Umrechnung Polarkoordinaten < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 05.03.2009 | | Autor: | marder |
| Aufgabe | | Geben Sie alle Lösungen von [mm] z^{4}=16*(cos(\bruch{2}{3}*\pi)+i*sin(\bruch{2}{3}*\pi)) [/mm] in der Form z = x + yi mit x,y auf R an. |
Hallo, ich soll hier Polarkoordinaten in kartesische umrechnen, das geht ja normalerweise mit x=r*cos(a) und y=r*sin(a), leider komme ich hier aber nicht weiter da ich nicht weiß wie ich die komplexe zahl wurzeln muss.
vielen dank für die hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Do 05.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo marder!
Du hast Recht: bevor es an die Umrechnung in kartesische Koordinaten geht, musst Du erst die (hier 4) Wurzeln berechnen.
Wende dafür die  Moivre-Fromel an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 05.03.2009 | | Autor: | marder |
ok moivre formel gefunden, und angewendet:
ergibt r=2 für alle 4 zahlen, und [mm] \alpha=\bruch{2}{3}*\pi*\bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\pi
[/mm]
jetzt hab ich also 1 [mm] \alpha [/mm] und ein r, wie krieg ich daraus denn jetzt 4 zahlen???
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> ok moivre formel gefunden, und angewendet:
>
> ergibt r=2 für alle 4 zahlen, und
> [mm]\alpha=\bruch{2}{3}*\pi*\bruch{1}{4}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}*\pi[/mm]
>
> jetzt hab ich also 1 [mm]\alpha[/mm] und ein r, wie krieg ich daraus
> denn jetzt 4 zahlen???
Du musst daran denken, dass die ursprüngliche Gleichung vor der Multiplikation des Argumentes von [mm] $\cos$ [/mm] und [mm] $\sin$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] eigentlich so geschrieben werden sollte:
[mm]z^4=16\cdot \left(\cos\left(\tfrac{2}{3}\pi+2n\pi\right)+\mathrm{i}\cdot \sin\left(\tfrac{2}{3}\pi+2n\pi\right)\right),\qquad n\in \IZ \text{ beliebig}[/mm]
Wenn Du nun also [mm] $\frac{2}{3}\pi+2n\pi$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] multiplizierst, erhältst Du je nach Wert von [mm] $n\in \IZ$ [/mm] unterschiedliche Werte, allerdings nicht beliebig viele. - Wieviele und welche?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 05.03.2009 | | Autor: | marder |
sorry, aber ich weiß leider nicht wo dieses [mm] +2n*\pi [/mm] herkommt, hab es in keinem lehrbuch so gefunden, ich weiß schon was es macht (eine weitere vollkreisdrehung) aber der sinn ist mir nicht ganz geläufig,...
da n=4 würde ich sagen es gibt 4 verschiedene winkel die ich errechnen muss, da der radius ja immer gleich ist,... also wäre dass dann [mm] \bruch{2}{3}*\pi*\bruch{1}{4}+2*n*\pi [/mm] wobei ich dann für n 4 werte einsetzen würde, nämlich 0,1,2,3 ist das so richtig von der überlegung???
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> sorry, aber ich weiß leider nicht wo dieses [mm]+2n*\pi[/mm]
> herkommt, hab es in keinem lehrbuch so gefunden, ich weiß
> schon was es macht (eine weitere vollkreisdrehung) aber der
> sinn ist mir nicht ganz geläufig,...
>
> da n=4 würde ich sagen es gibt 4 verschiedene winkel die
> ich errechnen muss, da der radius ja immer gleich ist,...
> also wäre dass dann [mm]\bruch{2}{3}*\pi*\bruch{1}{4}+2*n*\pi[/mm]
> wobei ich dann für n 4 werte einsetzen würde, nämlich
> 0,1,2,3 ist das so richtig von der überlegung???
Nee, Du musst doch den ganzen Term [mm] $\frac{2}{3}\pi+2n\pi$ [/mm] durch $4$ dividieren. Dann erhältst Du [mm] $\alpha=\frac{\pi}{6}+\frac{n\pi}{2}$ [/mm] und somit die vier (modulo [mm] $2\pi$) [/mm] verschiedenen Werte [mm] $\alpha_1=\frac{\pi}{6}$, $\alpha_2=\frac{2\pi}{3}$, $\alpha_3=\frac{7\pi}{6}$ [/mm] und [mm] $\alpha_4=\frac{5\pi}{3}$.
[/mm]
Wenn Du diese vier Winkelargumente, umgekehrt, mit 4 multiplizierst, erhältst Du eben wieder [mm] $\frac{2}{3}\pi$, [/mm] wie es sich gehört...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Do 05.03.2009 | | Autor: | marder |
ok danke, aber für n die werte 0,1,2,3, und bei bedarf auch mehr einzusetzen ist schon richtig oder?
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> ok danke, aber für n die werte 0,1,2,3, und bei bedarf auch
> mehr einzusetzen ist schon richtig oder?
Nein, du musst hier genau die 4 Werte 0,1,2,3 einsetzen, nicht mehr und nicht weniger. Die 4.-Wurzel aus einer komplexen Zahl liefert dir genau 4 Lösungen.
Gruß Patrick
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> ok danke, aber für n die werte 0,1,2,3, und bei bedarf auch
> mehr einzusetzen ist schon richtig oder?
Das darfst Du schon, nur erhältst Du bei dieser konkreten Aufgabe, nachdem Du für n die Werte 0, 1, 2 und 3 eingesetzt hast, nichts mehr neues modulo [mm] $2\pi$, [/mm] und damit keine weitere komplexe Lösung der gegebenen Gleichung für $z$.
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