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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Sa 15.11.2008 | | Autor: | AndyH |
| Aufgabe | | Umkreisradius beim Dreieck bestimmen. |
Sei abc ein beliebiges Dreieck in der euklidischen Ebene. Für den Radius r des Umkreises gilt:
[mm] r=\bruch{|a-b||b-c||c-a|}{4*F}, [/mm] wobei F der Flächeninhalt mit [mm] F=\bruch{1}{2}*|[a,b,c]| [/mm] ist.
Die Schwierigkeit ist jetzt dies herzuleiten.
Ich weiß, dass es leicht ist, wenn man z.B. schon r= [mm] \bruch{|a-b|}{2*sin\gamma} [/mm] gezeigt hat, aber wie geht das?
Vektoriell, und so muss es gehen, ist lediglich |m-a| zuberechen, wenn m der Umkreismittelpunkt ist. m hat aber eine sehr lange unschöne Darstellung.
Weiß von euch jemand einen schnellen allgemeinen anschauungslosen Weg, wie ich den Radius bestimmen kann? Vielen Dank an jeden!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Sa 15.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Umkreisradius beim Dreieck bestimmen.
> Sei abc ein beliebiges Dreieck in der euklidischen Ebene.
> Für den Radius r des Umkreises gilt:
> [mm]r=\bruch{|a-b||b-c||c-a|}{4*F},[/mm] wobei F der Flächeninhalt
> mit [mm]F=\bruch{1}{2}*|[a,b,c]|[/mm] ist.
> Die Schwierigkeit ist jetzt dies herzuleiten.
> Ich weiß, dass es leicht ist, wenn man z.B. schon r=
> [mm]\bruch{|a-b|}{2*sin\gamma}[/mm] gezeigt hat, aber wie geht das?
>
> Vektoriell, und so muss es gehen, ist lediglich |m-a|
> zuberechen, wenn m der Umkreismittelpunkt ist. m hat aber
> eine sehr lange unschöne Darstellung.
> Weiß von euch jemand einen schnellen allgemeinen
> anschauungslosen Weg, wie ich den Radius bestimmen kann?
> Vielen Dank an jeden!
>
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Hallo,
Der verallgemeinerte Sinussatz lautet
[mm] \bruch{a}{sin \alpha}=\bruch{b}{sin \beta}=\bruch{c}{sin \gamma}=2r.
[/mm]
Dass z.B. [mm] \bruch{c}{sin \gamma}=2r [/mm] ist, kannst du zeigen, indem du auf dem Umkreis den Punkt C so weit wandern lässt, bis die Strecke AC ein Durchmesser des Kreises ist (bei dieser "Wanderung" ändert Gamma seine Größe wegen des Peripheriewinkelsatzes nicht, und mit AC als Durchmesser wird das Dreieck ABC rechtwinklig).
Gruß Abakus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:35 Sa 15.11.2008 | | Autor: | AndyH |
Vielen Dank!
Aber den Peripheriewinkelsatz kann ich noch nicht beutzen, weil dieser erst mit Hilfe des Radius gezeigt werden soll.
Bisher benutzbar ist nur:
Kosinussatz,
nicht verallgemeinerter Sinussatz, also nur
[mm] \bruch{|a-b|}{sin\gamma}=\bruch{|a-c|}{sin\beta}=\bruch{|b-c|}{sin\alpha}
[/mm]
Elementare Zusammenhänge zwischen Skalarprodukt und Determinante
sowie die vektorielle Darstellung von m mit
[mm] m=\bruch{1}{2[a,b,c]}*((|b|^2-|c|^2)*a^\perp+(|c|^2-|a|^2)*b^\perp+(|a|^2-|b|^2)*c^\perp)
[/mm]
nun dachte ich ich bestimme einfach nur |m-a| und erhalte die saubere Darstellung aus meinem ersten Beitrag. Die Anschauung darf ich leider nicht zur Hilfe nehmen, es soll rein algebraisch gelöst werden. Geometrie kann auch unhandlich sein, fürchte ich...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mi 19.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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