Umparameterisierung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 22.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Ich bin nicht sicher ob ich das mit der Umparameterisierung richtig verstanden habe. Wäre nett wenn mir das vielleicht nochmal jemand näher erklären könnte. |
Hi,
ich habe eine Frage zu Umparameterisierungen.
Habe ich es richtig verstanden, dass ich eigentlich jede beliebige Umparameterisierung nehmen kann, solang diese bijektiv ist?
Könnte ich zum Beispiel
[mm] $\begin{pmatrix} sin(t)\\cos(t)\end{pmatrix}$
[/mm]
durch
[mm] $\begin{pmatrix} sin(\sqrt{t})\\ cos(\sqrt{t})\end{pmatrix}$
[/mm]
Parameterisieren, einfach deshalb, weil die Wurzelfunktion streng monoton wächst? Oder auch
[mm] $\begin{pmatrix} sin(e^t)\\ cos(e^t)\end{pmatrix}$
[/mm]
Wobei man ja eher so umparameterisieren würde, dass es leichter wird, wofür meine Beispiele jetzt nicht unbedingt ein gutes Beispiel für wären.
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Fr 23.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja sdas kannst du, aber natürlich auch das Intervall für t ändern.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Fr 23.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich bin nicht sicher ob ich das mit der Umparameterisierung
> richtig verstanden habe. Wäre nett wenn mir das vielleicht
> nochmal jemand näher erklären könnte.
>
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu Umparameterisierungen.
> Habe ich es richtig verstanden, dass ich eigentlich jede
> beliebige Umparameterisierung nehmen kann, solang diese
> bijektiv ist?
>
> Könnte ich zum Beispiel
>
> [mm]\begin{pmatrix} sin(t)\\cos(t)\end{pmatrix}[/mm]
>
> durch
>
> [mm]\begin{pmatrix} sin(\sqrt{t})\\ cos(\sqrt{t})\end{pmatrix}[/mm]
>
> Parameterisieren, einfach deshalb, weil die Wurzelfunktion
> streng monoton wächst?
Ja, das kannst Du machen, wenn zum Beispiel das Parameterintervall der ursprünglichen Parametrisierung in [0, [mm] \infty) [/mm] lag.
Dies Parametrisierung [mm]\begin{pmatrix} sin(\sqrt{t})\\ cos(\sqrt{t})\end{pmatrix}[/mm] hat allerdings den Nachteil, dass sie in t=0 nicht differenzierbar ist !
> Oder auch
>
> [mm]\begin{pmatrix} sin(e^t)\\ cos(e^t)\end{pmatrix}[/mm]
Wenn das ursprüngliche Parameterintervall das Intervall [0,a], mit a>0, ist, so ist [mm]\begin{pmatrix} sin(e^t)\\ cos(e^t)\end{pmatrix}[/mm] keine Umparametrisierung, denn es ist stets [mm] e^t \ne [/mm] 0.
FRED
>
> Wobei man ja eher so umparameterisieren würde, dass es
> leichter wird, wofür meine Beispiele jetzt nicht unbedingt
> ein gutes Beispiel für wären.
>
> Vielen Dank im voraus.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Fr 23.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank für die Antworten.
Hier kommt es also auch stark auf das Intervall an.
Ist ja im Grunde auch klar, die e-Funktion wäre dann ja gar keine Bijektion, wenn die Null im Intervall enthalten ist.
Hättet ihr ein Beispiel wo eine kompliziert aussehende Funktion durch eine geschickte Umparameterisierung sehr einfach wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Fr 23.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh doch einfach deine Beispiele an, und kehr sie um! also ersetze [mm] e^t [/mm] durch t usw.
Bruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Fr 23.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Im Grunde finde ich meine Beispiele nicht unbedingt kompliziert.
Ich würde wohl eher mal einfach eine wunderschöne Umparameterisierung sehen wo man denkt "ja, das ist schon ziemlich elegant".
Ist aber eigentlich auch nicht so wichtig.
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Dann betrachte einmal die folgende Kurve [mm]C[/mm].
