Umkehrfunktion zeichnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} x^2-4x+1, & \mbox{für } x \ge 2 \\ 6x-x^2-11, & \mbox{für } x < 2 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
a) bestimmen sie den funktionsgraphen
b) begründen sie anhand der skizze: f ist umkehrbar. skizzieren sie den graphen der umkehrfunktion |
meine zeichnung lade ich hoch. wie zeichne ich die umkehrfunktion ?
ich weiß, dass sich die umkehrfunktion an der winkelhalbierende spiegelt. eine skizze würde ich so hinkriegen, ab eine zeichung nicht
kann ich bei der scheitelpunktform einfach x und y austauschen?
also [mm] (x-2)^2-3
[/mm]
umkehrfunktion --> [mm] (x+3)^2+2
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 So 12.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> f: [mm]\IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} x^2-4x+1, & \mbox{für } x \ge 2 \\ 6x-x^2-11, & \mbox{für } < 2 \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
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> a) bestimmen sie den funktionsgraphen
>
> b) begründen sie anhand der skizze: f ist umkehrbar.
> skizzieren sie den graphen der umkehrfunktion
>
> meine zeichnung lade ich hoch. wie zeichne ich die
> umkehrfunktion ?
> ich weiß, dass sich die umkehrfunktion an der
> winkelhalbierende spiegelt. eine skizze würde ich so
> hinkriegen, ab eine zeichung nicht
Es ist ja auch nur eine Skizze verlangt.
>
> kann ich bei der scheitelpunktform einfach x und y
> austauschen?
Die Antwort heißt "ja".
Deine Rechnung stimmt, aber jetzt wird es falsch :
>
> also [mm](x-2)^2-3[/mm]
>
> umkehrfunktion --> [mm](x+3)^2+2[/mm]
x<-->y führt zu $ x = [mm] (y-2)^2-3 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] y = 2 [mm] \pm \wurzel{x+3}
[/mm]
Du musst dir jetzt noch überlegen, ob + oder - zur gesuchten Umkehrfunktion gehört : Weil wir denjenigen Teil der Funktion f betrachten, der zu x [mm] \ge [/mm] 2 gehört, muss jetzt y [mm] \ge [/mm] 2 sein, also das "+"-Zeichen.
Dasselbe machst du jetzt für den anderen Zweig der Funktion und überzeugst dich (und den Lehrer) schließlich davon, dass die Umkehrung insgesamt tatsächlish eine Funktion darstellt.
Gruß Sax.
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habe ich die umkehrfunktion für die zweite gleichung richtig gebildet?
[mm] 6x-x^2-11 [/mm] = y
umkehren:
x= [mm] -y^2+6y-11
[/mm]
x = [mm] -(y^2-6y +3^2 -3^2) [/mm] -11
x = - [mm] (y-3)^2 [/mm] -2
-x-2 = [mm] (y-3)^2
[/mm]
y = [mm] 3-\wurzel{-x-2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 12.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das ist richtig, du solltest aber noch den Definitionsbereich für x angeben.
Gruß Sax.
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kann es denn sein, dass meine skizze falsch ist?
weil z.b x=-1 laut der gleichung y = [mm] 3-\wurzel{-x-2} [/mm] nicht definiert ist
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 12.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Nein, deine Skizze ist nicht falsch.
Das Problem kommt daher, dass du meinen Hinweis von oben nicht beachtet hast, nämlich den Definitionsbereich anzugeben.
Mache dir klar, dass für x<2, also für den zweiten Teil der Definition von f der y-Wert -1 niemals auftreten kann, also kann man auch den x-Wert -1 nicht in diesen Teil von [mm] f^{-1} [/mm] einsetzen.
Die Umkehrfunktion ist ebenfalls abschnittsweise definiert : Die y-Werte, die man bei f für $ x [mm] \ge [/mm] 2 $ erhält, sind die x-Werte für den ersten Teil der Umkehrung, die y-Werte, die man bei f für $ x < 2 $ erhält, sind die x-Werte für den zweiten Teil der Umkehrung.
Gruß Sax.
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