Umkehrfunktionen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
f(x)=1 durch x-1
Für welche Werte ist die funktion umkehrbar?Gib definitions und wertebereich an.
ALso ich habe die erste ableitung gebildet und dann für x werte eingesetzt und geschaut wie sich die funktion verhält habe jetzt 10 und -10 eingesetzt!
Die funktion ist umkehrbar da nur negative werte rauskommen
Aber wie ist das jetzt mit dem werte und definitionsbereich zu lösen?
Wie heißt der?
b.Bestimmt die umkehrfunktion von f(x).da weiß ich nicht wie ich anfangen muss.ich weiß das man nachher argumente vertauschen muss....
kann mir jemand auf die sprünge helfen wie ich anfangen muss...
Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Desperado,
da bin ich wieder ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") .
$f(x) = [mm] \bruch{1}{x-1}$
[/mm]
> Für welche Werte ist die funktion umkehrbar?Gib definitions
> und wertebereich an.
>
> ALso ich habe die erste ableitung gebildet und dann für x
> werte eingesetzt und geschaut wie sich die funktion verhält
> habe jetzt 10 und -10 eingesetzt!
> Die funktion ist umkehrbar da nur negative werte
> rauskommen
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ableiten ist hier nicht erforderlich ...
> Aber wie ist das jetzt mit dem werte und definitionsbereich
> zu lösen?
> Wie heißt der?
Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller x-Werte, die man in die Funktionsvorschrift einsetzen kann/darf.
Da man ja z.B. nie durch 0 teilen darf, untersuchen wir mal:
Wann wird bei f(x) durch 0 geteilt?
Genau dann, wenn der Zähler 0 wird.
Es muß also gelten: $(x-1) [mm] \not= [/mm] 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x [mm] \not= [/mm] 1$
Unser Definitionsbereich in [mm] $\IR$ [/mm] lautet also:
[mm] $D_x [/mm] = [mm] \IR \backslash \{1\} [/mm] = [mm] \{x \in \IR | x \not= 1\}$
[/mm]
Der Wertebereich gibt den Bereich aller y-Werte an, der bei dieser Funktion erzielt werden.
Für x-Werte nahe bei x=1 erhält man für die Funktion Werte die unendlich groß oder unendlich klein werden (je nachdem , ob ich mich von links oder rechts der 1 nähere).
Der einzige Wert, der für y = f(x) nie erzielt wird ist die 0.
Unser Wertebereich lautet also:
[mm] $W_y [/mm] = [mm] \IR \backslash \{0\} [/mm] = [mm] \{y = f(x) \in \IR | y \not= 0\}$
[/mm]
> b.Bestimmt die umkehrfunktion von f(x).da weiß ich nicht
> wie ich anfangen muss.ich weiß das man nachher argumente
> vertauschen muss....
Ob man nun zu Beginn oder am Ende die beiden Variablennamen vertauscht, ist völlig egal ...
Jedenfalls ermitteln wir eine Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}(x) [/mm] = [mm] f^{\star}(x)$ [/mm] (es gibt da mehrere Schreibweisen) aus der Funktion y = f(x), indem ich einfach nach der Variable x umstelle, sprich: auflöse.
Für unser Beispiel heißt das:
$y = [mm] \bruch{1}{x-1}$ [/mm] | $* [mm] \bruch{x-1}{y}$
[/mm]
$x-1 = [mm] \bruch{1}{y}$ [/mm] | +1
$x = [mm] \bruch{1}{y} [/mm] + 1 = [mm] \bruch{y+1}{y}$
[/mm]
Nun Variablentausch, und wir haben unsere Umkehrfunktion:
$y = [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x+1}{x}$
[/mm]
Alle klar(er) jetzt ??
Loddar
|
|
|
| |
|
man darf bei einer funktion nie durch 0 teilen thorsten?
Den rest habe ich verstanden alles verstanden!!
DANKE!!!
was ist gemeint mit bestimme die ableitungen der umkehrfunktion auf 2 arten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Desperado |
hey thorsten,das heißt ja dann das ich den nenner einer funktion soweit dies möglich ist einfach nach x auflöse um D rauszufinden.
Ich erinnere mich an Kurvendiskusionen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> das heißt ja dann das ich den nenner einer
> funktion soweit dies möglich ist einfach nach x auflöse um
> D rauszufinden.
Streng genommen, findest Du damit die Definitionslücken.
Sprich: die Werte die vom Definitionsbereich ausgeschlossen werden, weil sie nicht eingesetzt werden dürfen.
Anderes Beispiel wäre: $y = [mm] \wurzel{x-1}$.
[/mm]
Hier mußt Du den Ausdruck unter der Wurzel untersuchen, dieser darf nie negativ werden (in [mm] $\IR$).
[/mm]
> Ich erinnere mich an Kurvendiskusionen!
Ja-ja. In der Mathematik holt einen alles wieder ein ...
Loddar
|
|
|
|
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Du darfst NIE durch 0 teilen !!
Umkehrfunktion