Umschreibung einer Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Di 19.11.2013 | | Autor: | gsracer |
| Aufgabe | [mm] b_n=\summe_{k=1+n}^{2n}(1/k)
[/mm]
Zeigen Sie, dass bn monoton wachsend ist |
Kann ich meine Summe so umschreiben?
[mm] b_n=\summe_{k=1+n}^{2n}(1/k)=\summe_{k=1}^{n}(1/(k+1))
[/mm]
??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Di 19.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo gsracer!
> Kann ich meine Summe so umschreiben?
>
> [mm]b_n=\summe_{k=1+n}^{2n}(1/k)=\summe_{k=1}^{n}(1/(k+1))[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, diese Gleichheit gibt es nicht, wie man auch schnell durch Einsetzen einzelner Glieder erkennen kann:
[mm] $\summe_{k=1+n}^{2n}\bruch{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+\bruch{1}{n+3}+...+\bruch{1}{2n-1}+\bruch{1}{2n}$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}+...+\bruch{1}{n-1}+\bruch{1}{n}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 20.11.2013 | | Autor: | gsracer |
Wie kann ich dann die Summe umschreiben, also einen geschlossenen Ausdruck finden?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo gsracer!
> Wie kann ich dann die Summe umschreiben, also einen
> geschlossenen Ausdruck finden?
Das ist doch gar nicht gefordert.
Für den Nachweis der wachsenden Monotonie kannst Du zeigen: [mm] $b_{n+1}-b_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Beginne mit: [mm] $b_{n+1}-b_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1+n+1}^{2*(n+1)}\bruch{1}{k}-\summe_{k=1+n}^{2n}\bruch{1}{k} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie kann ich dann die Summe umschreiben
Du kannst bspw.
[mm] $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n}$
[/mm]
schreiben - ob das sinnvoll ist, sei aber mal dahingestellt.
> also einen geschlossenen Ausdruck finden?
Wie Loddar schon sagte: Sowas braucht man hier gar nicht!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]b_n=\summe_{k=1+n}^{2n}(1/k)[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass bn monoton wachsend ist
berechne (für jedes $n [mm] \in \IN$)
[/mm]
[mm] $b_{n+1}-b_n=\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{1+n}$
[/mm]
(Kontrolle inklusive Beweis?)
und denke nach, was Du damit nun zu zeigen hast!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 20.11.2013 | | Autor: | gsracer |
Hey Vielen Dank für die tollen Infos!!
Also ich hab das mal gemacht, was ihr gesagt habt.
wenn ich dann [mm] b_{n+1}-b_{n}\ge0 [/mm] auflöse, kriege ich raus: [mm] n\ge-1 [/mm] und das ist ja offensichtlich für [mm] \IN [/mm] wahr. (Also ab [mm] n\ge1)
[/mm]
Jetzt muss ich noch die Beschränktheit der Folge zeigen, aber jetzt steht dort ein Summenzeichen und da hab ich jetzt meine Probleme, weil es ja eigt. eine Reihe ist und keine Folge?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mi 20.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> Hey Vielen Dank für die tollen Infos!!
> Also ich hab das mal gemacht, was ihr gesagt habt.
> wenn ich dann [mm]b_{n+1}-b_{n}\ge0[/mm] auflöse, kriege ich raus:
> [mm]n\ge-1[/mm] und das ist ja offensichtlich für [mm]\IN[/mm] wahr. (Also
> ab [mm]n\ge1)[/mm]
[mm] b_{n+1}-b_n=\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{1+n}=\bruch{1}{2n+1}-\bruch{1}{2n+2}
[/mm]
Was folgt nun sofort für alle [mm] n\in\IN_0?
[/mm]
>
> Jetzt muss ich noch die Beschränktheit der Folge zeigen,
> aber jetzt steht dort ein Summenzeichen und da hab ich
> jetzt meine Probleme, weil es ja eigt. eine Reihe ist und
> keine Folge?
In deiner Aufgabenstellung steht, dass du "nur" die Monotonie zeigen sollst. Wie kommst du nun auf die Beschränktheit?
>
> Gruß
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mi 20.11.2013 | | Autor: | gsracer |
hallo,
das ist die 2.te Teilaufgabe, die habe ich vergessen zu schreiben.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo,
>
> das ist die 2.te Teilaufgabe, die habe ich vergessen zu
> schreiben.
naja, bei
[mm] $\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$
[/mm]
hast Du [mm] $n\,$ [/mm] Summanden, von denen jeder sicher [mm] $\le \frac{1}{n}$ [/mm] ist.
