Umschreiben einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Di 22.06.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
wär nett wenn mir jemand Helfen könnte! Zu zeigen ist, das für die n*n Matrix:
[mm] A=\vmat{ 2 & 1&....&1 \\ 1 & 2&...&1 \\ ... & ...&...&...\\1 & ...&...&2 \\ }
[/mm]
gilt: detA=n+1
Dazu müßte ich die Martix umschreiben in die Einheitsvektoren und die dann mit einem Vektor addieren der aus nur aus einsen besteht, wie das gehen soll weiß ich leider nicht!!! Wär super lieb wenn mir jemand helfen könnte!! Vielen Dank!!
Liebe Grüße
tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo tine!
> Hallo,
> wär nett wenn mir jemand Helfen könnte! Zu zeigen ist, das
> für die n*n Matrix:
>
> [mm]A=\vmat{ 2 & 1&....&1 \\ 1 & 2&...&1 \\ ... & ...&...&...\\1 & ...&...&2 \\ }
[/mm]
>
>
> gilt: detA=n+1
>
> Dazu müßte ich die Martix umschreiben in die
> Einheitsvektoren und die dann mit einem Vektor addieren der
> aus nur aus einsen besteht, wie das gehen soll weiß ich
> leider nicht!!! Wär super lieb wenn mir jemand helfen
> könnte!! Vielen Dank!!
Hast du es denn schon mal für eine "konkrete Matrix" probiert, sagen wir, [mm] $4\times4$?
[/mm]
Ich würde mal eine der äußeren Spalten/Zeilen (also die erste oder letzte Spalte bzw. die oberste bzw. unterste Zeile) von allen anderen Spalten/Zeilen subtrahieren; das ist ja erlaubt, die Addition von Vielfachen einer Spalte/Zeile zu einer anderen Spalte/Zeile verändert den Wert der Determinante nicht.
Auf diese Art und Weise erhält man eine Matrix, die nur noch eine 2 enthält und die eine [mm] $(n-1)\times(n-1)$ [/mm] Einheitsmatrix enthält.
Durch Entwicklung der Determinante nach der Spalte/Zeile, die die 2 enthält, kann man die Behauptung nun recht einfach zeigen, am besten per vollständiger Induktion.
Magst du es noch mal probieren?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mi 23.06.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
gern würde ich diesen Weg nutzen aber ich erhalte für die 4*4 Matrix:
[mm]A=\vmat{ 2 & 1&1&1 \\ 1 & 2&1&1 \\ 1 & 1&2&1\\1 & 1&1&2 \\ }
[/mm]
wenn ich nun die letze Zeile subtrahiere erhalte ich:
[mm]A=\vmat{ 1 & 0&0&-1 \\ 0 & 1&0&-1 \\ 0 & 0&1&-1\\ }
[/mm]
und das ist leider keine (n-1)*(n-1) Matrix!!!
Was hab ich da falsch gemacht???
Liebe Grüße
Tine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Di 22.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Tine!
Man kann es auch noch einfacher haben, ohne jegliche Rechnung.
Durch einen kurzen Blick sieht man, dass die linear unabhängigen Vektoren
[mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}, \ldots [/mm] , [mm] \begin{pmatrix}0 \\0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Eigenvektoren zum Eigenwert $1$ und der Vektor
[mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
ein Eigenvektor zum Eigenwert $n+1$ ist.
Da bei einer symmetrischen Matrix die Determinante gleich dem Produkt der Eigenwerte ist, folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Julius
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