeutig bestimmt"
Das g und [mm]\tilde g[/mm] keine Funktion sind?
Gruß
sup
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moin,
Also zu aller erst mal solltest du glaube ich die Aufgabenstellung nochmal ganz genau lesen.
Denn entweder du hast dich da verlesen oder hier vertippt, aber b) passt so garnicht...
Ich nehme - aus den restlichen Aufgabenteilen heraus - mal an, dass b) so lauten sollte:
Ist [mm] $\overline{g} \in [/mm] Abb.(N,M): g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_M$ [/mm] so ist f injektiv.
Anders würde das für mich eigendlich keinen Sinn ergeben...
Zum "nicht eindeutig bestimmt": Das heißt einfach, dass es mehrere Funktionen g sowie [mm] $\overline{g}$ [/mm] gibt, die diese Bedinungen erfüllen.
Nur im Fall c), also wenn f bijektiv ist, gibt es genau eine.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 29.05.2011 | | Autor: | Sup |
In der Tat, bei der b) habe ich mich vertippt.
Wie du richtig erkannt hast soll das g [mm] \circ [/mm] f= [mm] id_M [/mm] heißen
und wie zeige ich die c) und d)?
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Nun, c) ist leicht.
Du hast aus a) und b) bereits, dass f surjektiv und injektiv ist..
Damit dürfte es nicht so schwer sein zu beweisen, dass f bijektiv ist. ;)
Dann musst du nur noch zeigen, dass die beiden g's gleich sind, das dürfte mit dem Wissen aus a) und b) aber eigendlich auch machbar sein.
Zu d):
Du sollst zeigen, dass die beiden g's nicht eindeutig sind, also dass es verschiedene Funktionen gibt, die die Bedinungen erfüllen.
Es reicht also an einem Beispiel zwei g's für a) und zwei für b) zu finden, die verschieden sind und das trotzdem erfüllen.
Überleg dir dafür am besten eine Funktion f, die surjektiv aber nicht injektiv ist (bzw. bei b) andersrum).
Das ganze für hübsch kleine M und N, also mehr als 5 Elemente sollte keine der Mengen haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 29.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Nun, c) ist leicht.
> Du hast aus a) und b) bereits, dass f surjektiv und
> injektiv ist..
> Damit dürfte es nicht so schwer sein zu beweisen, dass f
> bijektiv ist. ;)
Ja gut in dem Fall ist es halt per Definiton schon geklärt, dass f bijektiv ist.
Ich versteh aber noch nicht wie beide Bedingungen von a) und b) gleichzeitug erfüllt werden können (siehe 1. Post)
> Dann musst du nur noch zeigen, dass die beiden g's gleich
> sind, das dürfte mit dem Wissen aus a) und b) aber
> eigendlich auch machbar sein
Naja aus dem Aufgabentext entnehme ich das f: [mm] M\toN [/mm] abbildet und g bzw. [mm]\tilde g[/mm] N [mm] \to [/mm] M abbilden. Damit kehren sie die Funktion f um. Und je nach Art der Komposition komm [mm] id_N [/mm] oder [mm] id_M [/mm] raus.
Aber das ist doch nicht der Beweis oder?
> Zu d):
> Du sollst zeigen, dass die beiden g's nicht eindeutig
> sind, also dass es verschiedene Funktionen gibt, die die
> Bedinungen erfüllen.
> Es reicht also an einem Beispiel zwei g's für a) und zwei
> für b) zu finden, die verschieden sind und das trotzdem
> erfüllen.
> Überleg dir dafür am besten eine Funktion f, die
> surjektiv aber nicht injektiv ist (bzw. bei b) andersrum).
> Das ganze für hübsch kleine M und N, also mehr als 5
> Elemente sollte keine der Mengen haben.
Ok ich versuch's, auch wenn ich relativ shclecht in Gegenbsp. finden bin^^
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> > Dann musst du nur noch zeigen, dass die beiden g's gleich
> > sind, das dürfte mit dem Wissen aus a) und b) aber
> > eigendlich auch machbar sein
> Naja aus dem Aufgabentext entnehme ich das f: [mm]M\toN[/mm]
> abbildet und g bzw. [mm]\tilde g[/mm] N [mm]\to[/mm] M abbilden. Damit kehren
> sie die Funktion f um. Und je nach Art der Komposition komm
> [mm]id_N[/mm] oder [mm]id_M[/mm] raus.