[mm]C: [0 \, ,1] \to \mathbb{R}^2 \, , \ \ C(t) = \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \, , \, \frac{2t}{1+t^2} \right)[/mm]
Nimm dann die folgende Umparametrisierung vor:
[mm]p: \left[ 0 \, , \frac{\pi}{2} \right] \to [0 \, ,1] \, , \ \ t = p(s) = \tan \frac{s}{2}[/mm]
Siehst du, worum es hier geht? Was ist [mm]C[/mm]?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 24.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Jein.
Also wenn ich [mm] $t=\tan(\frac{s}2)$ [/mm] umparameterisiere, dann komme ich auf die neue Form
[mm] $(\cos^2(\frac{s}{2})-\sin^2(\frac{s}{2}), 2\sin^2(\frac{s}{2})$
[/mm]
Die "original" Kurve war ja der viertel Kreis im 1. Quadranten. Die "neue" Kurve ist lediglich eine Gerade im 1. Quadranten. Sofern ich mich nicht verrechnet habe.
Den genauen Vorteil sehe ich aber noch nicht.
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Bei einer Umparametrisierung kann sich doch die Kurve an sich nicht ändern! Auch die neue Kurve ist weiterhin ein Viertelkreis. Du mußt dich also verrechnet haben.
So viel sei verraten: Die [mm]x[/mm]-Koordinate stimmt. Beachte noch die trigonometrische Beziehung
[mm]\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi = \cos(2 \varphi)[/mm]
und vereinfache die [mm]x[/mm]-Koordinate.
Und dann nochmal an die [mm]y[/mm]-Koordinate.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 24.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, ich habe in der y-Koordinate ausversehen auch ein quadrat in den Zähler bei dem t geschmuggelt. Daher kommt der Fehler.
So komme ich nun auf
$(cos(s), sin(s))$ was natürlich ein angenehmer Ausdruck ist.
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Am besten stellst du dir den Parameter [mm]t[/mm] als Zeit vor. Die Art der Parametrisierung gibt nun an, wo auf der Kurve man sich zur Zeit [mm]t[/mm] befindet.
Bei der ersten Parametrisierung des Viertelkreises wird dieser nicht gleichmäßig durchlaufen.
[mm](x,y) = \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \, , \, \frac{2t}{1+t^2} \right)[/mm]
[mm]t=0[/mm] bei [mm](x,y)=(1,0)[/mm]
[mm]t=0{,}5[/mm] bei [mm](x,y)=(0{,}6 \, ;0{,}8 )[/mm]
Das ist schon mehr als ein Achtelkreis.
[mm]t=1[/mm] bei [mm](x,y)=(0,1)[/mm]
Bei der zweiten Parametrisierung wird der Kreis gleichmäßig durchlaufen.
[mm](x,y) = (\cos(s) \, , \, \sin(s))[/mm]
[mm]s=0[/mm] bei [mm](x,y)=(1,0)[/mm]
[mm]s = \frac{\pi}{4}[/mm] bei [mm](x,y) = \left( \sqrt{\frac{1}{2}} , \, \sqrt{\frac{1}{2}} \right)[/mm]
Das ist genau die Mitte des Viertelkreises.
[mm]s = \frac{\pi}{2}[/mm] bei [mm](x,y)=(0,1)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 24.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Gut.
Diese Umparameterisierung sollte auch hilfreich beim Integrieren sein, wenn man die Fläche berechnen will, wobei man dann wohl ohnehin zu dieser Substitution gegriffen hätte.
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Genau. Die Art der Parametrisierung wirkt sich auf die Rechenwege aus.
Nehmen wir die Länge [mm]l[/mm] des Viertelkreises:
[mm]\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \frac{-4t}{(1+t^2)^2} \, , \ \ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}[/mm]
[mm]\left( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \right)^2 = \frac{4}{(1+t^2)^2}[/mm]
[mm]l = \int_0^1 \frac{2}{1+t^2} ~ \mathrm{d}t = \left. 2 \arctan t \ \right|_0^1 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}[/mm]
Und mit der zweiten Parametrisierung:
[mm]\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} s} = - \sin s \, , \ \ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} s} = \cos s[/mm]
[mm]\left( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} s} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} s} \right)^2 = \sin^2 s + \cos^2 s = 1[/mm]
[mm]l = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}s = \frac{\pi}{2}[/mm]
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