Was bringt Dir das? Ich schreib's Dir vielleicht auch mal hin: Substituiert man
[mm] $\ell:=k-n\,,$ [/mm] so durchläuft [mm] $k\,$ [/mm] die Zahlen $n+1,...,2n$ genau so, wie [mm] $\ell$
[/mm]
die Zahlen $1,...,n$ durchläuft. Daher
[mm] $\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}=\sum_{\ell=1}^n \underbrace{\frac{1}{\ell+n}}_{\le \frac{1}{n}} \le \sum_{m=1}^n \frac{1}{n}\,.$
[/mm]
Wie kann man die letzte Summe rechterhand noch umschreiben? Beachte,
dass die Summanden nicht mehr vom Laufindex [mm] $m\,$ [/mm] der Summe abhängen.
Wenn's unklar ist: Schreib' Dir das alles mal für ein paar erste [mm] $n\,$ [/mm] hin:
[mm] $n=1:\,$ $\sum_{k=1+1}^{2*1} \frac{1}{k}=\frac{1}{2} \le \frac{1}{1}=1$
[/mm]
[mm] $n=2:\,$ $\sum_{k=2+1}^{2*2} \frac{1}{k}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2+2}=\sum_{\ell=1}^2 \underbrace{\frac{1}{\ell+2}}_{\le \frac{1}{2}} \le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\sum_{m=1}^2 \frac{1}{2}=2*\frac{1}{2}=1\,.$
[/mm]
[mm] $n=3:\,$ $\sum_{k=3+1}^{2*3} \frac{1}{k}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{1}{1+3}+\frac{1}{2+3}+\frac{1}{3+3}=\sum_{\ell=1}^3 \underbrace{\frac{1}{\ell+3}}_{\le \frac{1}{3}} \le \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\sum_{m=1}^3 \frac{1}{3}=3*\frac{1}{3}=1\,.$
[/mm]
etc. pp.
Jetzt allgemein. (Es ist ja wohl offensichtlich, was als (eine!) obere
Schranke in Frage kommt...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 21.11.2013 | | Autor: | gsracer |
Hi Marcel,
Danke für die tollen Infos die du mir lieferst!!
Aber ich verstehe wahrscheinlich die Definition einer Folge/Reihe nicht.
Die Folge besteht ja nur aus den Einzelglieder einer bestimmten Bildungsvorschrift für die Folge, also z.B. [mm] a_{n}=\bruch{1}{n}=1, \bruch{1}{2},\bruch{1}{3},.....; [/mm]
Bei der Reihe werden ja die Einzelglieder summiert, also bei meiner obigen genannten Folge [mm] \summe 1/i_{i=1}^{n}=1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}+ \bruch{1}{n},...
[/mm]
Wir hatten dann das Beispiel, dass wir den Grenzwert folgender Folge suchen:
[mm] \summe k/n^2_{k=1}^{n}=1+2+3+n=n*(n+1)/(2*n^2)
[/mm]
Für den ganz rechten Ausdruck kann ich den Grenzwert ja wieder bestimmen, weil ich einen "geschlossenen Ausdruck" dafür gefunden hab, aber wie mache ich das konkret wenn ich keinen "geschlossenen Ausdruck" gefunden habe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Do 21.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel,
>
> Danke für die tollen Infos die du mir lieferst!!
>
> Aber ich verstehe wahrscheinlich die Definition einer
> Folge/Reihe nicht.
>
> Die Folge besteht ja nur aus den Einzelglieder einer
> bestimmten Bildungsvorschrift für die Folge, also z.B.
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{n}=1, \bruch{1}{2},\bruch{1}{3},.....;[/mm]
das ist so ziemlich die schlechteste Notation, die man wählen kann. Ich
mach's mal nicht ganz allgemein, aber dafür hinreichend allgemein und
sauber:
Eine reellwertige Folge [mm] $a=(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist ein Element aus [mm] $\IR^{\IN}=\{f:\;\; \text{ es ist }f \colon \IN \to \IR\}\,.$
[/mm]
Es ist also $a [mm] \colon \IN \to \IR$ [/mm] - also $a [mm] \in \IR^{\IN}$ [/mm] - eine Abbildung, die man durch das
Ansammeln ihrer Funktionswerte - in geordneter Reihenfolge - auch mit
dem "unendlich langen Zeilenvektor" [mm] $(a(1),\,a(2),\,a(3),\,...)$ [/mm] identifiziert - dieser
hat abzählbar unendlich viele Einträge. Außerdem setzt man auch [mm] $a_n:=a(n)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$),
[/mm]
und dann schreibt man auch [mm] $(a_1,\,a_2,\,a_3,\,...)$.
