Umordnung der alt. harm. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | [mm] S=\summe_{i=1}^{n}\bruch{(-1)^{i-1}}{i}.
[/mm]
Zeige: [mm] T=1+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{7}-\bruch{1}{4}++-...=\bruch{3}{2}S. [/mm] |
Hi!
Weiß jemand, wie man hier rangehen kann? Als Tipp wurde angegeben, dass man [mm] \bruch{1}{2}S [/mm] bilden und damit weitermachen solle.
[mm] \bruch{1}{2}S=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{8}+...
[/mm]
Aber irgendwie hilft mir das nicht.
Habe versucht [mm] T-\bruch{1}{2}S [/mm] zu berechnen, damit S herauskommt, aber das klappt nicht. Genau wo wenig wie [mm] S+\bruch{1}{2}S [/mm] zu berechnen, sodass T herauskommt.
Dann habe ich noch versucht, die Partialsumme von T rekursiv zu definieren. Also
[mm] t_{3n}=t_{3n-3}+...+...-...
[/mm]
[mm] t_{3n+1}=t_{3n-2}+...-...+...
[/mm]
[mm] t_{3n+2}=t_{3n-1}-...+...+... [/mm]
um irgendwie damit vernünftig rechnen zu können, aber das half mir irgendwie auch nicht.
Weiß jemand, wie ich den Grenzwert nachweisen kann?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo Teufel,
leider ist T ja völlig bescheuert notiert, so dass eine Verallgemeinerung kaum zu finden ist. Trotzdem finde ich leicht zu sehen, wie T entsteht, wenn man die Darstellung von S und S/2 hat. Ich werd mal bunt, dann sieht man es leichter:
[mm] \red{S=\bruch{1}{1}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}-\bruch{1}{8}\cdots}
[/mm]
und [mm] \blue{\bruch{1}{2}S=(+)\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{8}\cdots}
[/mm]
Und nun: [mm] \red{S}+\blue{\bruch{1}{2}S}=\red{\bruch{1}{1}-\bruch{1}{2}}+\blue{\bruch{1}{2}}+\red{\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}}-\blue{\bruch{1}{4}}+\red{\bruch{1}{5}-\bruch{1}{6}}+\blue{\bruch{1}{6}}+\red{\bruch{1}{7}-\bruch{1}{8}}-\blue{\bruch{1}{8}}\cdots=
[/mm]
[mm] =\red{\bruch{1}{1}}+\green{\bruch{0}{2}}+\red{\bruch{1}{3}}-\green{\bruch{2}{4}}+\red{\bruch{1}{5}}+\green{\bruch{0}{6}}+\red{\bruch{1}{7}}-\green{\bruch{2}{8}}\cdots=T
[/mm]
Der Aufbau von T wäre leichter zu erkennen gewesen, wenn die hier grünen Terme ungekürzt dabei gestanden hätten, einschließlich derer, die sich zu Null ergeben.
Jetzt findet sich auch eine Verallgemeinerung von T. Sie ist nur nicht schön aufzuschreiben, am ehesten noch in drei Summen: für ungerade n, für n=4k und der Vollständigkeit halber vielleicht auch noch für n=4k+2, obwohl dann ja nur Nullen summiert werden.
Alles klar?
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 22.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Mist, da hätte ich wohl einfach mal mehr Glieder aufschreiben und zusammenfassen sollte. Hast Recht, eigentlich ist es gar nicht so schwer.
Damit komme ich dann sicher weiter, vielen Dank!
Aber der Ausdruck für T ist nicht verlangt, oder?
Aber für n ungerade wäre es
[mm] T_{2n+1}=\summe_{k=1}^{n+1}(\bruch{1}{2k-1}-\bruch{1+(-1)^{k}}{2k})+\bruch{1+(-1)^{k}}{2k}
[/mm]
nehme ich an. Meinst du, ich solle das noch hinschreiben?
Danke nochmals!
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 22.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Teufel,
wenn Du es schon hast, würde ich es auch hinschreiben. Es sieht aber nicht so aus, als ob es auch verlangt würde.
Alles Gute,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 So 22.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich habe eine Frage hierzu.
Habt ihr hier gezeigt, dass durch diese Umordnung T die alternierende harmonische Reihe gegen [mm] \bruch{3}{2} [/mm] konvergiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 So 22.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, sie konvergiert ja damit gegen [mm] \bruch{3}{2}S.
[/mm]
Und das ist ja gezeigt mit [mm] S+\bruch{1}{2}S=T.
[/mm]
Teufel
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