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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 16.11.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob es für die folgenden Reihen eine Umordnung gibt, die gegen + [mm] \infty [/mm] divergiert. Falls ja, geben Sie solch eine Umordnung an.
(a) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty } (-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{1}{k^2}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=0}^{ \infty } (-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{1}{2k+1} [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie geht man an so etwas heran bzw. wie kann man es lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 So 16.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Prüfen Sie, ob es für die folgenden Reihen eine Umordnung
> gibt, die gegen + [mm]\infty[/mm] divergiert. Falls ja, geben Sie
> solch eine Umordnung an.
>
> (a) [mm]\summe_{k=1}^{ \infty } (-1)^k[/mm] * [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm]
>
> (b) [mm]\summe_{k=0}^{ \infty } (-1)^k[/mm] * [mm]\bruch{1}{2k+1}[/mm]
> Hallo,
Was habt ihr zu dem Thema schon gehabt? Entscheidend ist, ob die Reihe absolut konvergiert - ist dies der Fall, so konvergiert jede Umordnung gegen ein und denselben Grenzwert.
Die erste Reihe ist absolut konvergent, deshalb existiert keine solche Umordnung. Die zweite Reihe konvergiert, aber nicht absolut, d.h. die Reihe der positiven Summanden und die der nicht-positiven Summanden divergieren jeweils (!). Nun kann man auf folgende Weise eine Umordnung konstruieren, die gegen [mm] $+\infty$ [/mm] divergiert:
1) Setze n=1.
2) Nimm solange positive Summanden, bis die Summe zum ersten mal größer als $n$ ist (das geht, da die Reihe der positiven Summanden divergiert)
3) Nun nimm solange negative Summanden, bis die Summe zum ersten mal wieder kleiner als $n$ ist
4) Erhöhe $n$ um 1 und gehe zu Schritt 2)
Auf diese Weise wird man alle Summanden irgendwann "verbrauchen" und andererseits wird die Summe dieser Umordnung jede natürliche Zahl $n$ irgendwann unwiderruflich übersteigen, d.h. gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergieren.
Nach dem gleichen Prinzip kann man zu einer konvergenten, aber nicht absolut-konvergenten Reihe zu jeder reellen Zahl $C$ eine Umordnung finden, sodass die umgeordnete Reihe gegen $C$ konvergiert!
Wie die Umordnung in Fall b) konkret aussieht, muss man sich jetzt noch überlegen...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 So 16.11.2008 | | Autor: | Dash |
Hallo Robert,
danke für deine schnelle Antwort.
Zu (a)
Die erste Reihe konvergiert absolut nach dem Leibnitz-Kriterium. Das habe ich bewiesen und deine Aussage bezüglich dessen ist für mich logisch.
Zu (b)
Eine mögliche Umformung wäre meiner Meinung nach:
(1 - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ) + ( [mm] \bruch{1}{5} [/mm] - [mm] \bruch{1}{7} [/mm] ) + ( [mm] \bruch{1}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{11} [/mm] ) ...
Allerdings verstehe ich nicht, wieso die Reihe nicht absolut konvergiert, denn meiner Meinung nach tut die dieses. Auch wieder nach dem Leibnitz-Kriterium.
Bitte um Erklärung dessen.
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> Hallo Robert,
>
> danke für deine schnelle Antwort.
>
> Zu (a)
>
> Die erste Reihe konvergiert absolut nach dem
> Leibnitz-Kriterium. Das habe ich bewiesen und deine Aussage
> bezüglich dessen ist für mich logisch.
>
> Zu (b)
>
> Eine mögliche Umformung wäre meiner Meinung nach:
>
> (1 - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ) + ( [mm]\bruch{1}{5}[/mm] - [mm]\bruch{1}{7}[/mm] ) + (
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm] - [mm]\bruch{1}{11}[/mm] ) ...
>
> Allerdings verstehe ich nicht, wieso die Reihe nicht
> absolut konvergiert, denn meiner Meinung nach tut die
> dieses. Auch wieder nach dem Leibnitz-Kriterium.
>
> Bitte um Erklärung dessen.
Hallo!
Zunächst glaube ich, dass das Leibniz-Kriterium leider keine Absolute Konvergenz liefert, sondern nur Konvergenz. Deswegen stimmt deine Begründung nicht. Zu deiner Umordnung:
Die stimmt leider auch nicht, bzw. das ist nicht der Sinn, der erreicht werden soll. Bei deiner Umordnung sehe ich nämlich nicht zweifellos, dass die Reihe dann gegen unendlich divergiert, weil die Summanden immer kleiner werden. Beispielsweise konvergiert die geometrische Reihe, obwohl ihre Summanden immer kleiner werden, deswegen dieser Zweifel der dem Korrektor etc. beim Betrachten dann aufkommt.
Du musst soviele Summanden aus der Reihe zusammensuchen, dass du immer zusammengefasste Summanden bildest, welche über einem festen Wert sind, z.B. 1/2. Dann kannst du erst wirklich behaupten, dass weil unendlich mal 1/2 aufsummiert wird, die Reihe gegen unendlich divergiert.
Stefan.
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