[/mm]
Wenn Du also die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $a_n:=\frac{1}{n}$
[/mm]
hast, dann kannst Du diese Folge z.B. auch kurz mithilfe dieses
Zeilenvektors als
[mm] $(a_n)_{n \in \IN}=\left(\frac{1}{1},\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,...\right)$
[/mm]
schreiben, oder Du schreibst das so, wie ich es oben geschrieben habe,
oder aber noch sauberer als
$a [mm] \colon \IN \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=a(n):=\frac{1}{n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Die oft verwendete Sprechweise "Wir betrachten die Folge [mm] $a_n=1/n$" [/mm] ist wirklich
eine Kurzsprechweise für das, was ich oben ausführlicher geschrieben habe.
Eigentlich ist diese Sprechweise auch falsch, denn [mm] $a_n$ [/mm] ist in Wahrheit
doch das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgenglied der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] bzw. der Wert [mm] $a(n)\,.$
[/mm]
Die Sprechweise hat sich aber als "günstig" erwiesen. (Möglichst knapp
und eigentlich keine Verwechslungsgefahr!)
Zum Nachlesen: ![[]](/images/popup.gif) Kapitel 5
Deine Schreibweise
[mm] $a_n=1/n=1,1/2,1/3,1/4,...$
[/mm]
kenne ich so nur aus der Informatik. Wenn man sie benutzt, dann sollte
man sich aber im Klaren sein, dass die nicht besonders verständlich ist.
Man würde halt besser wenigstens
[mm] $(a_n)=(1/n)=(1,1/2,1/3,1/4,...)$
[/mm]
schreiben. Wobei man hier mit den Klammern andeutet, dass es sich um
eine Folge handelt. D.h. man definiert [mm] $(a_n):=(a_n)_{n \in \IN}\,.$
[/mm]
> Bei der Reihe werden ja die Einzelglieder summiert, also
> bei meiner obigen genannten Folge [mm]\summe 1/i_{i=1}^{n}[/mm]
Du meinst
> [mm]\sum_{i=1}^n 1/i=1[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}+ \bruch{1}{n},...[/mm]
Wenn man eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegeben hat, dann kann man mit dieser Folge
eine weitere Folge bilden (Partialsummen). Nennen wir sie mal [mm] ${(s_N)}_{N \in \IN}\,.$
[/mm]
Und zwar wird [mm] ${(s_N)}_{N \in \IN}$ [/mm] definiert durch
[mm] $s_N:=\sum_{k=1}^N a_k\,$ [/mm] für alle $N [mm] \in \IN.$
[/mm]
Anstatt [mm] ${(s_N)}_{N \in \IN}$ [/mm] wird auch
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$
[/mm]
geschrieben. D.h., ohne Rücksicht auf die Konvergenz von [mm] ${(s_N)}_{N \in \IN}$ [/mm] bedeutet
das Symbol
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$
[/mm]
gerade das Folgende:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k ={(s_N)}_{N \in \IN} [/mm] = [mm] \left(\sum_{k=1}^N a_k\right)_{N \in \IN}$
[/mm]
Falls die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k [/mm] = [mm] {(s_N)}_{N \in \IN}$ [/mm] konvergiert, so bekommt das Symbol
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$
[/mm]
zudem noch die Bedeutung des Grenzwertes
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k:=\lim_{N \to \infty}s_N=\lim_{N \to \infty}\sum_{k=1}^N a_k\,.$
[/mm]
Und aus dem Zshg. sollte dann immer klar sein, in welchem Sinne das
Symbol gerade verwendet wird.
Zum Nachlesen: Kapitel 6
> Wir hatten dann das Beispiel, dass wir den Grenzwert
> folgender Folge suchen:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k/n^2=1+2+3+n=n*(n+1)/(2*n^2)[/mm]
>
> Für den ganz rechten Ausdruck kann ich den Grenzwert ja
> wieder bestimmen, weil ich einen "geschlossenen Ausdruck"
> dafür gefunden hab, aber wie mache ich das konkret wenn
> ich keinen "geschlossenen Ausdruck" gefunden habe
Um die Konvergenz einer Folge festzustellen, bedarf es doch nicht immer
eines Grenzwertes. Bzgl. Deiner Aufgabe weiß ich auch nicht, ob man den
GW explizit hinschreiben kann. Dennoch kannst Du feststellen, dass die
Folge konvergiert. Dazu gibt es auch mehrere Sätze (da [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist:
bspw. Cauchyfolgen..., usw. usf.).
