Umkreis einen Dreiecks < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, ist ein Kreis eindeutig bestimmt; dies ist der Umkreis des Dreiecks. Bestimme den Mittelpunkt und den Radius des Kreises, der durch die Punkte A (5|1), B (-9|3), C (3|-13) geht. |
Ich habe diese Aufgabe zeichnerisch gelöst, indem ich das Dreieck ABC, die Mittelsenkrechten der Seiten und den Umkreis in ein kartesisches KOS gezeichnet habe. Der Mittelpunkt und der Radius des Umkreises, die ich aus der Zeichnung entnommen habe, sind richtig, aber mein Lehrer möchte eine Herleitung. Wie soll das funktionieren? Als Tipp gab er, dass das Dreieck ja rechtwinklig sei...
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Wenn du das Dreieck vektoriell beschreibst, stellst du fest, dass:
1. [mm] \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}
[/mm]
(mit dem Skalarprodukt)
2. Die Längen der beiden Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] sind gleich.
Damit ist das Dreieck sozusagen ein halbes Quadrat, d.h. der Kreis, auf dem die Punkte ABC liegen, hat als Mittelpunkt den Mittelpunkt des Quadrats (d.h. der liegt in der Mitte der Strecke [mm] \overrightarrow{BC}, [/mm] die man mit Hilfe der Vektoren ermitteln kann, z.B. indem man den Ortsvektor zu B und den halben Vektor [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] addiert) und als Radius die halbe Diagonalenlänge im Quadrat, was wiederum die Hälfte der Streckenlänge von [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] ist.
Wenn man sich eine Skizze macht, wird es sehr schnell deutlich. Und wenn ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe, ist der Radius 10 Einheiten und der Mittelpunkt liegt bei [mm] \vektor{-3 \\ -5}
[/mm]
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Hallo,
es kommt ein bißchen darauf an, was Ihr verwenden sollt.
Ein möglicher Weg wäre natürlich stumpfes Aufstellen der Gleichungen der Mittelsenkrechten, welche man dann zum Schnitt bringt.
Anderer Weg:
Die Seiten AB und AC sind senkrecht zueinander. Damit ist der Halbkreis über BC der Umkreis (Thalessatz), und Dir bleibt wenig mehr zu tun, als die Mitte dieser Strecke auszurechnen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Harrynator |
Also, wir sollten den ersten Weg nehmen: Die Geradengleichungen der Mittelsenkrechten bestimmen, deren Schnittpunkt berechnen und die Distanz des Schnittpunkts zu den Eckpunkten des Dreiecks. Dann kommt auch das Ergebnis raus, was die Zeichnung gibt.
Danke für eure Hilfe.
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