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| Aufgabe | Für die rationale Zahl r > 1 sei fr:= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}}{n^{r}} [/mm] und [mm] gr:=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{r}} [/mm] . Zeigen sie mit dem Umordnungssatz, dass dann
[mm] fr=(1-2^{1-r})gr [/mm] |
Hallo liebe Forumer,
soll dies nun mit dem Umordnungssatz beweisen. Nun sehe ich aber in meiner Definition, dass bei alternierenden harmonischen Reihen die Vorraussetzung für den Satz nicht erfüllt ist.
Oder setze ich das gr ein? Wie muss ich das denn auseinander nehmen?
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Für [mm]r>1[/mm] (!) ist die alternierende Reihe absolut konvergent. Die Anwendbarkeit des Umordnungssatzes ist also gegeben.
Der Trick ist eine Zerlegung ungerade-gerade. Zum Beispiel bei [mm]g_r[/mm]:
[mm]g_r = \frac{1}{1^r} + \frac{1}{2^r} + \frac{1}{3^r} + \frac{1}{4^r} + \frac{1}{5^r} + \frac{1}{6^r} + \ldots = \left( \frac{1}{1^r} + \frac{1}{3^r} + \frac{1}{5^r} + \ldots \right) + \left( \frac{1}{2^r} + \frac{1}{4^r} + \frac{1}{6^r} + \ldots \right)[/mm]
[mm]= \left( \frac{1}{1^r} + \frac{1}{3^r} + \frac{1}{5^r} + \ldots \right) + \frac{1}{2^r} \left( \frac{1}{1^r} + \frac{1}{2^r} + \frac{1}{3^r} + \ldots \right) = \left( \frac{1}{1^r} + \frac{1}{3^r} + \frac{1}{5^r} + \ldots \right) + 2^{-r} g_r[/mm]
Und diese Gleichung kannst du nach den Gliedern mit den ungeraden Basen im Nenner auflösen. Und bei [mm]f_r[/mm] machst du es ähnlich. Dann alles kombinieren.
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