Für Dich hier relevant:
Lies bitte Satz 5.12 (Hauptsatz über monotone Folgen)
Also kurz das Fazit:
Reellwertige Folgen sind Abbildungen [mm] $\IN \to \IR\,.$
[/mm]
Für $a [mm] \colon \IN \to \IR$ [/mm] schreibt man meist [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] oder [mm] $(a_n)\,.$ [/mm]
(Es gibt auch noch andere Möglichkeiten, bleiben wir hier aber bei denen,
die gerade interessieren!)
[mm] $a_k$ [/mm] ist eigentlich das [mm] $k\,$-te [/mm] Folgenglied der Folge [mm] $a=(a_n)\,.$ [/mm] Also
[mm] $a_k=a(k)\,.$
[/mm]
Wenn man von der Folge [mm] $a_n=...$ [/mm] spricht, meint man nicht das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgenglied,
sondern man meint eigentlich die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=...$.
[/mm]
Eine Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] ist die Folge der Partialsummen. Das Symbol
ist also eine Notation für eine Folge, nämlich
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k=\left(\sum_{k=1}^N a_k\right)_{N \in \IN}\,.$
[/mm]
Wenn die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] (also die obige Folge!) konvergiert, dann
kann das Symbol [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] auch eine weitere Bedeutung bekommen:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N a_k\,.$
[/mm]
Aus dem Zshg. heraus muss/sollte immer klar sein, welche Bedeutung das
Symbol gerade hat.
Beispielsatz:
"Wenn die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert, dann ist ihr Grenzwert gerade
durch
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$
[/mm]
gegeben!"
bedeutet:
"Wenn die Folge [mm] $\left(\sum_{k=1}^N a_k\right)_{N \in \IN}$ [/mm] konvergiert, dann ist
ihr Grenzwert gerade durch
[mm] $\lim_{N \to \infty}\sum_{k=1}^N a_k$
[/mm]
gegeben!"
Die "Unschönheit" der Doppeldeutigkeit des Symbols [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] hatte
ich auch schonmal mit Fred diskutiert - wenn ich nachher dazu komme,
suche ich mal die Diskussion raus und hänge den Link an.
Letztes Fazit: Um die Konvergenz einer Folge festzustellen, muss man
nicht immer einen Grenzwert angeben können; in den "meisten Fällen"
wird man das gar nicht können. Dennoch gibt es Sätze, mit denen sich
die Konvergenz einer Folge charakterisieren läßt, bzw. es gibt auch Sätze,
die hinreichende Bedingungen an eine Folge formulieren, um deren Kgz.
festzustellen.
Weiterer Tipp: Gerade bei rekursiv definierten Folgen hilft oft folgendes
Verfahren, wenn ein GW berechnet werden soll:
Man zeigt, dass die Folge konvergiert (bspw. mit dem erwähnten Hauptsatz
über monotone Folgen, oder man rechnet Cauchyfolgeneigenschaft nach
oder oder oder...).
Dann weiß man: Wenn [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch [mm] $(a_{n+1})\,,$
[/mm]
und zwar gegen den gleichen Grenzwert (manchmal braucht man sowas
auch für die Folgen [mm] $(a_{n+2}),...,(a_{n+k})$). [/mm] In der Gleichung, in der
[mm] $(a_n)$ [/mm] rekursiv definiert wird, läßt man dann den Index gegen [mm] $\infty$ [/mm] laufen
und benutzt dann das Wissen. Somit erhält man eine Gleichung für den
zu berechnenden Grenzwert.
P.S. [mm] $(a_{n+1})$ [/mm] ist einfach die Teilfolge von [mm] $(a_n)$ [/mm] die entsteht, wenn man
"quasi das erste Folgenglied wegschneidet" - das kann man sich vor allem
gut bei der Zeilenvektornotation vorstellen:
[mm] $(a_n)=(\red{\,a_1\,},\,a_2,\,a_3,\,...)$
[/mm]
[mm] $(a_{n+1})=(a_2,\,a_3,\,a_4,\,...)$
[/mm]
Frage: Was wäre dann wohl [mm] $(a_{n+6})$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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