Umkehrung der Aussage < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei a [mm] \in [/mm] D' [mm] \subset [/mm] D [mm] \subset \IR, [/mm] und sei f [mm] \in [/mm] Abb(D, [mm] \IR). [/mm] Zeigen Sie:
(a) Ist f stetig in a, so ist auch f|D' stetig in a.
(b) Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
(c) Die Umkehrung gilt unter der Zusatzbedingung, dass ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert mit der Eigenschaft [mm] D'\supset D\cap]a [/mm] - [mm] \delta, [/mm] a + [mm] \delta[. [/mm] |
Hallo,
ich habe obengenannte Aufgabe und eine Musterloesung dazu. Die Loesung zu (a) und (b) versteh ich, nur (c) macht mir Schwierigkeiten. Ich sehe zwar ein, dass wenn aus
f|D' ist stetig in a
folgen soll
f ist stetig in a
man sicher sein muss, dass vor bzw. nach der Stetigkeitsstelle noch ein ein klitzekleines bisschen Definitionsbereich D' uebrig bleiben muss, aber diese Erklaerung ist natuerlich mathematisch unpraezise. Die im Loesungsbuch gegebene Loesung ist mir aber unverstaendlich:
"Es existiere ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit [mm] D'\supset D\cap]a [/mm] - [mm] \delta, [/mm] a + [mm] \delta[, [/mm] und f|D' sei stetig in a. Um zu zeigen, dass dann auch f in a stetig ist, betrachten wir eine Testfolge [mm] (a_n) [/mm] in D fuer a. Da [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert, haben alle Glieder der Folge mit hoechstens endlich vielen Ausnahmen von a einen Abstand kleiner als [mm] \delta, [/mm] d. h. liegen in ]a - [mm] \delta, [/mm] a + [mm] \delta[. [/mm] Lassen wir diese hoechstens endlich vielen Ausnahmeglieder weg und nennen die so entstehende Folge (a'_n), dann ist (a'_n) eine gegen a konvergente Folge in [mm] D'\supset D\cap]a [/mm] - [mm] \delta, [/mm] a + [mm] \delta[, [/mm] also eine Testfolge in D' fuer a."
Stopp. Diese Stelle versteh ich nicht. Das eine ist doch der Wertebereich und das andere ist der Definitionsbereich. Wenn ich Aussagen treffen will ueber eine Funktion an der Stelle a (Definitionsbereich), was nuetzt mir dann eine Testfolge, die gegen a (im Wertebereich) konvergiert? Versteht ihr was ich meine? Weiter geht es mit:
"Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f|D' in a gilt nun [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f|D'(a'_n) [/mm] = f|D'(a), d. h. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a'_n) [/mm] = f(a). Da die Folge [mm] (f(a_n)) [/mm] durch Hinzufuegen von hoechstens endlich vielen Gliedern aus der Folge (f(a'n)) entsteht, folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n) [/mm] = f(a). Damit haben wir gezeigt, dass f in a stetig ist."
Kann leider ueberhaupt nicht folgen. Koennt Ihr mir das nochmal anders erklaeren?
Danke,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 20.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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