> Aber das ist doch nicht der Beweis oder?
Hallo,
nein. Mich zumindest überzeugt es nicht.
Du mußt vormachen, daß für alle [mm] n\in [/mm] N gilt: [mm] g(n)=\tilde{g}(n).
[/mm]
Wie bereits erwähnt, solltest Du das in den ersten Aufgabenteilen Bewiesene dafür verwenden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Sup |
Ja ich habe es letzendlich doch noch anders gemacht:
ich habe gezeigt, dass f [mm] \circ [/mm] f(^-1)= [mm] id_N [/mm] ist und f^(-1) [mm] \circ [/mm] f= [mm] id_M.
[/mm]
Und da das so ist folgt die Gleichheit von f^-1=g=[mm]\tilde g[/mm]
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> Ja ich habe es letzendlich doch noch anders gemacht:
>
> ich habe gezeigt, dass f [mm]\circ[/mm] f(^-1)= [mm]id_N[/mm] ist und f^(-1)
> [mm]\circ[/mm] f= [mm]id_M.[/mm]
Hallo,
ich bin nicht frei von Besorgnis bzgl. Deiner Argumentation:
wo hast Du Dein [mm] f^{-1} [/mm] hergenommen?
Daß die obigen beiden Gleichungen gelten, sofern man die Funktion [mm] f^{-1} [/mm] hat, ist ja kein Wunder.
Das Wunder - sofern es eins ist - ist eher die Existenz von [mm] f^{-1}.
[/mm]
Aber klar: wenn Du einen Grund dafür hast, daß [mm] f^{-1} [/mm] existiert,
dann kannst Du mit entsprechender Begründung folgern, daß die drei Funktionen gleich sind:
> Und da das so ist folgt die Gleichheit von f^-1=g=[mm]\tilde g[/mm]
Gruß v. Angela
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> Sei f [mm]\in[/mm] Abb. (M, N). Beiweisen sie.
> a) Gibt es ein g [mm]\in[/mm] Abb(N, M): f [mm]\circ g=id_N,[/mm] so ist f
> surjektiv
> EDIT: b) Gibt es ein [mm]\tilde g[/mm] [mm]\in[/mm] Abb(N, [mm]M):\tilde{g} \circ[/mm]
> f = [mm]id_M[/mm] so ist f injektiv
> c) Sind beide Bedingungen Erfüllt, so ist f bijektiv und
> g=[mm]\tilde g[/mm]=f^-1
> d) In den ersten beiden Fällen sind g,
> [mm]\tilde g[/mm] nicht eindeutig bestimmt.
>
> Zu c)
> Erstmal grundlegend.
> "Sind beide Bedingungen erfüllt" heiß ja, dass a) und b)
> gilt.
Hallo,
ja, daß es Funktionen g und [mm] \tilde{g} [/mm] gibt mit den angegebenen Eigenschaften.
> Das f dann bijektiv wäre ist auch klar, nur wie kann
> eine Kompositon zweier Funktionen gleichzeitig [mm]id_M[/mm] und
> [mm]id_M[/mm] sein.
Du meinst [mm] id_M [/mm] und [mm] id_N. [/mm] Bitte etwas mehr Sorgfalt. Deinen Aufgabentext habe ich editiert.
Wo siehst Du denn ein Problem? Immerhin steht f einmal links und einmal rechts.
> Das sind ja die Voraussetzungen für die
> Injektivität und Surjektivitä
Ich verstehe nicht, was Du meinst.
Was genau ist die Voraussetzung wofür?
> Oder bedeutet hier unter "beiden Bedingungen" einfach f
> ist surjektiv und injektiv?
Nein, sondern daß es zwei solche Funktionen wie angegben gibt.
Daraus soll dann gefolgert werden, daß f bijektiv ist, und außerdem sollst Du zeigen, daß g und [mm] \tilde{g} [/mm] gleich sein müssen und es sich folglich um die Umkehrfunktion handelt.
Gruß v. Angela
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